LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS

1. LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS

2. 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 0 1 2 3 4 5 250 $ Capital investi INTRODUCTION • Supposons que vous avez la possibilité d’investir 250 $ aujourd’hui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années (temps 1 à 5).

3. 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 0 1 2 3 4 5 250 $ • Est-ce avantageux ? • Pouvons-nous additionner les cinq revenus de 60 $ et les comparer au 250 $ d’aujourd’hui ? • 250 $ aujourd’hui =, > ou < à la somme des 60 $ des 5 prochaines années ?

4. ? ? ? ? ? 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 0 1 2 3 4 5 250 $ • Qu’est-ce qui faut faire pour comparer ? • Ramener les 60 $ des années 1 à 5 en $ d’aujourd’hui. • Hypothèse : taux de 6% l’an. 44,84 $ 47,53 $ 50,38 $ 53,40 $ 56,60 $ 252,74 $ • MÉCANISME D’ACTUALISATION

5. ? ? ? ? 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 60 $ 0 1 2 3 4 5 250 $ • Transformer tous les montants en cause en $ de l’année 5. 75,75 $ ? 71,46 $ 67,42 $ 338,23 $ 63,60 $ 334,56 $ • MÉCANISME DE CAPITALISATION

6. L’INTÉRÊT • Pour le prêteur: • C’est le sacrifice de ne pas profiter d’un montant certain et immédiat en retour d’un montant incertain et ultérieur. • Pour l’emprunteur • C’est le prix de ne pas attendre pour bénéficier d’une opportunité immédiate. • C’est le prix du temps.

7. L’INTÉRÊT SIMPLE • L’intérêt est simple s’il est toujours calculé sur le montant placé ou emprunté initialement • Donc les intérêts encaissés ou déboursés sont les mêmes.

8. DÉMONSTRATION • Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt simple annuel de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. • L’intérêt simple n’est versé qu’au terme de la transaction et il est toujours calculé sur le capital initial de 100 $ de sorte qu’il est toujours égal à chaque période.

9. 5 $ 5 $ 5 $ 0 1 2 3 Capital investi 100 $ Total des intérêts Après 3 ans Capital accumulé Remise du capital = = = 115 $ 15 $ 100 $ SCHÉMATISATION

10. DÉMONSTRATION • Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.

11. Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé N PV S FV FV = PV + [(PV * I) * (N)] FV = PV + PV * I * N FV = PV * (1 + IN) S = PV * I * N = FV - PV FORMULE

12. APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE • Les certificats de dépôt • Les certificats de dépôt sont des prêts qu’effectuent les investisseurs aux institutions financières. • Ces certificats sont émis à leur valeur nominale et rapportent de l’intérêt. • Leur échéance peut varier entre 30 jours et 5 ans. Le taux d’intérêt offert sur un certificat de dépôt dépend principalement de la durée du placement. • Habituellement, plus les fonds sont placés pour une longue période, plus le taux d’intérêt offert par les institutions financières est élevé.

13. APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE • Le prêt à intérêt simple • Le prêt à intérêt simple est équivalent aux certificats de dépôt à l’exception qu’il peut être effectué d’un particulier à un autre particulier. • L’échéance est variable.

14. S = PV * I * N FV = PV * (1 + IN) = 1 000 * 0,10 * 1 = 1 000 * (1 + 0,10 * 3) = 100 $ = 1 000 * 1,30 = 1 300 $ EXEMPLE 1 • Vous désirez placer 1 000 $ dans un certificat de dépôt qui rapporte un intérêt simple de 10 % par année. La durée de ce placement est de trois ans. • Quel sera le montant annuel d’intérêt ? • Calculez le montant total qui vous sera versé au cours de la durée de ce placement.

15. FV = PV * (1 + IN) 3 000 * (1 + I * 219 / 365) 3 216 = 3 000 + 3 000 I * 0,60 3 216 = 1 800 I 3 216 – 3 000 = 1 800 I 216 = I 216 / 1 800 = I = 12 % EXEMPLE 2 • Suite à un prêt de 3 000 $ consenti pour une période de 219 jours, un de vos amis vous a remis la somme de 3 216 $. Calculez le taux d’intérêt annuel sur ce prêt.

