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LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA

LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA. Paolo Bellan. Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo. CONTENUTI.  &  dello SM Origine delle masse nello SM Correzioni quantistiche ad m H

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LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA

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  1. LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA Paolo Bellan Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo

  2. CONTENUTI •  &  dello SM • Origine delle masse nello SM • Correzioni quantistiche ad mH • Il Potenziale Efficace I: descrizione qualitativa • Il Potenziale Efficace II: derivazione analitica e tecniche di calcolo • Il Potenziale Efficace III: R-G improvement • Stabilità e metastabilità del potenziale • La probabilità di tunneling: derivazione, BOUNCE • Correzioni quantistiche: accenni alle tecniche e risultati.

  3. Descrive coerentemente praticamente tutti i fenomeni osservati nel laboratori di Fisica delle particelle e di HEP; • Testato con successo sino alle energie della scala e-w (~ 102 GeV); • Eccellente accordo coi dati dei vari esperimenti di tutto il mondo; • Contiene “CHICCHE” teoriche di notevole importanza: rinormalizzabilità del modello, meccanismo GIM, presenza di simmetrie accidentalietc. Mr. SM • Non contempla la Gravità; • Non fornisce possibili spiegazioni per alcuni fenomeni • sperimentali (masse dei neutrini, pentaquarks(?), QGP, …); • astrofisici (D.E. / D.M.); • Non spiega l’origine dell’entità delle masse dei fermioni, del mixing tra i flavour e della violazione di CP; • Troppi parametri liberi; • Non si pronuncia sull’unificazione delle c.c. ad alte energie • Problemi della GERARCHIA di gauge / dellaNATURALEZZA Naturale considerare lo SM quale una Teoria Efficaceo di bassa energia, restirzione di una teoria piú generale con nuovi gradi di libertà @ ΛNP

  4. Per campi a spin ½: Proprietà di anti-commutazione delle matrici γ ( ↔comportamento sotto trasformazioni di Lorentz ) richiesta di invarianza sotto trasf. di Gauge locali termini cinetici nella forma: ove ma non sono permessi termini di massa di Dirac o di Majorana: Pertanto per i campi a spin ½ i termini di massa sono proibiti nel limite di simmetria esatta Ma anche per i campi bosonici Aμ a spin 1 sono proibiti termini di massa tipo M2AμAμ.... Rimangono “non protetti” soltanto i termini di massa per campi a spin 0 tipo M2φL+φL… “PROTETTI” Tali termini di massa si dicono Per generare le masse non nulle di fermioni e bosonidi gaugesi introduce la rottura spontaneadella simmetria di gauge della lagrangiana mediante l’introduzione di un campo scalareφdal VEV non nullo ed il meccanismo di Higgs…

  5. Scelta più semplice: • φ “elementare” (anche se si studiano teorie in cui…) • doppietto di SU(2) (affinché siano scalari i termini di massa dei fermioni tipo • potenziale semi-definito positivo ed inf. limitato a d ≤4 φ4 NB: struttura valida solo a livello albero  correzioni quantistiche potenzialmente larghe… Higgs self -interactions NUOVA PARTICELLA di massa M MHnonè protetta da alcuna simmetria  dipendenza quadraticadal cut-off della teoria: δm² ~ Λ² (Tecnicamente) INNATURALE (ma non impossibile!)  problema del fine-tuning e della sua stabilità Stabilità del settore bosonico / fermionico rispetto alle correzioni radiative: δm/m << 1 up 2 M~1019GeV Se M2 >> 102 GeV  severo fine-tuningad m²bareper mantenere v ~ 246 GeV

