Algorítmos e estrutura de dados III

1. Algorítmos e estrutura de dados III Carlos Oberdan Rolim Ciência da Computação Sistemas de Informação

2. Árvores 2-3Árvores B (B-Trees)Árvores B+

3. Árvores de busca com grau maior que 2 • Vimos que árvores de busca quando balanceadas, como as árvores AVL, permitem busca em tempo logarítmico. • No caso das árvores AVL, a busca se dá em tempo log2 (n) no pior caso. • Poderíamos tentar melhorar procurando fazer a busca em tempo logk (n), com k > 2.

4. Árvores 2-3 • Similar às árvores AVL, mas - Cada nó interno tem dois ou três filhos e - Todos os nós externos têm a mesma profundidade. P G T C K M R X A F H L O Q S V Z

5. Inserção em árvores 2-3 • Como nas árvores AVL, a inserção se dá numa folha. Se há espaço para acrescentar o novo elemento, ele entra aí. Ex: Inserção do elemento G na árvore abaixo. T I V X E G L P U W Z

6. Inserção em árvores 2-3 • Se não há espaço para acrescentar o novo elemento, gera-se dois nós com os dois elementos extremos no nó, e promove-se o elemento central, para ser incluído no nível imediatamente superior. T I V X E G L P U W Z N

7. Inserção em árvores 2-3 Ex: Inserção do elemento N na árvore abaixo. Como um nó não pode ter três elementos, são criados dois nós com um elemento cada, e o elemento do meio é promovido. T I N V X P E G L U W Z

8. Inserção em árvores 2-3 • Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz. Ex: Inserção do elemento C na árvore abaixo. T I N V X P E G L U W Z C

9. Inserção em árvores 2-3 • Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz. Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E. I T E N V X G P C L U W Z

10. I T N P L Inserção em árvores 2-3 Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E que por sua vez leva à promoção do elemento I. E V X G C U W Z

11. Árvores B ou B-Tree • Note que a diferença crucial em termos de tempo de acesso entre a árvores binárias e as árvores 2-3 é que agora o acesso pode ser feito em tempo logarítmico, mas com base 3, o que é mais rápido. • Podemos pensar então numa forma de diminuir mais ainda o tempo de acesso, aumentando o número de elementos em cada nó.

12. Árvores B • Árvores B são uma extensão da noção de árvores 2-3, onde cada nó que não é a raiz pode ter entre m e 2m chaves. • Esta estrutura normalmente é usada em memória externa. • Deve haver um compromisso entre o maior número de elementos por nó e a capacidade de acesso em disco, além de uma técnica de busca dentro do nó.

13. Árvores B • É um tipo de árvore muito utilizada em banco de dados e sistema de arquivos. • Para inserir ou remover variáveis de um nó, o nó não poderá ultrapassar sua ordem e nem ser menor que sua ordem dividida por dois. • Árvores B não precisam ser rebalanceadas como são freqüentemente as árvores de busca binária com Árvore AVL.

14. Árvores B • Árvores B têm vantagens substanciais em relação a outros tipos de implementações quanto ao tempo de acesso e pesquisa aos nós. • O criador das árvores B, Rudolf Bayer, não definiu claramente de onde veio o B das árvores B. • Ao que parece, o B vem de balanceamento onde todos os nós da árvore estão em um mesmo nível. • Também é possível que o B tenha vindo de seu sobrenome Bayer, ou ainda do nome da empresa onde trabalhava Boeing, no Boeing Scientific Research Labs.

15. Árvores B • Definições • Quando existem 2 ou mais nós, passam a ser chamadas de n-árias • Nesses casos, os nós são mais comumente chamados de páginas • Os registros de uma árvore B também são todos ordenados

16. Árvores B • Supondo uma árvore B n-ária. Em um árvore B de ordem m temos: • Cada página contém: • Registros: no mínimo m e no máximo 2m registros , exceto a raiz, que pode conter entre 1 e 2m registros; • Descendentes: no mínimo m + 1 descendentes e no máximo 2m +1 descendentes • Todas as páginas folhas aparecem no mesmo nível

17. 30 10 20 40 50 3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 52 55 43 45 48 Páginas Exemplo de uma árvore B Exemplo de uma árvore B de ordem 2 com 3 níveis

18. Árvores B • Objetivo principal • Minimizar o número de acessos ao disco para recuperar um registro

19. Declaração do TAD Árvores B • Definição da Estrutura #define ORDEM 2 #define TAMANHO (ORDEM*2)-1 typedef struct Pagina *PonteiroPagina; typedef struct { int chave; PonteiroPagina p; } item; typedef struct { int m; // numero de itens na pagina PonteiroPagina p0; item e[TAMANHO]; } Pagina;

20. Declaração do TAD Árvores B • Definição das operações. Algumas das operações que podem ser feitas em árvores B são: • Inicializa • Pesquisa • Insere • Retira

21. 30 10 20 40 50 3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 52 55 42 45 48 Pesquisa em Árvore B Procedimento para pesquisa do número 13

22. 30 10 20 40 50 3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 52 55 42 45 48 Pesquisa em Árvore B Procedimento para pesquisa do número 55

23. Inserção • Primeiro, é preciso localizar a página apropriada em que o novo registro deve ser inserido • Duas possibilidades: • Caso 1: o registro encontra seu lugar em uma página com menos de 2m registros. Nesse caso, o processo de inserção fica limitado àquela página • Caso 2:O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros). Nesse caso, o processo de inserção pode levar à criação de uma nova página.

