Capítulo 6

1. La Distribución Normal Capítulo 6

2. Continuaremos el estudio de las distribuciones de probabilidad analizando una distribución de probabilidadcontínua muy importante

3. Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad CAP. 5 Distribuciones de Probabilidad Discretas Distribuciones de Probabilidad Continuas CAP. 6 Binomial Normal Poisson

4. Ladistribución normal

5. Repasemos… Una variable aleatoria contínua es aquella que puede asumir un númeroinfinito de valores dentro de cierto rango específico.

6. Ejemplos: • La presión ejercida por un brazo robot en manufactura • El peso del equipaje en un avión • El tiempo transcurrido en procesar una orden de compra

7. En esta unidad estudiaremos: • las características principales de la distribución de probabilidad normal • la distribución normal estándar • cómo se utiliza la distribución normal para estimar probabilidades binomiales

8. La distribución normal se usa en:  Psicología  Biología  Economía y finanzas  Astronomía  Ciencias de la nutrición  Ciencias sociales y administrativas

9. La familia de las distribuciones de probabilidad normal • No existe una sola distribución de probabilidad normal, sino más bien se trata de toda una “familia” de ellas. • Cada una de las distribuciones puede tener una media distinta (u) y desviación estándar distinta (ơ). • Por tanto, eI número de distribuciones normales es ilimitado.

11. La familia de las distribuciones de probabilidad normal Al variar los parámetros μand σ, obtenemos diferentes distribuciones normales

12. La familia de las distribuciones de probabilidad normal Cambiandoμ movemos la distribución lhacia la izquierda o derecha. f(X) Cambiando σaumentamos o disminuímos su altura.. σ μ X

13. La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la acompaña tienen las siguientes características: • La curva normal tiene forma de campana y un sólo pico en el centro de la distribución.

14. El promedio aritmético, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se ubican en el pico. Características (cont.)

15. Características (cont.) • La mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

16. Características (cont.) Es simétrica en torno a su promedio. Si se corta Ia curva normal de manera vertical por el valor central, las dos mitades serán como imágenes en un espejo.

17. Características (cont.) La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, Ia curva se acerca cada vez más al eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de Ia curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

18. Características (cont.)

19. La distribución de probabilidad normal estándar Sería físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de uy (como para Ia distribución binomial o para Ia de Poisson) . σ Es posible utilizar un sólo miembro de Ia familia de distribuciones normales para todos los problemas en los que se aplica Ia distribución normal.

20. La distribución de probabilidad normal estándar Tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1 f(Z) 1 Z 0 Los valores mayores al promedio tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrán valores Z negativos.

21. La distribución de probabilidad normal estándar Todas las distribuciones normales pueden convertirse a “distribución normal estándar” restando Ia media de cada observación y dividiendo por Ia desviación estándar. Utilizando un valor z, se convertirá, o estandarizará, Ia distribución real a una distribución normal estándar. Transformamos unidades X en unidades Z

22. El valor z Un valor z es Ia distancia a partir de Ia media, medida en las unidades de desviación estándar.

23. El valor z Valor z = Ia distancia entre un valor seleccionado (x) y Ia media (u), dividida por la desviación estándar (ơ).

24. Límites sigma

25. Límites dos sigma

26. Límites tres sigma

27. Al determinar el valor zempleando Ia fórmula anterior, es posible encontrar eI área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a Ia distribución normal estándar en el apéndice D (página 523).

28. APENDICE D Areas debajo de la curva normal

29. Ejemplo: Supongamos que se calculó el valor z y el resultado es 1.91. ¿CuáI es eI área bajo la curva normal entre u y X?

30. Utilizamos el apéndice D. Baja por Ia columna de la tabla encabezada con Ia Ietra z hasta llegar a 1.9. • Luego muévete en dirección horizontal a la derecha y lee Ia probabilidad en Ia columna con el encabezado 0.01. Es 0.4719.

31. APENDICE D Areas debajo de la curva normal

32. Esto signitica que 47.19 por ciento del área bajo Ia curva se encuentra entre u y eI valor X,1.91 desviaciones estandar a la derecha de Ia media. Esta es Ia probabilidad de que una observación esté entre 0 y 1.91 desviaciones estándar de Ia media.

33. Ejercicios: Area bajo Ia curva Valor z calculado 2.84 .4977 .3413 1.00 0.49 .1879

34. Ahora calcularemos eI valor z dada: • Ia media de Ia población, u, • la desviación estándar de ésta, ơ, • y una X seleccionada.

35. Ejercicios: Los ingresos semanales de los gerentes de nivel intermedio tienen una distribución aproximadamente normal con una media de $1,000.00 y una desviación estándar de $100.00. ¿Cuál es el valor z para un ingreso X de $1,100.00? Y, ¿para uno de $900.00?

36. Utilizando la fórmula: Para X = $1,100: 1100 – 1000 100 = 1.00 Para X = $900: 900 - 1000 100 = - 1.00

37. La z de 1.00 indica que un ingreso semanal de $1,100.00 para un gerente de nivel intermedio está una desviación estándar a la derecha de Ia media. La z de -1.00 indica que un ingreso de $900.00 está una desviación estándar a la izquierda de Ia media. Ambos ingresos ($1,100 y $900) están a Ia misma distancia ($100) de Ia media.

38. 900 1,000 1,100

39. (página 200) Auto evaluación 6-1 Ejercicios 3 a) b) 4

40. La primera aplicación de Ia distribución normal estándar es encontrar el área bajo Ia curva normal entre una media y un valor seleccionado, designado como X. Utilizando Ia misma distribución que en eI ejemplo anterior del ingreso semanal (u = $1 000, ơ = $100) ¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre $1,000 y $1,100?

41. Ya se calculó el valor z para $1,100 utilizando la fórmula: z = 1.00 La probabilidad asociada con el valor z de 1.00 se encuentra en el apéndice D. Para ubicar el área, desciende por la columna de Ia izquierda hasta 1.0. Luego muévete a Ia derecha y lee el área bajo Ia curva en Ia columna marcada 0.00. Es 0.3413.

42. 0.5 0.5 La media divide Ia curva normal en dos mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia media es tambien 0.5.

43. Ejercicios: • Utilizando nuevamente el ingreso medio de • $1,000 al mes y Ia desviación estándar de $100 al mes: • ¿Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso semanal específico elegido aI azar esté entre 790 y 1,000 dólares?

44. Pregunta 1 Calculamos eI valor z para $790 utilizando Ia fórmula: 790 – 1000 = - 210 = -2.10 100 100

45. El signo negativo en 2.10 indica que el área está a Ia izquierda de Ia media.

46. -2.10 900 1,000 1,100

47. El área bajo Ia curva normal entre u y X que corresponde a un valor z de -2.10 es: (apéndice D). .4821

48. .4821 | | | 900 1,000 1,100 -2.10

49. ¿CuáI es Ia probabilidad de que eI ingreso sea menos de 790 dólares?

50. 0.5 0.5 La media divide Ia curva normal en dos mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia media es tambien 0.5.