Sophie René de Cotret Université de Montréal INRP UMR-ADEF Gisèle Lemoyne et Lalina Coulange

1. Étude de l’utilisation par des professeurs et des élèves de quelques environnements informatisés pour l’enseignement de l’arithmétique et de l’algèbre Sophie René de Cotret Université de Montréal INRP UMR-ADEF Gisèle Lemoyne et Lalina Coulange

2. Un peu de contexte • Pas spécialiste des environnements informatisés en général • Projet de recherche UdeM-Lemoyne al. • Conception et expérimentation d’un environnement: Bouchons les trous (algèbre) • Expérimentation pour d’autres (arithmétique…)

3. Plan • Questions de recherche • Trois environnements: • La calculatrice défectueuse • Al(ge)+br = e • Bouchons les trous • Quelques caractéristiques de chacun • Conclusion

4. Questions de recherche • Comment tirer profit des outils informatiques pour repenser l’enseignement de notions sensibles dans le cursus mathématiques des élèves? • Comment conjuguer libertés et contraintes des dispositifs pour soutenir et rendre plus efficaces les actions respectives du professeur et de l’élève? • Quelles sont les conditions à mettre en place pour une intégration « harmonieuse et efficace » de ces environnements dans les classes de mathématiques?

5. Idées exploitées dans la conception des environnements • Les TIC peuvent être mises à contribution pour: • Engager l’élève dans un processus de construction des connaissances • Créer un canevas général de situations dont la paramétrisation permet d’engendrer des situations spécifiques et laisse place à l’expertise didactique et pédagogique de l’enseignant • Intégrer des dispositifs de rétroaction pour soutenir et orienter le travail de l’élève • Rétroactions générées par l’environnement • Échanges en ligne avec des personnages didactiques

6. La calculatrice défectueuse • 1ère tâche: Effectuer des calculs avec la calculatrice défectueuse • 2e tâche: Décrire les nombres en jeu et la méthode utilisée pour réaliser le calcul • 3e tâche: Associer les descriptions avec les calculs proposés et justifier

7. La calculatrice défectueuse

8. Le travail de l’enseignant • Avant l’utilisation en classe • Choix des calculs • Choix des touches désactivées • Pendant • Personnages en ligne… • Après • Gestion des mises en correspondances

9. Exemple d’utilisation par un enseignant • «  Moi je pense que ça va travailler les lacunes qu’ils ont au niveau de du sens du nombre… Quand j’arrive en algèbre et disons qu’ils ont 3x + 8 + 2x + 45; on veut simplifier ça l’écriture ... pour eux c’est pas dans leur mentalité… ils vont prendre le 5x et additionner 8 parce qu’ils cherchent une réponse … car depuis qu’ils sont petits on les confronte toujours on a un paquet de trucs à faire et ça donne une réponse …

10. En préparation à l’algèbre… • … donc eux ils ne comprennent qu’on peut partir de quelque chose de long de même et faire la même chose; ils sont habitués de faire 6 x 7 = 42 mais ils ne sont pas habitués de dire 42 je peux écrire 6 x 7 à la place puis c’est la même chose … »

11. Le travail des élèves:3 * 5 + 6

12. 1279 x 797 : touches désactivées : 2,9,7

13. 1279 x 797 : touches désactivées : 2,9,7

14. 1275 x 975 : touches désactivées : 2, 4,6,7,8,9,+,-, (, )(reste: 1, 3, 5, 0, * ÷)

16. 2e tâche: Description

17. Exemple « fictif » de descriptions

18. Exemples de descriptions • 1er nombre: nombre à virgule ... 2e nombre: nombre à virgule correspond à une fraction qui est la moitié de la moitié. Pour faire l'opération, j'ai entré le 1er nombre tel quel et le 2e j'ai fait une multiplication avec deux fois le même nombre • 1er nombre c’est un nombre pair, il se divise par 10,5,2,6,3...Il est entre 10 et 70. Le 2e nombre est un nombre impair, il se divise seulement par 1. Il est plus petit que 15. • 1er nombre : c’est un nombre a 4 chiffres, un nombre premier; 2e nombre: un nombre a 4 chiffres, un nombre composer, un nombre paire, aucune relation entre les nombres. La solution pour les deux c’est de faire plus 1 moins 1.