  6. “ =” 0 “ −” Una soluzione elegante alla questione viene dalle teorie SUSY: Sparisce la dipendenza power-like dal cut-off nel potenziale di Higgs Con le SUSY il problema della “big hierarchy” (scala ew << Plank) non è più un problema tecnico (ma la sua origine rimane inspiegata…) Altro sospetto di una teoria soggiacente più ampia: cancellazione dell’anomalia della corrente assiale sommando su ciascuna famiglia fermionica Tale grafico conduce alla violazione della simmetria classica della lagrangiana; se JAè associata ad una corrente di gauge e C≠0 la rinormalizzabilità e persa! A MENO CHE sommando sulle varie famiglie fermioniche non avvenga che: ed infatti guarda caso

  7. Parte rinormalizzabile (tutti i possibili operatori a d≤4 compatibili con la simmetria di gauge) Possibile parametrizzazione dei nuovi gradi di libertà due possibili approcci sono: Effective QFT Leff NON è rinormalizzabile in senso stretto, ma può esserlo odine per ordine Fino a quale scala lo SM e una buona teoria effettiva, cioè ? ? Quanto vale ΛNP ? PURTOPPO lo SM è rinormalizzabile! Gli effetti dei nuovi d.o.f. possono venir nascosti nellarinormalizzazione delle coupling degli operatori a d≤4  i nuovid.o.f.si DISACCOPPIANO • studio della stabilità del potenziale di Higgs sotto correzioni quantistiche, dalla scala ew fino a ΛNP • ricerca indiretta di NP indotta dagli operatori a d>4 (test di precisione e processi rari) SI NO

  8. Per studiare l’effetto delle correzioni quantistiche sul potenziale di Higgs si introduce il concetto di POTENZIALE EFFETTIVO. Qualitativamente: densitàdi energia (di un sistema classico in termini del VALORE) del campoφ(x) Densità di Lagrangiana “classica” per un campo scalare φ Hamiltoniana densitàdi energia di un campo costante φ Il “Potenziale” V(φi) èdefinito come l’opposto della parte non derivativa della (densità di) Lagrangiana VEV degli scalari φi della teoria, (invarianti sotto traslazioni, conservazione dell’ impulso NON SSB) Funzioni di Green(=VEV di un prodotto di campi T-ordinato Spettro di masse di una teoria di gauge Soluzioni della: Si cercano le soluzioni delle e.o.m. invarianti sotto traslazioni

  9. CORREZIONI QUANTISTICHE Contributi alla densità di energia del campo φ tenendo conto delle possibili emissioni e riassorbimenti di particelle virtuali  contributi dei loop di particelle virtuali all’energia di interazione INTERAZIONI  grafici con un certo numero di gambe esterne: I grafici riducibili (separabili in due distinti dal taglio di una linea interna) non contribuiscono all’energia di interazione (il loro contributo si semplifica nello sviluppo della matrice S…) 1 gamba est. 0 gambe est. Assorbiti in una ridefinizione (shift) del campo Energia del vuoto  shift del livello 0 dell’energia di una costante Le correzioni quantistiche al potenziale classico si ottengono sommando tutti e soli i grafici “1PI”.

  10. Per esempio, esempi di grafici 1PI che contribuiscono alle correzioni quantistiche al propagatore (per una teoria massless tipo λφ4, solo interazioni 4-lin): LOOP EXPANSION + … + + + + … + … + convenzionalmente valutati senza propagatori sulle gambe esterne. Potenziale ↔ termini senza derivate nei campi  si può considerare infinitesimo l’impulso nelle gambe esterne di tali grafici Correzioni quantistiche al potenziale classico ↔ somma di tutti e soli i grafici “1PI” ↔ Potenziale efficace, il cui (nuovo) minimo determina se avviene la SSB Più quantitativamente…

