Laboratorio delle Macchine Matematiche secondo incontro

1. Laboratorio delle Macchine Matematichesecondo incontro CREMONA 2011

2. Discussione sul “compito per casa” Costruire rette parallele Cremona 2011

3. Un esempi di costruzione • Questa è una possibile costruzione: • vi riconoscete degli elementi delle vostre costruzioni ? • avete ottenuto un prodotto analogo? Differente? In cosa? • Perché? Cremona 2011

4. Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano… Rombo o parallelogramma… Perpendicolare alla perpendicolare …. Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti… Triangoli e Talete… E poi variazioni di queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli… Esempi di costruzioni ricostruite da Simone Banchelli con un software di DG

5. Ultima scheda Analizzare il primo passo e l’ultimo di una costruzione Adattare la costruzione ad un compito analogo Cremona 2011

6. Nelle sperimentazioni in classe Elementi di cui tener conto Cremona 2011

7. Elementi di cui tener conto… • Qual è la funzione dello strumento? Il compasso può essere utilizzato: • per il trasporto di misura (raggio della crf) • per disegnare circonferenze • … Cremona 2011

8. Elementi di cui tener conto… 2. Quali proprietà matematiche “orientano” la costruzione • Esempio: Nella costruzione di un triangolo isoscele la proprietà che mi orienta potrebbe essere la congruenza di due lati o degli angoli… Cremona 2011

9. Elementi di cui tener conto… 3. Quali altre proprietà geometriche osservo alla fine della costruzione? Esempio: nel triangolo isoscele posso vedere l’asse di simmetria… Cremona 2011

10. Steps del percorso • Problema di costruzione Obiettivi: • Analisi dello strumento • Riflessione sulle proprietà matematiche utilizzate • Produzione di testi “giustificativi” della costruzione Cremona 2011

11. Steps del percorso 2. Confronto di costruzioni Obiettivi: • Comprendere una costruzione diversa dalla propria • Esplicitare tutti i passaggi e giustificarli • Cogliere analogie e differenze tra la propria costruzione e quella data (dal punto di vista sia dell’uso dello strumento, sia delle proprietà matematiche in gioco) • Produzione di testi interpretativi Cremona 2011

12. Steps del percorsodopo le costruzioni dei triangoli 3. Ri-costruzione di una costruzione Esempio: • Qual è il legame tra la prima e la seconda figura? • Perché le due rette costruite nella Fig.2 sono parallele? Cremona 2011

13. Come possiamo schematizzare le diverse fasi delle attività Quadro della mediazione semiotica (Bartolini Bussi & Mariotti) Cremona 2011

14. Studente/i “testi” (segni) situati Attività semiotica consegna sapere matematico (da insegnare) “testi” (segni) matematici cultura Cremona 2011

15. Ruolo dell’insegnante Pianificare l’attività Aiutare gli studenti nelle situazioni di blocco facendogli esplicitare le difficoltà incontrate Orchestrare la fase di discussione collettiva Cremona 2011

16. Da alcune sperimentazioni Scuola secondaria di primo grado e di secondo grado Cremona 2011

17. Due esempi di sperimentazioni Scuola sec. I°- I (maggio-Giugno 2010) Ins. Fulvio Buonomo, Stefania Ferretti, Franca Postal I liceo scientifico (Marzo- Maggio 2010) Ins. Simone Banchelli Obiettivi: Esplorazione e rivisitazione di alcune costruzioni note e non note apprese come insieme di procedure Analisi delle proprietà matematiche incorporate all'interno degli oggetti fisici (riga e e compasso) utilizzate per queste costruzioni Dalla procedura alla dimostrazione: perché la costruzione funziona? Obiettivi: • Saper esplorare e descrivere gli strumenti; • saper riconoscere le proprietà matematiche che orientano la costruzione geometrica; • saper descrivere e giustificare la costruzione eseguita; • saper cogliere analogie e differenze tra costruzioni diverse.

18. Scuola sec. I°- I Fig 1.1

19. Scuola sec. I°- I

20. I liceo Scientifico Dagli assiomi di congruenza (trasporto di segmenti e angoli) ….

21. I liceo Scientifico “Costruisco” gli assiomi del trasporto

22. I liceo Scientifico … alla divisione di un segmento in n parti

23. I liceo Scientifico La divisione di un segmento in n parti (un tentativo !)

24. …e ora o pantografi per le trasformazioni geometriche del piano! Cremona 2011

25. Pantografo Meccanismo che stabilisce una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate collegandole fisicamente, e che incorpora le proprietà che caratterizzano la trasformazione geometrica del piano.

26. Esplorazione del pantografo Come è fatta la macchina Cosa fa la macchina Perché lo fa

27. Attività con pantografi Al lavoro!

28. Questioni chiave • Come è fatta la macchina? • Caratteristiche fisiche della macchina • Movimenti possibili • Come si usa

29. Questioni chiave 2. Cosa fa la macchina? • Si può usare per disegnare figure secondo una trasformazione… • Le figure disegnate sono…

30. Questioni chiave 3. Perché lo fa? Proprietà geometriche della figura formata dalle aste e modo in cui è incernierata al piano: vedremo che la forma non basta!! In un rombo le diagonali si intersecano nel loro punto medio, come in tutti i parallelogrammi, inoltre le diagonali sono tra loro perpendicolari

31. Simmetria assiale Equazioni: x'=x y'=-y

32. Nei pantografi il movimento e la traccia permettono di mettere in luce la relazione (covarianza e dipendenza) tra i due punti “trasformati”, ma anche la relazione tra le figure prodotte dalla macchina Rimini, 6 Aprile 2011

33. Qual è la matematica in gioco? • Le trasformazioni geometriche del piano • La geometria euclidea • La geometria analitica Quali processi? • Produzione di congetture, argomentazioni e costruzioni di dimostrazioni • Attività di problem solving • Cosa accadrebbe se …..

34. Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste? Variazioni del pantografo: quadrilateri con i lati congruenti a due a due

35. Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste? Variazioni del pantografo: quadrilateri con due lati congruenti PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale? Che cosa fa? Perché? A C B Associazione delle Macchine Matematiche www.macchinematematiche.org

36. E se il rombo fosse incernierato alla guida in modo diverso … Rimini, 6 Aprile 2011