16. FV = PV * (1 + IN) = 25 000 * (1 + 0,08 * 7) = 25 000 * 1,56 = 39 000 $ EXEMPLE 3 • Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt simple de 8 %.

17. S = PV * I * N = 10 000 * 0,09 * 4,5 = 4 050 $ EXEMPLE 4 • Calculez l’intérêt simple d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi.

18. FV = PV * (1 + IN) = 5 000 * (1 + 0,06 * 6) = 5 000 * 1,36 = 6 800 $ EXEMPLE 5 • Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt simple de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ?

19. FV = PV * (1 + IN) 1 000 * (1 + I * 1) 1 080 = 1 000 + 1 000 I 1 080 = 1 000 I 1 080 - 1 000 = 1 000 I 80 = I 80 / 1 000 = I = 8% EXEMPLE 6 • Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?

20. FV = PV * (1 + IN) 1 000 * (1 + I * 3) 1 270 = 1 000 + 3 000 I 1 270 = 3 000 I 1 270 - 1 000 = 3 000 I 270 = 270 / 3 000 = I I = 9% EXEMPLE 7 • Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?

21. EXERCICES • Exercices 1 à 9

22. L’INTÉRÊT COMPOSÉ • La notion d’intérêt composé signifie que l’intérêt gagné pendant une période, s’ajoute au capital pour porter à son tour intérêt au cours de la période suivante. • Nous sommes alors en présence de l’intérêt sur l’intérêt. • Donc les intérêts touchés vont en s’accroissant de période en période. • La plupart des transactions financières, dont notamment, les prêts hypothécaires, les prêts automobiles, les contrats de location-achat, le crédit à la consommation (carte de crédit) sont tous des exemples faisant appel au concept de l’intérêt composé.

23. DÉMONSTRATION • Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt composé annuellement de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. • Pour la première année, il n’y a pas de différence. À partir de la deuxième année, les montant sont différents.

24. 5 $ 5.25 $ 5,51 $ 0 1 2 3 100 $ 100 $ 5 $ 105 $ 105,00 $ 5,25 $ 110.25 $ 110,25 $ 5,51 $ 115,76 $ Après 3 ans Capital accumulé Remise du capital Total des intérêts = = = 100,00$ 15,76 $ 115,76$ SCHÉMATISATION

25. DÉMONSTRATION • Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.

26. Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 1 10 10 * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) 10 + 10 * 0,10 FORMULE (10 * 0,10)

27. Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 1 10 (10 * 0,10) 10 * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) 1 1 1 2 10 * (1 + 0,10) [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 [10 * (1 + 0,10) ] * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) 10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10 (10 + 10 * 0,10) * (1 + 0,10) = 10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10 FORMULE 2

28. Ans Principal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = N PV S FV 1 1 10 (10 * 0,10) 10 * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) 1 1 1 2 2 10 * (1 + 0,10) [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 [10 * (1 + 0,10) ] * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) 2 2 2 3 3 10 * (1 + 0,10) [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 [10 * (1 + 0,10) ] * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) … … … … … … … … … … N-1 N-1 N-1 N N 10 * (1 + 0,10) [10 * (1 + 0,10) ] * 0,10 [10 * (1 + 0,10) ] * (1 + 0,10) = 10 * (1 + 0,10) FV Année 1 = 10 * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)1 FV Année 2 = 10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)2 FV Année 3 = 10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) = PV * (1 + I)3 = PV * (1 + I)N FORMULE OU FV Année N

29. N Année Solde au début Intérêt encaissé Montant accumulé PV * (1 + I) FV = 1 100 000 100 000 * 0,09 = 9 000 109 000 4 100 000 * (1 + 0,09) = 2 109 000 109 000 * 0,09 = 9 810 118 810 = 100 000 * 1,41158 3 118 810 118 810 * 0,09 = 10 693 129 503 = 141 158 $ 4 129 503 129 503 * 0,09 = 11 655 141 158 EXEMPLE 1 • Un industriel vient de négocier un taux d’intérêt de 9 % composé annuellement pour un placement de 100 000 $ dans une institution financière pour une période de quatre ans. Quel sera le montant d’intérêt gagné pour chacune des périodes et quel montant cette transaction permettra-t-elle d’accumuler au bout de ces quatre ans ?