  11. Somma di tutti i diagrammi 1PI con n linee esterne Somma di tutti i digrammi connessi con n linee esterne STRATEGIA • Si inserisce una “fonte esterna” J(x) linearmente accoppiata al campo φ; è un C-numero in funzione del punto dello spazio-tempo • Il funzionale generatore W(J) e` definito in termini dell’ampiezza di transizione tra gli stati di vuoto nel iniziali e finali in presenza della fonte esterna J • I coefficienti G dell’ espansione in serie di Taylor funzionale di Wsono le funzioni di Green connesse • La trasf. di Legendre funzionaledi J fornisce l’azione effettivaΓ(φc);φce’ chiamato il “campo medio” o “classico” (obbedisce all’eq. classica…) • Nell’espansione dell’ l’azione effettivain serie di potenze diφcsi individuano le funzioni di Greendei grafici 1PI della teoria, detti anche vertici propri, mentre espandendola potenze delle derivate di φc (in impulso dal punto in cui quelli esterni si annullano) si definisce il potenziale efficace Espansione in potenze di φc POTENZIALE EFFICACE Espansione in impulso

  12. L=½(∂φ)²- ½μ²φ² - (λ/4!)φ4 + φ → -φ = scompaiono le potenze dispari negli sviluppi in potenze di Γe Veff; Veff(φc)~ densità di energia dello stato in cui φ(x)≡φc =const o meglio valore di aspettazione della densità di energia nello stato ψ che minimizza <ψ|H|ψ> sotto la condizione <ψ|φ(x)|ψ> = φc Il potenziale efficace é dunque somma di tutti i diagrammi 1PI con impulsi infinitesimi sulle gambe esterne. Dunque avremo: livello albero + correzioni + + + …

  13. Il meccanismo della SSB avviene se φc assume un VEV non nullo anche se J(x) va a zero: VEV invarianti per traslazioni Il valore <φ> di φca cui si trova il minimo è il valore di aspettazione di φ nel nuovo minimo Correz. radiative → potenziale efficace → diagrammi 1PI → →integrali sull’impulso → divergenze → RINORMALIZZAZIONE! Teorie rinormalizzabili ↔ divergenze riassorbite nella ridefinizione di parametri e campi. Definendo la (massa)² del mesone come l’inverso del propagatore @ p=0: …e la costante di accoppiamento tramite la funzione a quattro punti sempre a @ p=0: tramite queste si ricaverà massa e coupling, definendoφ' = φ- <φ> (φc' = φc- <φ>) e valutandole NON in zero bensì in φc= <φ>

  14. Potenziale efficace ↔ somma su tutti gli infiniti grafici 1PI… ?! Impossibile! LOOP EXPANSION! Poi sarà α = max [g²,g'²,λ,yt…]/4π; vogliamo sia << 1 Potenze di α = N°[linee int.] - N°[vertici] potenze di α = N°[ loop]+1 N°[ loop]= N°[integrali INDIP sul momento] = N°[linee int.] - N°[vertici]- 1[pTot = cost ] Pertanto: ≈ non influenza la sua divisione nella parte libera e di interazione, o lo shift dei campi sviluppo in una costante che moltiplica l’intera lagrangiana (p.es h, poi posta uguale ad uno) loop-expansion

  15. Il potenziale a one-loopèdunque la somma di tutti i diagrammi ad un loopcon attaccati all’anello uno-due-…-N “ciuffi” di n-2 gambe esterne, se n èla potenza a cui compare φcnel potenziale.Se il potenziale è del tipo g(φc)n/n!,per l’r-esimo grafico della somma avremo: r propagatori r vertici a (n-2)r gambe r(n-2) linee esterne La loop simmetria per rotazioni e riflessione del grafico definizione di funzionale generatore fattore (k2+iε)-r fattore g/(n-2)! CIASCUNO (invarianza dello scambio delle n-2 linee est. a ciascun vertice) fattore g∙φcr(n-2) integrazione sull’impulso fattore combinatorio 1/2r Una “i” Il potenziale effettivo a one-loop sarà: con una rotazione di Wick, nel piano Euclideo avremo: Se ci fosse nel potenziale un altro termine del tipo g`(φc)m/m! come argomento del log sarebbe comparso un termine analogo ma con potenza e fattoriale pari a m-2.  Per un generico potenziale polinomiale U avremmo: Divergente!  si taglia a k = Λ (e se la th è rinormalizzabile la dipendenza da Λ sparirà)

