Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī

1. Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī 1. daļa. Telpas.

2. Vektoru un punktu telpas: Priekšvārds Ģeometriskas figūras sastāv no punktiem. Punkti parasti dzīvo 2D vai 3D telpās. Elementārajā ģeometrijā vārdi ir tikai dažiem punktiem, piemēram, trijstūra ABC virsotnēm, bet analītiskajā ģeometrijā katram punktam dod savu vārdu. Tā kā punktu ir ļoti daudz, arī vārdu vajag ļoti daudz. Katra punkta vārds ir divi vai trīs reāli skaitļi jeb koordinātes. Par punktu vārdiem var lietot arī vektorus, kuros koordinātes apvieno skaitļu masīvā. Vektori palīdz noslēpt punktu koordinātes tāpat kā to dara objektorientētajā programmēšanā. Vektori dzīvo līdzās punktiem nedaudz savādākās telpās. Pirmā bilžu daļa veltīta šīm telpām.

3. Vektori: Ievads Ģeometrijā par vektoriem parasti sauc orientētus nogriežņus, pie kam raksta ja nogriežņi ir vienāda garuma, paralēli un vienādi vērsti. Pie šīs intuīcijas vektorus saskaita, lietojot t.s. “trijstūra” vai “paralelograma” likumu:

4. Kā formalizēt vektoru intuīciju Ko nozīmē “vienādi vērsti” nogriežņi? Iespējama atbilde: Vektori un ir vienādi, ja viduspunkts sakrīt ar viduspunktu. Tagad jāpierāda, ka vektoru vienādība ir ekvivalences attiecība: Īpašību pierādīt nav īpaši vienkārši. Definējot vektorus kā orientētus nogriežņus rodas arī citas tehniskas grūtības. Tādēļ rīkosimies pretēji - definēsim vektorus vispirms un punktus pēc tam.

5. Vektori veido komutatīvu grupu Reāli skaitļi ir operatori vektoru telpā Lineāra telpa D Par Lineāru telpu sauc ikvienu kopu , kuras treknos elementus var saskaitīt un reizināt ar reāliem skaitļiem, iegūstot atkal elementus; pie tam izpildās 8 aksiomas: D Par vektoriem sauc lineāras telpas elementus.

6. Aksiomu ilustrācijas - I A Asociativitāte Komutativitāte A A Nullvektors A Pretējais vektors

7. Aksiomu ilustrācijas - II Vektors ir k reizes garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat kā a (k>0), vai pretēji a (k<0). D A Distributivitāte1 A Operatoru asociativitāte A Distributivitāte2 Reizināšana ar 1: A

8. P L - orientēti nogriežņi uz taisnes, plaknē vai telpā P L - nepārtrauktās funkcijas, kas definētas [0,1] P L - kvadrāttrinomi: Lineāru telpu piemēri P : vismazākā lineārā telpa P L - n skaitļu virknītes: P L - nm matricas:

9. Lineāru telpu īpašības T Nullvektors ir viens vienīgs. P Apgrieztais vektors ir viens vienīgs: Pieņemsim, ka Pieskaitīsim abām pusēm, piemēram, b. Tad jeb P Distributivitāte: Pieskaitām .

10. Saskaitīšanas asociativitāte + Katram kokam atbilst kāda izteiksme ar iekavām un otrādi: katrai izteiksmei atbilst koks. + a1 + + + a2 + a1 a2 a3 a4 a3 a4 saskaitāmajiem dažādo iekavu izlikšanas veidu skaitu apzīmēsim ar . vektoru summa nav atkarīga no izliktajām iekavām. (Bez pierādījuma.) T

11. Vektoru lineāras kombinācijas D Par vektoru saimes lināru kombināciju ar koeficientiem sauc D Lineāru kombināciju sauc par triviālu, ja D Vektoru saimi sauc par lineāri atkarīgu, ja eksistē netriviāla lineāra kombinācija Ja vektoru saime nav lineāri atkarīga, to sauc par lineāri neatkarīgu. Tukšu vektoru saimi uzskata par lineāri neatkarīgu. P Viens vektors a ir lineāri neatkarīgs tad un tikai tad, ja P Saime ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja kāds vektors tajā ir lineāra kombinācija no pārējiem.

12. Lineāri neatkarīgas saimes Saime ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja katru vektoru var izteikt kā šīs saimes lineāru kombināciju ne vairāk kā vienā veidā. T Pieņemsim, ka vektoru var izteikt divos veidos: un Atņemam šīs vienādības vienu no otras: Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, tad Ja saime būtu lineāri atkarīga, tiem eksistētu netriviāla lineāra kombinācija, kas vienāda ar To varētu nesodīti pieskaitīt katra vektora izteiksmei ar šiem vektoriem, iegūstot citu izteiksmi.

13. Kolineāri un komplanāri vektori Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors. Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi: D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi. Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi. Dažādas situācijas, kad 3 vektori ir komplanāri

14. Telpas bāze D Vektoru sistēma veido lineāras telpas L bāzi, ja šī sistēma ir (1) pilna, t.i. katru var izteikt ar bāzes vektoriem; (2) neatkarīga, t.i. katru var izteikt ar bāzes vektoriem ne vairāk kā vienā veidā. Lineārai telpai L visas bāzes ir ar vienādu vektoru skaitu ko sauc par L dimensiju. T Ja L ir taisne, ; ja plakne, ; ja telpa, . P Viena mainīgā polinomu telpai ir bezgalīga dimensija; vektorus var ņemt par tās bāzi. P