30. N PV * (1 + I) FV = 7 25 000 * (1 + 0,08) = = 25 000 * 1,7138 = 42 846 $ EXEMPLE 2 • Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt composé de 8%.

31. N PV * (1 + I) FV = 4,5 10 000 * (1 + 0,09) = = 10 000 * 1,4737 = 14 737 $ S = FV - PV = 14 737 - 10 000 = 4 737 $ EXEMPLE 3 • Calculez l’intérêt d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi à intérêt composé.

32. N PV * (1 + I) FV = 6 5 000 * (1 + 0,06) = = 5 000 * 1,4185 = 7 093 $ EXEMPLE 4 • Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt composé de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ?

33. N PV * (1 + I) FV = 1 000 * (1 + I)1 1 080 = (1 + I)1 1 080 / 1 000 = 1 + I 1 080 / 1 000 = I 1,08 - 1 = I = 8% EXEMPLE 5 • Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?

34. N PV * (1 + I) FV = 1 000 * (1 + I)3 1 270 = (1 + I)3 1 270 / 1 000 = 3 3 + ( 1 I ) = 1 , 27 (1 + I) 1.0829 = = 8,29% I EXEMPLE 6 • Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?

35. EXERCICES • 10 à 23

36. FRÉQUENCE DE CAPITALISATION DES TAUX • La fréquence de capitalisation indique la base sur laquelle les intérêts sont ajoutés. • Annuelle • Les intérêts sont ajoutés une fois par année. • Semestriellement • Les intérêts sont ajoutés deux fois par année. • Trimestriellement • Les intérêts sont ajoutés quatre fois par année. • Mensuellement • Les intérêts sont ajoutés douze fois par année.

37. EXEMPLE • Imaginez que vous venez de gagner à la loto un montant de 500 000 $. Vous désirez placer cet argent pour 10 ans. Trois banques vous offrent les possibilités suivantes: • Banque A: Un taux de 12,00 % à capitalisation annuelle. • Banque B: Un taux de 11,75 % à capitalisation mensuelle. • Banque C: Un taux de 11,50 % à capitalisation quotidienne. • Quelle offre allez-vous choisir ? • Pour faire ce choix, il faut apprendre à manipuler trois types de taux d’intérêt.

38. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Le taux d’intérêt nominal • C’est le taux d’intérêt nommé, c’est-à-dire le taux qu’on affiche. • C’est le taux d’intérêt annuel. • Dans notre exemple: • Banque A: 12,00 % • Banque B: 11,75 % • Banque C: 11,50 % • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ? • NON. Si les taux comparés ne sont pas tous capitalisés avec la même fréquence, on ne peut pas prendre de décision financière.

39. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Le taux d’intérêt périodique • C’est le taux d’intérêt qu’on applique à chaque période de capitalisation. • Si la période de capitalisation est mensuelle, le taux d’intérêt périodique sera un taux mensuel. • On obtient le taux d’intérêt périodique en divisant le taux nominal par le nombre de périodes de composition du taux dans une année.

40. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT i = I / m • i = Le taux d’intérêt périodique. • I = Le taux d’intérêt nominalI = i * m. • m = Le nombre de fois que le taux est capitalisé dans une année. • N = L’échéance en années, d’une transaction. • n = Le nombre total de périodes d’accumulation ou de capitalisation n = N * m.

41. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Dans notre exemple: • Banque A: i = I / m = 12,00 % / 1 fois par année = 12 % par année • Banque B: i = I / m = 11,75 % / 12 fois par année = 0,9792 % par mois • Banque C: i = I / m = 11,50 % / 365 fois par année = 0,0315 % par jour • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ? • NON. Si les taux comparés ne sont pas tous capitalisés avec la même fréquence, on ne peut pas prendre de décision financière. • Par contre, nous pouvons calculer la valeur du placement à une date donnée afin de déterminer quel est le choix logique.

42. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Supposons qu’on veuille calculer la valeur capitalisée de 500 000 $ après 2 ans pour chacune des 3 banques : • On sait déjà que: FV = PV * (1 + I)N • Toutefois, cette formule n’est valide que dans le cas d’une capitalisation annuelle. • Il faut donc la transformer de la façon suivante: • FVn = PV * (1 + I/m)N*m • Comme I/m = i et que N*m = n, la formule est représentée de la façon suivante: • FVn = PV * (1 + i)n

43. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Dans notre exemple: • Banque A: FVn = PV * (1 + i)n • FV2*1 = 500 000 * (1 + 0,12/1)2*1 • FV2 = 627 200 $ • Banque B:FVn = PV * (1 + i)n • FV2*12 = 500 000 * (1 + 0,1175/12)2*12 • FV24 = 631 732 $ • Banque C: FVn = PV * (1 + i)n • FV2*365 = 500 000 * (1 + 0,1150/365)2*365 • FV730 = 629 277 $ • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ? • OUI. Pour le même capital initial (500 000 $) et un même terme (2 ans), la banque B procure un montant plus important.

44. EXERCICES • 24 à 38

45. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Le taux d’intérêt effectif • C’est le rapport de l’intérêt gagné ou chargé (valeur future moins la valeur présente) dans une année sur le capital initial (valeur présente). ie = (Valeur future – Valeur présente) / Valeur présente ie = (FVn – PV) / PV

46. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Dans notre exemple: • Banque A: ir = (FVn – PV) / PV • FV1*1 = ([500 000 * (1 + 0,12/1)1*1] – 500 000) / 500 000 • FV1 = (560 000 – 500 000) / 500 000 = 12 % • Banque B:ir = (FVn – PV) / PV • FV1*12 = ([500 000 * (1 + 0,1175/12)1*12]– 500 000) / 500 000 • FV12 = (562 020 – 500 000) / 500 000 = 12,40 % • Banque C: ir = (FVn – PV) / PV • FV1*365 = ([500 000 * (1 + 0,1150/365)1*365 ]– 500 000) / 500 000 • FV365 = (560 926 – 500 000) / 500 000 = 12,19 % • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ? • OUI. La banque B procure un rendement plus important. C’est que son taux effectif est supérieur aux deux autres banques.

47. n = N * m i= I / m LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple • Prenons 1 $ capitalisé 12 fois par an à un taux de 10 % pendant un an. FVn = PV * (1 + i)n FVn = 1 * (1 + 0,10 / 12)1*12 FVn = 1 * 1,1047 FVn = 1,1047

48. N * m où N = 1 ie = (1 + i)m - 1 LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT ie = (FVn – PV) / PV ie = (1,1047 – 1) / 1 ie = 0,1047 ou 10,47 % • Cela correspond à 1 $ capitalisé 1 fois par an à une taux de 10,47 % FVn = 1,1047 ie = 1,1047 -1

49. LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT • Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple ie = (1 + i)m - 1 • Dans notre exemple: • Banque A: ie = (1 + i)m - 1 • ie = (1 + 0,12/1)1 – 1 • ie = 12 % • Banque B:ie = (1 + i)m - 1 • ie = (1 + 0,1175/12)12 – 1 • ie = 12,40 % • Banque C: ie = (1 + i)m - 1 • ie = (1 + 0,1150/365)365 – 1 • ie = 12,19 % • Le taux effectif est le seul taux qu’on puisse comparer d’une institution à l’autre.

50. EXERCICES • 39 à 40