  16. Un metodo alternativo (Lee-Sciaccaluga) molto semplice e più efficace ad ordini superiori: espansione dell’azione effettiva non attorno a φc=0 ma attorno ad φc= ωΓ(n) sarà il generatore dei diagrammi 1PI di una teoria in cui φcè stato sostituito da φc – ω; l’espressione per il potenziale efficace conterrà ora potenze di φc – ω. Differenziando ora l’espressione di Γ(1) rispetto ad ω e ponendo φc= ω si ottiene subito: “ ” Per esempio nel caso di una teoria con scalare massivo auto-interagente avremo il “solito” potenziale dello SM, shiftato di ω: La massa di φc ora vale μ2 + λω2 : il termine tri-lineare sarebbe –λωφc3 così tale vertice avrebbe il fattore –3!iλω il tad-pole varrebbe: Moltiplicato per i ed integrando su ω: cioè come prima a meno di costante.

  17. Per un potenziale quartico il potenziale efficace risulta: con a e b controtermini (cutoff-dependent) da determinarsi con le condizioni di rinormalizzazione L’origine non è più di minimo, ma ve ne può essere uno nuovo SSB! Inoltre, se φc piccolo & μ²<0 → V immaginario! Occorre implementare la sottrazione ad un valore di φc tale che Veff sia reale PROBLEMA! La derivata IV del potenziale non esiste, ha una singolarità logaritmica nell’origine!  Si definisce allora la c.c. in un qualche arbitrario “punto” M lontano dalla singolarità: Rinormalizzazione

  18. Così facendo: • si introduce un parametro arbitrario M con le dimensioni di una massa; • il nuovo minimo dipende da M, cosiccome la c.c. • La dipendenza da M NON entra nella fisica: cambiando M cambia solo λR però... Il valore a cui si opera la sottrazione può essere LONTANO dal range di validità della loop-expansion: affinché sia affidabile, il parametro di espansione dev’essere sia << 1 posso fissare adeguatamente M; ma se voglio lavorare in un intervallo del potenziale tra φ1e φ2 , dovrà essere anche ln( (φ1/φ2)²) << 1; Occorre calcolare il potenziale efficace “RG-improved”

  19. M arbitrario (entra nell’espressioni di λ); la “Fisica”, il Veff non deve dipendervi (le dipendenze si devono poter assorbire) →Equazioni del gruppo di rinormalizzazione; βgi: “β-function” (unaper ciascuna coupling) eγ “dimensione anomala”: coefficientiparametrici che dipendono dalle c.c. e da M β e γ sono note solo come sviluppi in serie di potenze nelle c.c., che saranno affidabili se le gi<< 1 SENZA richiedere che gi ln(φc/M)<< 1 ! NB Una RGE per ciascuno dei termini μ²φ², (λ/4!)φ4 del potenziale; quindi avremo le β-function βμ, βλ (in realtà un’equazione per ciascuna Γ(n), visto non devono dipendere dalla scala di rinormalizzazione M) Condizioni al contorno per le RGE: Note dunque le masse di fermioni ed Higgs, risulta determinato il potenziale efficace “RG-improved”; viceversa dal suo calcolo e confronto coi dati si possono mettere limiti su mH…

  20. Nello SM avremo anche (TUTTI a M=0): • campi bosonici a spin 0, φa • bi-spinori di Dirac, ψa • campi vettoriali, Aaμ • campi ghost • …tutti con interazioni rinormalizzabili: • gauge invarianti • self-interaction quartiche per iφa • Yukawa-type per quelle bosoni - fermioni Gauge di Landau CONTROTERMINI DALLA RI-NORMALIZZAZIONE DELLE C.C. (  Vc in funz degli altri 4 termini) Poligoni n-agoni  ∑(possibili mesoni interni) ≡ Tr{∏ matrici(attorno alla loop)} SCALARI: BOSONI DI GAUGE: FERMIONI: Solo grafici con un numero pari di gambe esterne (la traccia di un num. dispari di matrici γ vale zero)