19. 3e tâche: Calcul : 0,4 x 8 ; Touches désactivées : 0 et 4 • EL7 : Le premier nombre est pair, un nombre à virgule; il a 2 chiffres. Le deuxième nombre est pair; c’est un entier; c’est un nombre composé; il a 1 chiffre • Le no 20 (référant au 20e calcul dans la liste : 0,5 x 0,25) • EL2 : Le no 21 (référant au 21e calcul dans la liste : 0.8 x 0.4) • EL7 : Le no 20 • ENS-A : EL2 pourquoi tu dis que c est le 21 • EL5 : Madame   ça peut pas être le 21 • ENS-A : EL2 pourquoi tu dis le no. 21 • EL2: Le nombre est pair .. il est à virgule • ENS-A : En passant est-ce que ça existe un nombre à virgule pair • EL2: Oui 2,2 • ENS-A : On va se questionner; j’y pense c’est quoi la définition d’un nombre pair? • EL2: 2 4 6 8 10 il faut qu il finisse par 2 4 6 8 10 • CH3 : Ah! Comment faire pour trouver un nombre pair; il faut qu’il se finisse par 2. 2, 4, 6, 8,10, c’est vrai ; mais 1,2 se finit par 2 est-ce que ça fait de 1,2 est un nombre pair? • EL9: Il faut que ça finisse par 2 … ça se divise par 2. • CH3: EL9 est-ce que selon toi un nombre décimal ça peut être pair ou impair? • EL9: Non jamais pair toujours impair.

20. Quelques caractéristiques • Environnement ouvert côté prof • Environnement ouvert côté élèves • Rétroaction directe de l’environnement (pour la tâche 1) • Gestion en classe indispensable pour la tâche de correspondance

21. Al(ge)+br=e • Environnement visant la généralisation ou l’abstraction des propriétés des nombres et des opérations dans N, Q+ et Z*. • 4 séries d’activités: • 1ère et 2e sur les nombres naturels • 3e sur les rationnels positifs • 4e sur les entiers relatifs non nuls

22. Le travail du professeur

23. Le travail des élèves

24. Inscriptions des relations au fur et à mesure

25. Rédaction de commentaires

26. Discussion en classe • CH-1 : On va regarder des essais faits par une équipe pour l’énoncé 2 de la série 1 • Par exemple, le 10e essai : a + b + d - c donne un résultat négatif … on est dans les entiers • naturels … pourquoi pourrait-on obtenir un résultat négatif … • EL-1 : Le c est bien plus grand que tous les autres …. • CH-1 : C’est une hypothèse; comment pourrait-on voir que c est plus grand que tous les autres… vous avez votre calculatrice … donnez-moi des nombres • EL-2 : 1 + 1 +1 - 4 • CH-1 : Donnez-moi des nombres différents • EL-2: 1 + 2 + 3 - 4 … 1 + 2 + 3 - 6 ça donne 0 • CH-1 : Ça donne 0 ; si vous essayez 8 • EL-S: Ça donne 2 • CH-1: Votre hypothèse était bonne ? • EL-S : Oui d + c + b - a vous avez obtenu plus grand • ENS-A : Un autre : 2e d + c + b - a vous avez obtenu plus grand et ensuite pour les autres • est-ce qu’on peut dire quelque chose • EL-3: Le a est petit • CH-1 : Votre hypothèse est que a est petit ; vous auriez dû mettre a dans les premiers dans les relations … faut mettre l’information sinon on ne peut pas avancer

27. Suite… • CH-1 : Le 3e essai : c + d + b –a • EL-4 : C’est la même chose … c’est normal que ça donne la même longueur • EL-5 : Oui c’est pareil pas dans le même sens • EL-4 : Juste inversé • CH-1 : Comment ça s’appelle cette propriété de l’addition • EL-1 : les + et les – • CH-1 : On peut changer l’ordre sans changer le résultat ; il y a un nom pour cette propriété • EL-2 : Bob • CH-1 : C’est Larry qui nous le disait ; il nous disait quoi? … si vous aviez lu ce qu il nous disait • vous devriez vous en souvenir • ENS-A : a + b c’est la même chose que b + a comment on appelle ça • EL-4: Faut changer des affaires • ENS-A : Ça commence par c • EL-S : commentateur ; composé, compétence ; communication, commun, … • CH-1: Commutativité • EL-7: C’est ça que j’ai dit : communicativité