24. Inserção de Registros Caso 1: o registro encontra seu lugar em uma página com menos de 2m registros Ordem 2 Registro 9 40 Registro 45 Registro 50 3 4 8 41 43 9 45 50

25. 40 40 3 4 8 9 3 4 8 9 20 41 43 45 50 20 41 43 45 50 8 40 40 3 4 8 9 20 41 43 45 50 9 20 3 4 41 43 45 50 Inserção de Registros Caso 2: O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros), e a página pai tem menos que 2m registros e 2m+1 páginas Ordem: 2 Registro 20

26. 8 20 28 40 1 3 4 7 9 13 15 18 21 23 25 26 30 33 35 37 41 43 45 50 22 8 20 28 40 1 3 4 7 21 22 23 25 26 9 13 15 18 41 43 45 50 30 33 35 37 Inserção de Registros Caso 2: O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros), e a página pai já tem 2m registros e 2m+1 páginas Ordem: 2 Registro 22

27. 8 20 23 28 40 1 3 4 7 21 22 9 13 15 18 25 26 41 43 45 50 30 33 35 37 1 3 4 7 9 13 15 18 25 26 41 43 45 50 30 33 35 37 21 22 23 28 40 8 20

28. Remoção • Primeiro, é preciso localizar a página apropriada do registro a ser excluído • Duas possibilidades: • Caso 1: quando o registro se encontra em uma página folha. • 1.1: A folha possui mais que m registros • 1.2: A folha possui apenas m registro e o irmão possui m+1 registros • 1.3: A folha e seus irmãos possuem apenas m registros • Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha. Nesse caso, o registro a ser retirado deve ser primeiro substituído por um outro para depois ser excluído. • Em ambos os casos deve-se verificar se a retirada não afeta as propriedades básicas de uma árvore B

29. Remoção de Registros Caso 1.1: quando o registro se encontra em uma página folha e a folha possui mais que m registros Ordem 2 Registros 7, 13, 15, 33, 37, 41 e 43 23 8 20 28 40 1 3 4 7 9 13 15 18 25 26 41 43 45 50 21 22 30 33 35 37 Retirada simples do elemento da folha

30. 23 28 40 4 20 8 18 21 22 1 3 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha possui m registros (mínimo possível) e o irmão possui m+1 registros Ordem 2 23 Registro 9 28 40 8 20 9 18 21 22 1 3 4 30 35 25 26 45 50 A chave k do pai que separa os irmãos pode ser incluída no nó X e a última ou primeira chave do irmão (última se o irmão for da esquerda e primeira se o irmão for da direita) pode ser inserida no pai no lugar de k.

31. 23 28 40 8 20 8 19 21 22 1 3 4 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha possui m registro (mínimo possível) e o irmão possui m+1 registros Ordem 2 23 Registro 18 28 40 8 19 9 18 20 21 22 1 3 4 30 35 25 26 45 50

32. Remoção de Registros • Caso 1.3: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível). Se sub-dividem em dois casos: • Caso 1.3.1: O pai pode emprestar registros • Caso 1.3.2: O pai não pode emprestar registros

33. 23 28 40 4 10 20 1 3 6 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 23 28 40 10 20 1 3 4 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.3.1: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai pode emprestar Ordem 2 Registro 6 Se os dois irmãos de X contiverem exatamente m registros (ocupação mínima), nenhum registro poderá ser emprestado. Neste caso, o nó X e um de seus irmãos (à esquerda ou direita) são concatenados em um único nó, que também contém a chave separadora do pai.

34. 23 28 40 4 10 20 1 3 6 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 23 28 40 4 20 1 3 6 10 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.3.1: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai pode emprestar Ordem 2 Registro 8

35. 23 28 40 4 10 20 1 3 6 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 23 28 40 4 10 1 3 6 8 13 18 20 21 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.3.1: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai pode emprestar Ordem 2 Registro 22

36. 23 28 40 10 20 4 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 Remoção de Registros Caso 1.3.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai não pode emprestar Ordem 2 Registro 13 Se os dois irmãos de X e o pai contiverem exatamente m registros (ocupação mínima), também nenhum registro poderá ser emprestado. Neste caso, o nó X e um de seus irmãos são concatenados em um único nó que também contém a chave separadora do pai, e o procedimento é feito recursivamente até que as páginas contenham a quantidade mínima de registros.