  21. Nel modello GWS standard avremo: g, g' c.c. di gauge egYYukawa-coupling del top NB: Se gY (=√2mtop/σ) è grande B può diventare negativo!  Potenziale non limitato minimo instabile! Sommando tutti i contributi dei loop con scalari, fermioni e bosoni vettori, trascurando i contributi di tutti i quark escluso il top e ponendosi a φ<<v si perviene all’espressione:

  22. Veff(φ) φ v Risommando i Log: Differenti comportamenti del potenziale a seconda del valore iniziale di λ(M) ↔ mH LA RICHIESTA DELLA STABILITA’ DEL POTENZIALE PER φ<Λ COINCIDE COL LA CONDIZIONE λ(Λ)>0

  23. Valori iniziali di λ (di mH)troppo grandiportano ad un polo prima della scala di Plank Valori troppo piccoli conducono ad una λ negativa  IL VUOTO DELLO SM DIVENTA INSTABILE! Log10(Λ/1GeV) Soltanto per mH in una limitata finestra di valorilo SM rimane stabile sino alle energie di Planck… ...com'e il nostro vuoto?

  24. Seλ(M) diventa negativaper M >Λ si può ripristinare la stabilità assoluta del minimo e-w (NO nuovi minimi del potenziale) introducendo nuovi gradi di libertà(NP) PRIMA della scala Λ, per “congelare” il running di λ grazie a loop di nuove particelle (SUSY, p.es.) limiti superiori sulla scala di NP in funzione di mH (ed mt). Ma l’assoluta stabilità non è richiesta da alcuna evidenza sperimentale! Se si RINUNCIA alla richiesta di stabilità assoluta“accontentandosi” che il vuoto e-w sia (instabile ma) sufficientemente longevo, si può allora rilassare le condizioni e richiedere la stabilità del minimo sotto: FLUTTUAZIONI TERMICHE paragonabili alle quantistiche solo @ T~108 GeV FLUTTUAZIONI QUANTISTICHE(@ T~0) calcolabili in modo model-indep. (non ne parleremo) Possono aver avuto un ruolo importante nelle primissime fasi di vita dell’Universo… Limiti su mH dalla richiesta che la probabilità diQUANTUM TUNNELING del minimo ew integrata sull’età dell’Universo TU sia piccola

  25. U φ- φ+ φ • CLASSICAMENTE: 2 eq. stabili: φ+, φ- . • QUANTISTICAMENTE: 1 solo eq. stabile: φ- • φ+reso instabile dalle fluttuazioni quantistiche (effetto tunnel, “barrier penetration”): è un “FALSO VUOTO” Con un potenziale simile si potrebbero dunque formare bolle di vero vuoto in un fondo omogeneo di falso vuoto… Analogia: fluido sovra-riscaldato  formazione di bolle di vapore: energia minore all’interno, maggiore all’esterno (fase di vapore ↔ MINORE energia libera) crescita guadagno in en. di volumeVSperdita di en. di superficie effetti in competizione, compensazione o meno: le bolle piccole scompaiono, le bolle grandi crescono Quantità rilevante:probabilità di decadimento del falso vuoto x unità divolumee di tempo ~ O(1 ms): l’universo è ancora caldo quando il falso vuoto decade ~ O(1 yr): brusco cambiamento di stato dell’Universo (Big Bang secondario?) ~ O(109 yr): …C’E` DI CHE PREOCCUPARSI!

