I RADICALI

1. I RADICALI

2. L’opinione comune etichetta la matematica come “difficile”; e frasi come “La matematica è difficile” o “Non sono portato per la matematica” vengono pronunciate spesso dagli alunni; ma non è così. Infatti qualsiasi persona può dedicarsi allo studio della matematica in quanto essa è frutto dell’intelletto umano. Per studiarla la nostra mente deve essere, però, abituata ad “una ginnastica mentale” in quanto occorre trovare relazioni tra oggetti astratti, che non si toccano e che non si vedono, ma che esistono perché scaturiscono da un ragionamento. Uno degli argomenti in cui gli alunni trovano più difficoltà è proprio lo studio dei RADICALI

3. PREMESSA La scoperta dei numeri irrazionali avvenne ad opera dei pitagorici, studiosi greci della famosa scuola pitagorica fondata da Pitagora. La scuola pitagorica poneva al centro del suo pensiero il numero, che non rappresentava solo l’espressione della quantità, ma costituiva “l’elemento dell’Universo”. Tutta la realtà fisica si fondava, infatti sui numeri naturali e sul loro rapporto, numeri che erano considerati i soli in grado di legare grandezze geometriche e misure. Per i pitagorici, quindi, ogni misura si doveva esprimere con un numero naturale o con un rapporto fra due numeri naturali, cioè un numero razionale. Questa teoria crollò quando gli stessi studiosi si accorsero che in un quadrato di lato 1 la misura della diagonale non poteva essere espressa con un numero razionale. L’applicazione del famoso teorema del loro maestro, il teorema di Pitagora, stabiliva che tale misura era uguale ae i pitagorici stessi furono costretti ad ammettere che non esiste nessun numero naturale il cui quadrato sia due. Essi svilupparono allora una teoria che potesse stabilire delle proporzioni fra queste grandezze che però si rifiutarono di definire numeri. Bisognerà aspettare quasi duemila anni perché queste entità entrino a far parte dell’uso comune e perché il fatidico numero il cui quadrato è 2 diventi il numero irrazionale . È molto recente, infatti l’introduzione del calcolo con i numeri irrazionali e si deve principalmente ai matematici Richard Dedekind e Georg Cantor, mentre Rudolff ha introdotto il simbolo odierno di .

4. Con l’introduzione quindi, dei numeri irrazionali si allarga la possibilità di fare delle misurazioni e dei calcoli, che prima si ritenevano non possibili, come calcolare le diagonali dei quadrati e dei rettangoli o trovare le altezze dei triangoli equilateri, ecc…

5. Tenuto conto che si lavora in un istituto tecnico per geometri e che i ragazzi lavorano con aree, lati e volumi, per introdurre il concetto di radicale e di numero irrazionale si può partire proprio dal problema di trovare il lato di un quadrato di cui si conosce l’area. La risoluzione di questo problema necessita quindi dell’introduzione di una operazione, detta estrazione di radice, che si definirà come operazione inversa dell’elevamento a potenza 2. Analogamente dato il volume di un cubo si può ricavare la misura dello spigolo estraendo la radice cubica, che pertanto sarà l’ operazione inversa dell’elevamento a potenza 3. Generalizzando chiameremo radice n-esima (algebrica) del numero reale a quel numero reale b tale che con

6. INDICE RADICE RADICANDO

7. Lavorando in maniera empirica, partendo dalla definizione di radicale si fa notare quanto segue: • (3)2=9 • (-3)2=9 • (3)3=27 • (-3)3=-27

8. Da ciò si deduce che • Se l’indice della radice è pari il radicando deve essere positivo • Se invece, l’indice della radice è dispari il radicando può essere sia positivo e sia negativo • Gli alunni tramite l’utilizzo di software matematici potranno giungere alla seguente conclusione:

9. In base a quanto dedotto dagli esempi, possiamo dunque affermare che PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Due radicali si dicono equivalenti se ammettono la stessa radice RADICALI EQUIVALENTI RADICALI EQUIVALENTI

10. Faremonotare che le radici godono delle stesse proprieta’ delle potenze perché la può essere scritta per convenzione anche quindi un radicale può essere espresso come una potenza con esponente frazionario. Utilizzando allora le proprieta’ delle potenze, che verranno brevemente riprese, si ricaveranno per analogia quelle dei radicali.

11. =

12. Invogliando i ragazzi a tradurre il linguaggio dei numeri in frasi italiane ed a dedurre da soli le regole ed i teoremi relativi al prodotto, quoziente e potenza di un radicale potremo dire che, per il primo caso:

13. Il prodotto di due radicali aventi lo stesso indice (in caso contrario è necessario ridurli allo stesso indice) è uguale a un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi;

14. 2 I fattori sono radicali con lo stesso indice e riscriviamo i radicandi sotto un’unica radice avente l’indice comune. Moltiplichiamo i radicandi, il risultato 125 b3 si può scrivere anche come 53 b3, mettendo in evidenza l’esponente 3 del radicando lo si semplifica con l’indice di radice. PRODOTTO a) = =

15. Per il secondo caso: Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è uguale a un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi;

16. Per il terzo caso: La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto dei due indici e per radicando lo stesso radicando.

17. Dai primi due casi nasce la necessità di dover ridurre i radicali allo stesso indice per poter effettuare il prodotto ed il quoziente tra radicali. Si troverà allora il m.c.m. tra gli indici(analogamente al procedimento per la riduzione di frazioni allo stesso denominatore) e lo si assumerà come nuovo indice per tutti i radicali poi si moltiplicherà l’esponente di tutti i radicandi per il quoziente tra il m.c.m.e l’indice primitivo.

18. Ricordando che un radicale può essere scritto come una potenza con esponente frazionario e che per le frazioni vale la proprietà invariantiva la applicheremo anche all’esponente frazionario per cui Con 2=M.C.D.(6;16) ed anche cioè dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per il loro M.C.D. (si parla sempre di numeri interi, positivi) o anche moltiplicandoli per uno stesso numero naturale diverso da zero, il valore del radicale non cambia.

19. Utilizzeremo questa proprietà per semplificare i radicali (così come si semplificavano le frazioni) riducendo però indice ed esponente e chiameremo irriducibile il radicale che ha indice ed esponente numeri primi tra loro. Radicale irriducibile Per trasportare poi un fattore fuori dal segno di radice l’esponente del radicando deve essere maggiore dell’indice di radice:Infatti scomponendo il radicandosi ha

20. ATTENZIONE: Se l’indice del radicale è pari e non conosciamo il segno del radicando per poter effettuare la semplificazione dobbiamo considerare il valore assoluto

21. Per trasportare invece sotto il segno di radice un fattore che moltiplica un radicale, si moltiplica l’esponente del fattore per l’indice di radice : ATTENZIONE: se tale fattore è negativo e l’indice di radice è pari il segno meno si lascia fuori dal simbolo di radice:

22. ATTENZIONE: E’ facile commettere questo errore e ancora non è =

23. in presenza di un radicando che sia una somma o una sottrazione non si può effettuare la semplificazione tra indice ed esponente cioè

24. = IL RADICALE non è semplificabile. Infatti il radicando non è una potenza con esponente 3 perché (a3 +b3)=(a+b)3 Nel teorema di Pitagora ad esempio (AC)2= (BC)2+(AB)2 Non è AC = BC+AB come succederebbe se si semplificasse la radice con i due quadrati