15. Koordinātes Ja ir bāzes vektori telpā L un , tad skaitļus sauc par vektora akoordinātēm. D Vektora koordinātes ir viennozīmīgi noteiktas. T Tā kā ir lineāri neatkarīgi, tad . Koordinātu sistēma punktu telpā sastāv no bāzes vektoriem un koordinātu sākumpunkta O (raksta ). D Punkta M koordinātes ir koordinātes rādiusvektoram bāzē . D

16. Bāzes maiņa koordinātu pierakstā Jaunos bāzes vektorus izsaka ar vecajiem Tas pats vektors a vecajās un jaunajās koordinātēs. Vektora koordinātes bāzē tātad ir gan gan Koordinātēm abos gadījumos jābūt tām pašām, tādēļ: Bāzes maiņas formula:

17. Bāzes maiņa summu pierakstā Vektors a vecajās un jaunajās koordinātēs Atver iekavas, maina summas vietām un sagrupē Bāzes maiņas formula

18. Bāzes maiņa Einšteina apzīmējumos Bāzes maiņas formula:

19. Bāzes maiņa matricu apzīmējumos Bāzes maiņas formula: Einšteina apzīmējumi matricās: augšējais indekss ir rindiņas numurs, apakšējais indekss ir kolonnas numurs.

20. Masu centrs Par svērtu punktu sistēmu D sauc punktu kopu kam piekārtoti attiecīgi reāli skaitļi, ko sauc par punktu masām. Par svērtas punktu sistēmas masu centru sauc tādu punktu O, kam D Tā kā visas masas var reizināt ar patvaļīgu nenulles skaitli, nemainot masu centru, turpmāk pieņemsim, ka Svērtai divu punktu sistēmai masu centrs atrodas uz taisnes tuvāk tam punktam, kura masa ir lielāka. P Svērtai trīs punktu sistēmai masu centrs atrodas trijstūra mediānu krustpunktā. P

21. Masu centra eksistence un unitāte T Katrai punktu sistēmai ar masām eksistē viens vienīgs masu centrs. Izvēlamies patvaļīgu punktu P un aplūkojam summu: Punktu izvēlamies tā, lai (pieņemot, ka ). Iegūstam: Viegli redzēt, arī ka ir vienīgais svērtās sistēmas masu centrs.

22. Skalārais reizinājums L ir patvaļīga vektoru telpa. Attēlojumu kas katriem diviem vektoriem piekārto reālu skaitli ab sauc par skalāro reizinājumu telpā L, ja izpildās sekojošas īpašības: D

23. Garumi un leņķi Skalārais reizinājums ļauj ieviest vektoru telpā leņķus un attālumus. Vektora garums Leņķis starp vektoriem un : D T Ja , tā ir aksioma Ja , iegūstam Tādēļ Tādēļ katram vektoram ir garums, t. i. vienmēr ir definēta.

24. Košī-Buņakovska nevienādība T Aplūkosim reāla argumenta funkciju Pēc skalārā reizinājuma īpašībām, katram Tādēļ kvadrāttrinoma diskriminants No šejienes Tādēļ ja , tad ir definēts ar vērtību no [-1,1], t. i. katriem diviem nenulles vektoriem ir definēts leņķis.

25. Košī-Buņakovska nevienādības sekas Trijstūra nevienādība: T Otru nevienādību pierāda analoģiski b c a T Kosinusu teorēma: T Paralelograma identitāte: b a+b Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa vienāda ar malu kvadrātu summu a-b a

26. Vektoru ortogonālās projekcijas b Ja , tad a ir projekcijas garums (reāls skaitlis). Atbilstošais projekcijas vektors ir Ja ir ortonormēta bāze, tad katram vektoram , t. i. koordinātes ir T

27. Konstanta rādiusvektora projekcija Fiksējam vektoru , kam . Tad apmierina visi vektori , kuru projekcijas uz ir garumā . Iegūstam, ka katram punktam uz taisnes, kas perpendikulāra un atrodas attālumā no punkta .

28. Ortonormēta bāze D Ja bāzes vektori apmierina vienādības: , tad bāzi sauc par ortonormētu. Ortonormētā bāzē vektoru un vektoru skalārais reizinājums ir T

29. Grama-Šmita ortogonalizācija Ikvienu bāzi var pārveidot par ortonormētu , veicot vektoru darbības ar . T Aplūkosim sekojošu algoritmu: 1. solis . Tad sistēma ir ortonormēta. k. solis Pieņemsim, ka jau uzkonstruēta ortonormēta sistēma . Definēsim vektoru , kas ortogonāls . Ņemam kur Definējam

30. Skalārais reizinājums koordinātēs Ja ir bāzes vektori, tad matrica T ir stingri pozitīvi definēta, t. i. katram vektoram Izriet no skalārā reizinājuma aksiomas

31. Vektoriālā reizinājuma īpašības T Sk . īpašību T Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju , tad vektorialo reizinājumu tabula Pirmo reizinātāju izvēlieties no kreisās kolonnas, otro - no virsējās rindiņas.

32. Vektoriālais reizinājums koordinātēs T Ja un , tad Formulu pārbauda , atverot iekavas reizinājumā un lietojot bāzes vektoru reizināšanas tabulu.

33. Jauktā reizinājuma intuīcija Trim telpas vektoriem piekārtojam reālu skaitli , kas vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu , kas konstruēts uz vektoriem un Ja vektoriem ir labā orientācija Ja vektoriem ir krejsā orientācija Ja vektori ir komplanāri.

34. Jauktā reizinājuma īpašības T Sk . īpašību T Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju, tad

35. Jauktais reizinājums koordinātēs Ja tad T Ortonormētas koordinātes ar labo orientāciju. Izmantojam īpašību kopā ar vektoriālā un skalārā reizinājuma izteiksmēm koordinātēs.