  26. V V(q) σ q q0 -V(q) Quantisticamente il minimo q0non è stabile: grazie a fluttuazioni quantistiche la particella può penetrare la barriera. L’ampiezza di transizione per tale processo ha la forma: Consideriamo il problema 1-D con m=1 e V(q): ove: Si può scegliere Etot=0 e lo zero dell’energia in modo che il punto di eq. “classico”, q0,sia zero di V; σè il II zero di V. Generalizzando in più dimensioni: σ Σsuperficie di minimi; l’intergale sarà su quel percorso per cui B è minimo: la particella penetra dove trova meno resistenza Formalmente il problema è equivalente studiare il problema variazionale canonico, ove però:

  27. V V(q) σ q q0 -V(q) Ma Inoltre potendo scegliere come istante zero quello in cui la particella raggiunge σ, dovrà essere: Notiamo che la variazione di quest’espressione rispetto ad un cambio del punto σ di Σ si annulla (quella condizione si può dunque rilassare…) Quindi Per τ>0 il suo moto è l’esatto inverso che per τ<0: balza fuori da Σ a τ=0 e torna in q0 a τ=∞. La particella parte in q0 a τ = -∞, colpisce la superficie degli equilibri “classici” dall’altra parte della barriera, e BALZA indietro in q0 ad τ = +∞. Questo moto viene appunto detto il “bounce” • Quindi per conoscere B: • si risolvono le e.o.m. a tempo immaginario con le appropriate condizioni al contorno • se ne calcola l’azione euclidea NB_1: con PIU’ bounces  prendo quello che minimizza l’azione euclidea NB_2: con PIU’ bouncesa pari azione  sommo tutti tali contributi su Γ (integro sul gruppo di simmetria )

  28. U U(φ) φ- φ+ φ -U(φ) (continuità nell’origine) Tornando ai campi, l’e.o.m. a tempo immaginario sarà: con condizioni al contorno: (la 1 ci dice che al principio c’è ovunque il “falso” vuoto) Inoltre: B finita (↔ lontano dalla “bolla” di vero vuoto il vuoto rimane quello “falso”) definito: così avremo che: si vede che esistono sempre soluz alle equazioni sopra, diventate: • traslazioni spaziali di soluzioni sono ancora soluzioni • il bounceè invariante per rotazioni euclidee 4-D • (soluzioni non O(4) invarianti hanno azione maggiore  ignorabili)

  29. analogia QFT  meccanica: il campo classico compie un “balzo” dallo stato definito dalle poi evolve secondo l’ equazione dei campi classici: continuazione analitica • b≡b(r) • è calcolabile in forma chiusa nella “tiny wall approximation” (piccola ΔE tra I due minimi) • la funzione φ fornisce la forma del bounce nello spazio 4-D euclideo come in quello ordinario al momento della sua materializzazione al di là della barriera • l’O(4)-invarianza diviene O(3,1)  la crescita della bolla dopo la sua materializzazione appare la stessa ad ogni osservatore di Lorentz • tutta l’energia guadagnata nella conversione del falso vuoto nel vero vuoto, quindi nella crescita finisce nell’accelerazione della bolla stessa

  30. Circa il coefficiente A: Versione euclidea (τ=it) dell’ integrale di Feynman sui cammini Nel limite semiclassico, dominato dai (contributi dei) punti stazionari di S Azioneeuclidea Ivi il termine dominante per grandi T “parla” dell’ autostato più basso dell’energia Eq di una particella (di massa unitaria) che si muove sotto un potenziale –V  E=1/2(dx/dt)²-V(x) è integrale primo

  31. Siamo al risultato: (semi-classical approx.) R: parametro di scala arbitrario associato alla dimensione caratteristica del bounce TU/R: fattore di volume bè il “BOUNCE” la soluzione delle equazioni del moto euclidee (τ = it): soddisfacente alle condizioni: connette le regioni di falso vuoto con quelle di vero vuoto al di là della barriera; è O(4)-invariante P<1 VU=(1010yr)4 Inserendole nell’espressione per p: SOLUZIONI tree-level (λ < 0 e trascurando la parte quadratica del potenziale): richiedendo p<1  limiti su λ (λ piccolo tunneling rate bassa) RGE per λ(μ) limiti inferiori su mH

