Multiple Korrelation

1. Multiple Korrelation Gliederung • Partialkorrelation • Semipartialkorrelation • Multiple Korrelation • Inkrementelle Validität • Beispiele für multiple Korrelationen • Multiple Korrelation in SPSS 01_multiple_korrelation1

2. Ziel der Multiplen Korrelation Ziele der Multiplen Korrelation • Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang mehrere Variablen untereinander. • Es wird die Frage beantwortet, wie viel Varianz ein Kriterium mit mehreren Prädiktoren gemeinsam hat. • Die MK stellt damit eine Vorstufe der Multiplen Regression dar. Beispiel • Wie eng ist der Zusammenhang der Lebenszufriedenheit mit körperlicher Gesundheit, Einkommen, und Optimismus? 01_multiple_korrelation2

3. Aufgeklärte Varianz Der Anteil aufgeklärter Varianz wird oft durch Venn-Diagramme veranschaulicht: Varianz von X Varianz von Y r² 1-r² Gemeinsame Varianz 01_multiple_korrelation3

4. Aufgeklärte Varianz Aufgeklärte Varianz • Die MK gibt an, wie viel Varianz des Kriteriums durch die Prädiktoren aufgeklärt wird. • Bei einem bivariaten Zusammenhang wird der Anteil der aufgeklärten Varianz durch den Determinationskoeffizienten angegeben: r² • Die Varianz des Kriteriums setzt sich additiv aus erklärbarer Varianz und nicht erklärter Varianz zusammen: Aufgeklärte Varianz nicht-erklärbare Varianz 01_multiple_korrelation4

5. Partialkorrelation Problem: • psychologische Merkmale hängen in aller Regel von vielen Faktoren (Variablen) ab. • Die Korrelation zweier Variablen wird meist von (mehreren) dritten Variablen beeinflusst / vermittelt. Beispiel: x:Anzahl von Badeunfällen im Freibad y: Menge des konsumierten Speiseeises Lösung: Konstanthalten/Eliminieren bekannter Drittvariablen durch die Partialkorrelation (rxy.z) 01_multiple_korrelation5

6. x.z y.z Partialkorrelation Die Partialkorrelation im Venn-Diagramm: x y z Die quadrierte Partialkorrelation r²xy.z ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y erklärt, wenn z aus beiden Variablen herauspartialisiert wird. 01_multiple_korrelation6

7. Partialkorrelation Definition • Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang von zwei Variablen, … • … aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde. • „Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde“ 01_multiple_korrelation7

8. Partialkorrelation (Theoretisches) Vorgehen: • Die Variablen x und ywerden durch eine Regression auf z residualisiert. • Anschließend werden die Residuen miteinander korreliert. 01_multiple_korrelation8

9. Partialkorrelation Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport • Fragestellung: Wie stark hängt das Körpergewicht von sportlicher Betätigung ab? • Gemessen werden: • Gewichtsabnahme (y) • Trainingsdauer (x1) • Kalorienaufnahme (x2) • Dabei ergeben sich folgende Korrelationen 01_multiple_korrelation9

10. Partialkorrelation • Fragestellung: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training ab?  r(y, x1) = .43 • Aber: Der Gewichtsverlust hängt auchmit der Kalorienaufnahme zusammen. • Wie hoch wäre die Korrelation zwischen Training und Gewichts-verlust, wenn alle Probanden gleich viele Kalorien zu sich genommen hätten? • Berechnung der Partialkorrelation: 01_multiple_korrelation10

11. Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation rx(y.z) • Die Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit y, nachdem znur aus y „herauspartialisiert“ wurde. • Mit der Semipartialkorelation kann berechnet werden, wie viel Varianz von y durch x zusätzlich zu z aufgeklärt werden kann. • Beispiel: • „Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts (y) erklärt das Training (x) zusätzlich zur Kalorienaufnahme (y)?“ 01_multiple_korrelation11

12. Semipartialkorrelation Die Semipartialkorrelation im Venn-Diagramm: x x y y.z z Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable yzusätzlich zu z erklärt. 01_multiple_korrelation12

13. Semipartialkorrelation • Fragestellung: Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts erklärt das Trainingzusätzlich zur Kalorienaufnahme? • Berechnung der Semipartialkorrelation: 01_multiple_korrelation13

