L-System et mod lisation de plantes

1. L-System et mod�lisation de plantes� 

2. Plan Introduction Grammaire formelle Structure L-System Exemple de L-System Application aux plantes Logiciel de mod�lisation de structure L-System : L-System4

3. Introduction Les L-System ont �t� cr��s par Aristid Lindenmayer, But : mod�liser les processus de croissance des plantes ou des bact�ries. Traduction algorithmique de leur sch�ma de prolif�ration. Son mod�le s�appuit sur les grammaires formelles appel�es L-System. Cellules => symboles. Division cellulaire => remplacement du symbole d�une cellule par ceux des cellules obtenues apr�s division.

4. Rappel : Grammaire Formelle (1) D�finition d�une syntaxe : �l�ments de base comme les lettres d�un alphabet R�gles de construction des mots. La syntaxe produit donc un ensembles de mots. Langage formel = ensemble des mots de longueur finie construits sur un alphabet fini.

5. Rappel : Grammaire Formelle (2) Utilit� en informatique : v�rifier qu�un �l�ment est construit sur une syntaxe pr�cise. Utilisation : Compilation lors de l�analyse syntaxique Analyse et traitement des langues naturelles. Exemples de grammaires formelles : Expressions arithm�tiques exp -> exp + exp | exp * exp | (exp) | num num -> 0num|1num|2num|3num|4num|5num|6num|7num|8num|9num|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 Logique propositionnelle �. Expressions r�guli�res�.

6. L-System : grammaire formelle Un L-System ? grammaire formelle 1) un alphabet V (un ensemble de symboles variables propres au L-System) 2) un ensemble de symboles constants S (dont certains commun � tous les L-System pour leur interpr�tation) -> voir le symbole F 3) un axiome de d�part w (un ensemble de symboles appartenant � V) 4) un ensemble de r�gles de reproduction des symboles de V. Notation : G={V,S,w,P}

7. Exemple de L-System (1) Le L-System original de Lindenmayer pour mod�liser les algues: Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de d�part : A R�gles : (A -> AB),(B -> A) Les it�rations produisent : n=0 : A -> AB n=1 : AB -> AB A n=2 : ABA -> AB A AB n=3 : ABAAB -> AB A AB AB A Etc�

8. Exemple de L-System (2) Les Nombres de fibonacci sont un L-System (Les L-System ne sont pas que des mod�lisations du monde vivant) Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de d�part : A R�gles : (A-> B),(B->AB) Les it�rations produisent : n=0 : A n=1 : B n=2 : AB n=3 : BAB n=4 : ABBAB n=5 : BABABBAB n=6 : ABBABBABABBAB Si l�on compte la longueur de chaque string, on obtient la s�quence des nombres de fibonacci : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 (Fameuse fonction non calculable au sens de turing)

9. Interpr�tation graphique Int�r�t des L-System : interpr�tation graphique. Le mot obtenu : aucun sens en soit. Interpr�tation de gauche � droite. Chaque symbole (constant et variable) ? 1 �l�ment graphique. Des symboles sp�cifiques introduits. Ces symboles d�finissent le comportement d�un voyageur imaginaire qui parcourrait la cha�ne obtenue. On parle de ��Turtle interpretation��

10. Turtle interpretation Voici les symboles de parcours les plus connus : F : Se d�placer d�un pas unitaire + : Tourner � gauche d�angle alpha - : Tourner � droite d�un angle alpha & : Pivoter vers le bas d�un angle alpha ^ : Pivoter vers le haut d�un angle alpha < : Roulez vers la gauche d�un angle alpha > : Roulez vers la droite d�un angle alpha | : Tourner sur soi-m�me de 180� [ : Sauvegarder la position courante ] : Restaurer la derni�re position sauv�e On peut constater que l�open-GL va se pr�ter id�alement � cette mod�lisation�

11. Exemple de L-System (3) Koch Snowflake (flocon de neige) Variables : F Constantes : aucunes Axiome de d�part : F R�gles : (F -> F+F-F-F+F) n=0: F n=1: F+F-F-F+F n=2: F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F