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Regression und Korrelation. Ziel: Vorhersage. Unabhängige Variable X (quantitativ) Abhängige Variable Y Wie genau erlaubt die Kenntnis von X, den Wert von Y vorherzusagen, und welcher Wert wäre das? Vorhergesagter Wert Y ' = F (X) (wieso Vorhersage? Wir kennen Y doch!)
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Ziel: Vorhersage • Unabhängige Variable X (quantitativ) • Abhängige Variable Y • Wie genau erlaubt die Kenntnis von X, den Wert von Y vorherzusagen, und welcher Wert wäre das?Vorhergesagter Wert Y ' = F (X)(wieso Vorhersage? Wir kennen Y doch!) • Vereinfachung: Existiert ein linearer Zusammenhang? Y ' = a + b X
Linearität • Fast jeder Zusammenhang ist • lokal linear • global nichtlinear
Y Y' = a + b X ei X Das lineare Modell • y'i = a + b · xi • yi = y'i + ei = a + b · xi + ei • ei = yi – y'i • Ziel: <e²>minimieren. • <y> = a + b · <x> • a = <y> – b · <x> • b = Vxy / Vxx
Varianz und Kovarianz • Vxx = < (x – <x>) ² > = < x² – 2 x <x> + <x>² > = <x²> – 2 <x> <x> + <x>² = <x²> – <x>² • Sx = Vxx • Vyy= <y²> – <y>² • Vxy = < (x – <x>) (y – <y>) > = <xy> – <x> <y> • Vyx = Vxy
Kovarianz • Vxy = < (x – <x>) (y – <y>) > = <xy> – <x> <y> • Vxy ist positiv, wenn positive Abweichungen in X mit positiven Abweichungen in Y einhergehen, und negative mit negativen. • Vxy ist negativ, wenn positive Abweichungen in X mit negativen Abweichungen in Y einhergehen, und negative mit positiven. • Vxy ist Null, wenn positive Abweichungen in X gleich häufig mit positiven wie mit negativen Abweichungen in Y einhergehen (und dasselbe für negative Abweichungen in X).
z-transformierte Daten • Ziel: <e²>minimieren. • <y> = a + b · <x> • a = <y> – b · <x> • b = Vxy / Vxx • <x> = <y> = 0,Vxx = Vyy = 1. • a = 0 • b = Vxy = <xy> – <x> <y> = <xy>
X' = (1/b) Y X X' = b Y Y Y' = b X ei ei ei Y X Vertauschung von X und Y • Ziel: <e²>minimieren. • b = <xy> [–1,1]
Steigung und Korrelationskoeffizient • by·x = Vxy / Vxx • bx·y = Vxy / Vyy 1 / by·x = Vxx / Vxy • rxy = Vxy / (Vxx Vyy) • by·x = rxy (Vyy/Vxx) = rxy Sy/Sx • bx·y = rxy (Vxx/Vyy) = rxy Sx/Sy • rxy² = Vxy² / (Vxx Vyy) • <ei²> = Vyy ( 1 – rxy² ) = ( 1 – rxy² ) für z-transformierte Daten
Vxx Vyy rxy²·Vyy (1–rxy²) ·Vyy (1–rxy²) ·Vyy rxy²·Vxx Varianz und Korrelationskoeffizient • rxy² = Vxy² / (Vxx Vyy) • <ei²> = Vyy ( 1 – rxy² ) = der Anteil von Vyy, der nicht durch X erklärt wird • Vyy rxy² = der Anteil von Vyy, der durch X erklärt wird yi = a + b · xi + ei
Partial- und Semipartialkorrelation • Bei Schulkindern korreliert Lesefähigkeit X mit Sprungweite Y. • Verdacht: Beides korreliert mit Alter Z. • „Scheinkorrelation“... (echte Korrelation, Verdacht: nicht kausal) • Test: Alter konstant halten... • oder: Lesefähigkeit und/oder Sprungweite vom Alter bereinigen. • bereinigte Variablen: X* = X – bx.z · Z, Y* = Y – by.z · Z. • Partialkorrelation:rx*y* = rxy.z = (rxy– rxz·ryz) / ((1 – rxz²) · (1 – ryz²)). • Semipartialkorrelation:rxy* = rx(y.z) = (rxy– rxz·ryz) / (1 – ryz²). Frage: Wie korrelieren X und Y bei konstantem Z? Frage: Wieviel trägt Y zu X bei über das hinaus, was Z beiträgt? Z Y X
rx(y.z)²·Vxx Vxx rxz²·Vxx (1–rxz²) ·Vxx SemiPartialkorrelation und Varianz • Partialkorrelation:rxy.z² = (rxy– rxz·ryz)² / ((1 – rxz²) · (1 – ryz²)). • Semipartialkorrelation:rx(y.z)² = (rxy– rxz·ryz)² / (1 – ryz²).
Multiple Regression • yi = a + b · xi + ei , y'i = a + b · xi • yi = a + b1 · x1i + b2 · x2i + b3 · x3i + … + ei • y'i = a + b1 · x1i + b2 · x2i + b3 · x3i + … • standardisierte (z-transformierte) Variablen:n: „Standardpartialregressionskoeffizienten“n ryxn,z.B. 2 Prädikatoren: 1= (ry1–ry2·r12) / (1–r12²) ry(1.2)= (ry1–ry2·r12) / (1–r12²) • nicht standardisierte Variablen: bn = n· Sy / Sxn • Multiple Korrelation: Ry,123... = ryy' • R² = Anteil der insgesamt erklärten VarianzR²y,1234... = r²y1 + r²y(2.1) + r²y(3.21) + r²y(4.321) + ... • bivariat: Ry,x = ryy' = |rxy|
Schrittweise Regression • Y wird vorhergesagt aus k Prädiktoren Xn. • Die Prädiktoren sind unterschiedlich „nützlich“: zur Erhöhung von R². Uj = R²mit j – R²ohne j (hängt von den anderen eingeschlossenen Prädikatoren ab). • Vorwärts-Technik: Beginne mit 0 Prädikatoren, nimm denjenigen hinzu, der R² am meisten erhöht,bis Beitrag von Xj unterhalb eines Kriteriums. • Rückwärts-Technik: Beginne mit k Prädikatoren, laß denjenigen weg, der R² am wenigsten schadet,solange Beitrag von Xj unterhalb eines Kriteriums. • Kombinierte Vorwärts/Rückwärts-Technik. • Abhängig von der Abfolge....
kontraintuitiv: Suppression • X1 korreliert mäßig mit Y... • X2 korreliert gar nicht mit Y. • Trotzdem verbessert sich R², wenn X2 hinzugenommen wird. • Y wird durch Merkmal A bestimmt,X1 zu 30% durch Merkmal A, zu 70% durch Merkmal B, (und korreliert daher auch nur mäßig mit Y)X2 wird durch Merkmal B bestimmt. • Es gibt eine Linearkombination von X1 und X2, die allein durch Merkmal A bestimmt wird.