14. x y.z Zusammenfassung • Partialkorrelation rxy.z • Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus beiden Variablen • Semipartialkorrelation rx(y.z) • Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus nur einer Variable x.z y.z 01_multiple_korrelation14

15. Multiple Korrelation Die Multiple Korrelation • Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium. • Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium ( Multiple Regression) und dem tatsächlichem Kriteriumswert. • Beispiel: • Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? • Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? • R  vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit Kriterium • R²  Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz = Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression 01_multiple_korrelation15

16. Multiple Korrelation • Fragestellung: • Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Trainingund der Kalorienaufnahme gemeinsam ab? • Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes könnendurch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden? • Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren): 01_multiple_korrelation16

17. x x y y z z Multiple Korrelation ryx(bivariate Korrelation) Ry.xz (multiple Korrelation) 01_multiple_korrelation17

18. x x x = + y y y y z z z Multiple Korrelation 01_multiple_korrelation18

19. x x x = + y y y y z z z x … x … y y z z Multiple Korrelation 01_multiple_korrelation19

20. Inkrementelle Validität Inkrementelle Validität • Eine Variable besitzt inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht. • D.h. eine Variable mit inkrementeller Validität verbessert die Vorhersage des Kriteriums. x y z 01_multiple_korrelation20

21. Inkrementelle Validität Beispiel • Aufgeklärte Varianz: • x1klärt 36% der Varianz von y auf • x2klärt 20% der Varianz von y auf • Frage: besitzt x2 inkrementelle Validität? Berechnung der Varianz, die durch x1 und x2 gemeinsam aufgeklärt wird: • Fazit: Weil R²y.x1x2 > r²yx1klärt x2 also auch einen Varianzanteil auf x2 besitzt inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation21

22. Beispiele für multiple Korrelationen Einige Spezialfälle der Multiplen Korrelation • Nullkorrelation • Ein Prädiktor korreliert • Inkrementelle Validität • Keine inkrementelle Validität • Suppressor-Effekt 01_multiple_korrelation22

23. x2 x1 y Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel a: Nullkorrelation • Wenn keiner der Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die multiple Korrelation immer R² = 0. 01_multiple_korrelation23

24. y x1 x2 Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel b: Ein Prädiktor korreliert • Wenn nur ein Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch x1alleine.(Ausnahme: siehe Suppressor-Effekt) • x2 besitzt keine inkrementelle Validität. 01_multiple_korrelation24

25. x1 y x2 Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel c: Inkrementelle Validität • Beide Prädiktoren besitzen inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation25

26. Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel d: Keine Inkrementelle Validität • Weil R²y.x1x2 = r²yx1 besitzt x2 keine inkrementelle Validität! 01_multiple_korrelation26

27. x1 y x2 Beispiele für multiple Korrelationen Beispiel e: Suppressor-Effekt • Obwohl y und x2 nicht korrelieren, ist R²y.x1x2 > r²yx1. • x2 besitzt demnach inkrementelle Validität! • Diese liegt daran, dass der Anteil von x1, der nichts mit x2 gemeinsam hat, y besonders gut vorhersagen kann. 01_multiple_korrelation27

28. Beispiele für multiple Korrelationen Ein Suppressor Effekt liegt also vor, wenn • … ein Prädiktor nicht mit dem Kriterium korreliert • … aber trotzdem die Varianzaufklärung verbessert. • Dies ist der Fall, wenn der Prädiktor mit anderen Prädiktoren deutlich korreliert. 01_multiple_korrelation28

29. Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Menubefehl • In SPSS wird die MultipleKorrelation als Teil der(Multiplen) Regressionberechnet. 01_multiple_korrelation29

30. Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Syntax regression /dependent gv /method enter training kalorien. 01_multiple_korrelation 30

31. Die Multiple Korrelation in SPSS SPSS - Ausgabe • Die komplette SPSS-Ausgabe wird detailliert im nächsten Kapitel (Multiple Regression) besprochen. 01_multiple_korrelation 31

32. Zusammenfassung • Partialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus allen anderenVariablen. • Semipartialkorrelation Herauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus einem anderen Prädiktor • Multiple Korrelation Varianzaufklärung mit mehreren Prädiktoren • Inkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte Varianz • Suppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne dass er mit dem Kriterium korreliert. 01_multiple_korrelation 32