28. Énoncé de propriété

29. x - y - y même résultat que x + y + y

30. Al(ge)+br Quelques caractéristiques • Environnement fermé côté prof • Environnement semi-fermé côté élèves • Rétroaction directe de l’environnement, mais par des flèches, donc à interpréter. • Gestion « autonome » possible, mais…

31. Bouchons les trous D’outil d’observation à outil d’enseignement

32. Le travail du professeur

33. Favorise des allers-retours • Enseignant B: « C’est la seule façon peut-être d’essayer de passer du problème à l’équation, de l’équation au problème, du problème à l’équation… »

34. Pour la mise en équation • Ens B:« Puis même quand on révise une équation qu’on a posée, je pense pas qu’on y aille morceaux par morceaux… On regarde plus en bloc (…) Ben peut-être quand on va leur demander de poser une équation, ils vont s’en… Ils vont dire, ben, j’ai un quart… Puis là, je sais pas quoi faire avec le double ici… Ben ce sera le trou dans mon équation. Je vais commencer par ce que je sais. »

35. Le travail des élèves

36. Interprétation de l’équation • CH1 : Ouais, la poule… On va les regarder séparément… On va regarder la poule… Après ça, on va regarder la tirelire. Bon la poule, qu’est-ce que vous avez trouvé difficile ? S’il vous plaît ? • EL1 : Mais pourquoi on a 21 en bas… • CH1 : C’est quoi le 21 en bas ? Est-ce que quelqu’un serait capable de lui répondre ? Oui ? Vas-y… • EL1 : Le 21 de x plus 2y égale 21, c’est à peu… Faut d’abord mettre les x et y comme poules et lapins. (S : Ok…). x, c’est des poules et y, c’est des lapins. Ensuite faut trouver euh… Comment on ferait pour avoir le bon nombre de pattes ? Ben je ferai 2x plus 4y égalent le nombre de pattes recherché… • CH1: Pourquoi ce serait 2x plus 4y ? Pour que tout le monde suive bien ce que tu dis… • EL1 : Parce que les poules ont deux pattes ! (S : Ok) Les lapins en ont quatre ! (…).ça donne 2x plus 4y égale 42… ça vaut le nombre de pattes. Mais là, ils donnent x plus 2 y égale 21. C’est la moitié ! De 2x plus 4y…

37. Rétroaction par le bilan

38. Modalité de composition

39. Utilisation par des élèves en difficulté • Ne pas reprendre l’enseignement • Ne pas faire faire des exercices • Assumer le rôle de prof • Demande: composer un item facile, un moyen et un difficile.

40. Exemples d’items d’élèves • 2a + 3b + 9 = 53 • Leur problème admet plusieurs solutions! 

41. Un pas de transformation

42. Un commentaire d’élève • INT: Je veux juste savoir si toi, ça c’est bien personnel, est-ce que tu penses que le fait d’avoir fait ces problèmes là ça pourrait t’aider par exemple dans ton examen de la semaine prochaine ? • F2 : Ah! C’est sûr parce que je sais plus comment... moi j’ai fait un problème, je sais comment on fait un problème, comme à cette heure je sais comment on fait un problème. Faique maique je vois le problème je vais pouvoir savoir par où commencer puis comment le déchiffrer, comme la formule mettons.

43. Quelques caractéristiques • Environnement ouvert côté prof • Environnement ouvert côté élève • Très peu de rétroaction de l’environnement (bilan) • Gestion: retour en classe presque inévitable.

44. Conclusions • Tous ces environnements sont des outils pour l’enseignement et l’apprentissage. C’est le marteau pour le menuisier… • Ils visent à faire travailler les élèves • Reste au prof à gérer le travail et institutionnaliser les savoirs développés • Différence avec papier crayon… • Dans certains cas, simplement pratique • Dans d’autres cas, permet du nouveau • Dans tous les cas: cueillette de données • Souplesse pour permettre une évolution au fur et à mesure de l’utilisation en classe.

46. Rétroaction de personnages