  32. Nel calcolo della probabilità di tunneling a 1-loop tali ambiguità dimensionali vengono entrambe rimosse; l’espressione da calcolare è: • Si, ma… • QUALE R, ? • QUALE μ ? • (forse μ=1/R…?) b : il “bounce” al tree-level (b=v è il falso vuoto ew) S0/1: funzionale d’azione al tree-level / one-loop; l’ apice denota la derivata funzionale SDet: il determinante funzionale; l’apice indica l’omissione nel calcolo delle autofunz. dell’autovalore zero (gli “zero-modes” (già contato integrando b che è t-invar.) = Det quando agisce su campi bosonici = 1/Det² quando agisce su campi fermionici mH=115 GeV, mt=175 GeV Il valore critico di R è molto grande ( trascurare il termini quadratici nel potenziale è ben giustificato)ma < MPL! fh/g funzioni che esprimono la parte da sottrarre dei contributi all’azione dei loop del top e dei bosoni di gauge (da ricavare numericamente)

  33. Se NON si trovasse NP fino a MPL esiste una considerevole probabilità che il vuoto dello SM in SIA METASTABILE! In definitiva: per mH=115 GeV, il potenziale di Higgs esibisce instabilità sotto la scala di Plank per mt > (166±2)GeV, mentre è metastabile, ma sufficientemente longevo per mt < (175±2)GeV. Viceversa prendendo mt dal PDG04, la metastabilità risulta perfettamente compatibile con gli attuali limiti sperimentali su mH • Per porre i limiti in figura si è posto pmax = 1 e si sono utilizzate: • soluzioni delle equazioni di QCD a two-loop gt(mt@1/R) VS mt • integrazione a two-loop delle RGE eq per λ, gt per le tre c.c gi

  34. BIBLIOGRAFIA • Articoli: • S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D & (1973) 1888; • J. Iliopoulos, C. Itzykson, A. Martin, Rev. of Mod. Phys. 47-1 (1975) 165; • S. Coleman, Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 ; • C. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762; • M. Sher, Phys. LettersB 317 (1993) 273-420; • G. Isidori, G. Ridolfi, A. Strumia, (2001) hep-ph/0104016. • Testi: • J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, 1965; • R.P Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965.

  35. BACKUP SLIDES (ritagli)

  36. mH Il significato fisico di Veff emerge meglio integrando sul tempo: Le fluttuazioni quantistiche attorno al campo classico (emissioni e riassorbimento) sono la somma delle densità di energia delle fluttuazioni del vuoto; la loro frequenza, o massa, è coerentemente proporzionale alla “curvatura” (U'')½

  37. Funzioni di Green: VEV di un prodotto di campi T-ordinato (α: lorentz+group ind.) • ad ogni dato ordine perturbativo, è somma di tutti i grafici; in essi, corrispondentemente ad ogni campo, ogni gamba esterna avrà un propagatore che porta impulso pi con un indice libero α; • NON sono direttamente connesse con gli osservabili fisici, • NON sono gauge-invarianti • le linee esterne dei grafici non sono necessariamente on-mass-shell

  38. Il DETERMINANTE FUNZIONALE di un operatore ellittico (autoval. dei coeff. delle derivate tutti positivi o tutti negativi) a spettro discreto e positivo si può definire come e–Z'(0) ove Z(0) è la continuazione analitica nell’origine di: Z(s)=∑n(λn)–s Il metodo standard sviluppato per la determinazione del potenziale efficace tramite il calcolodell’integrale funzionaleè il cosiddetto “steepest descendent method, nel quale si calcola esplicitamente il funzionale integrale e quindi la trasf. di Legendre, successivamente espansa: si definisce una nuova lagrangiana (che avrà nuovi propagatori e nuovi vertici): Il potenziale efficace sarà dato da: Dove il determinante agisce sui gradi di libertà interni e di spin

  39. U U(φ) φ- φ+ φ φ1 -U(φ) ~ legge di Stokes con viscostà inversamente proporzionale al tempo + … + + + … Era: + + …

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