37. 23 28 40 10 20 4 8 13 18 21 22 30 35 25 26 45 50 23 28 40 20 4 8 10 18 21 22 30 35 25 26 45 50 4 8 10 18 21 22 25 26 45 50 30 35 Remoção de Registros 20 23 28 40

38. 10 05 20 02 07 15 35 01 03 13 06 09 16 30 40 10 05 20 07 15 35 01 02 13 06 09 16 30 40 Remoção de Registros Outro exemplo: Árvore B de ordem 1 Registro 3

39. 10 05 20 07 15 35 10 13 06 01 02 09 16 30 40 20 05 07 15 35 01 02 06 09 13 16 30 40 10 20 05 07 15 35 01 02 06 09 13 16 30 40 Remoção de Registros

40. Remoção • Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha. • Mesmo procedimento de remoção em árvores binárias ou AVL • Substituição pelo registro mais à direita da sub-árvore à esquerda; • Substituição pelo registro mais à esquerda da sub-árvore à direita; • Caso 2.1: a sub-árvore vizinha possui registros para emprestar • Caso 2.2: a sub-árvore vizinha não possui registros para emprestar

41. 20 24 28 40 4 8 10 18 21 22 23 25 26 45 50 30 35 21 24 28 40 18 24 28 40 4 8 10 18 22 23 25 26 45 50 30 35 4 8 10 21 22 23 25 26 45 50 30 35 Remoção de Registros Caso 2.1: a sub-árvore vizinha possui registros para emprestar Registro 20 OU

42. Remoção de Registros • Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha. • Possui dois casos: • Caso 2.2.1: O irmão possui registros para emprestar • Caso 2.2.2: O irmão não possui registros para emprestar

43. 23 4 20 28 37 40 1 3 21 22 6 18 45 50 25 26 38 39 30 35 23 28 37 40 4 1 3 6 18 21 22 30 35 25 26 38 39 45 50 Remoção de Registros Caso 2.2.1: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão possui registros para emprestar Registro 20 Concatena-se o filho à esquerda e à direita do registro excluído; o registro mais à esquerda (ou mais à direita) do irmão é promovido para a raiz e o registro à esquerda (ou à direita) da raiz é inserido na página que teve o registro excluído; o filho à esquerda (ou o filho à direita) do registro que foi emprestado passa a ser o filho à direita (ou à esquerda) do nó para onde ele foi deslocado;

44. 28 23 28 37 40 4 23 37 40 4 1 3 1 3 6 18 21 22 6 18 21 22 25 26 30 35 30 35 25 26 38 39 38 39 45 50 45 50 Remoção de Registros

45. 28 4 20 25 37 40 6 18 22 23 1 3 38 39 26 27 30 32 45 50 28 4 20 25 37 6 18 22 23 1 3 26 27 30 32 38 39 45 50 Remoção de Registros Caso 2.2.1: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão possui registros para emprestar Registro 40

46. 28 4 20 25 37 6 18 22 23 1 3 26 27 30 32 38 39 45 50 25 28 37 4 20 6 18 22 23 1 3 26 27 30 32 38 39 45 50 Remoção de Registros

47. 28 4 23 37 40 1 3 6 18 30 35 25 26 45 50 4 28 37 40 28 4 37 40 1 3 1 3 6 18 25 26 6 18 25 26 30 35 30 35 45 50 45 50 Remoção de Registros Caso 2.2.2: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão também NÃO possui registros para emprestar Registro 23 Concatena-se os registros filhos à esquerda e à direita do registro excluído; em seguida, concatena-se os registros da página excluída, do seu irmão e do seu pai

48. Considerações finais • Inserção: Mais veloz se comparado à tabelas de hash, por sua capacidade de se ajustar e balancear a cada inserção, isto significa menores colisões, e consequentemente menos laços para encontrar uma posição livre. • No caso de precisar expandir, a duplicação é feita somente na folha, e nos nós correspondentes se necessário, o que garante menor espaço vazio alocado e menos ocupação em disco, ao contrário do hash que duplica a tabela por inteiro.

49. Considerações finais • Exclusão: No caso de uma exclusão, Arvores B são capazes de evitar grandes fragmentações, pois se ajustam e balanceiam também nesse momento. • Já em tabelas de hash, quando há exclusão de uma chave, o espaço alocado para esta fica vazio, porém ainda alocado. Maior fragmentação significa menor desempenho.

50. Considerações finais • Busca: Árvores B são tão boas e velozes quanto tabelas de hash numa busca por igualdade, porém são muito superiores em velocidade e desempenho em buscas do tipo range. • A superioridade da Árvore B, se baseia na chave primária, onde a busca começa pela raiz e é direcionada aos nós e filhos de acordo com a chave procurada, isto torna mais objetivo e direto o resultado final. Porém, se comparado a Árvore B+, sua performance pode cair um pouco em uma busca linear.