Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 9 paskaita.

2. Diferencialinės lygties sąvoka Sprendžiant įvairius taikomojo pobūdžio uždavinius, dažnai iš lygties, siejančios nepriklausomąjį kintamąjį x, kintamąjį y bei išvestinę y’, reikia rasti pačia funkciją y=y(x). Tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi (užrašyta bendruoju pavidalu). Funkcija y=y(x,C), (kur C – laisvoji konstanta), kuria įrašius į lygtį gaunama tapatybė, vadinama diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu, o sprendimo procesas vadinamas diferencialinės lygties integravimu. Sprendinys, gautas parinkus konkrečią laisvosios konstantos C reikšmę vadinamas diferencialinės lygties atskiruoju sprendiniu.

3. Diferencialinės lygties sąvoka Diferencialinės lygties eile vadinama aukščiausios į lygtį įeinančios nežinomosios funkcijos išvestinės eilė. Bendrojo pavidalo n-osios eilės diferencialinę lygti galima užrašyti Pirmosios eilės diferencialinės lygties y’=f(x,y) sprendinį vienareikšmiškai apibrėžia sąlyga y(x0)=y0 , kur x0 , y0 – pasirinktiejiskaičiai. Ši sąlyga vadinama pradine, arba Koši sąlyga, o sprendinio, tenkinančio šią sąlygą, radimo uždavinys – Koši uždaviniu. Koši uždavinys lengvai interpretuojamas geometriškai: reikia rasti tokį atskirąjį sprendinį, kurio grafikas eitu per tašką (x0 , y0 ). Atskiro sprendinio grafikas vadinamas integraline kreive, o bendrojo sprendinio – integralinių kreivių šeima.

4. Diferencialinių lygčių taikymų pavyzdžiai. Diferencialinės lygtys taikomos įvairiose mokslo ir praktikos srityse. Jomis aprašomi įvairūs fizikos, biologijos, demografijos, sociologijos, ekonomikos procesai. Diferencialinė lygtis T’ = -b (T - T0) aprašo kūno aušimo procesą; čia b >0 - tam tikras koeficientas, T0 – aplinkos temperatūra, nežinomoji funkcija T=T(t)yra kūno temperatūra laiko momentu t. Radioaktyviosios medžiagos skilimo procesą aprašo lygtis m’ = -a m; čia a > 0 – proporcingumo koeficientas (skilimo greitis proporcingas nesuskilusios medžiagos masei), nežinomoji funkcija m=m(t) – nesuskilusios medžiagos masė laiko momentu t. Antrosios eilės diferencialinė lygtis y’’=-g apibrėžia materialaus taško judėjimą vertikalia tiese veikiant žemės traukos jėgai; čia g – laisvojo kritimo pagreitis. Diferencialine lygtimi p’(t)/p(t)=a(t)-b(t), kartais modeliuojama izoliuotos populiacijos dinamika; čia p(t)>0 – individų skaičius laiko momentu t; a(t)>0, b(t)>0 – gimstamumo ir mirštamumo koeficientai.

5. Pirmosios eilės diferencialinių lygčių integravimas Kintamųjų atskyrimas. Lygtis y’=u(x)v(y) vadinama diferencialine lygtimi su atskiriamaisiais kintamaisiais. Atskyrę kintamuosius, integruojame abi lygybės puses. Ši lygybė vadinama diferencialinės lygties su atskiriamaisiais kintamaisiais bendruoju integralu. Jei pavyktu išreikšti kintamąjį y, y=y(x,C), tai ši išraiška būtų lygties bendrasis sprendinys. Lygtys a(x)b(y)+u(x)v(y)y’=0 sprendžiamos analogiškai, atskiriant kintamuosius:

6. Homogeninės diferencialinės lygties integravimas. Lygtis y’=f(x,y), kai funkcija f(x,y) su visomis galimomis t, x ir y tenkina sąlyga f(tx,ty)=f(x,y), vadinama homogenine diferencialine lygtimi, o funkcija f(x,y) – nulinio laipsnio homogenine funkcija. Lygtis integruojama, keičiant kintamąjį ir suvedant į lygties su atskiriamaisiais kintamaisiais sprendimą. Pažymime y=x z, kur z – nauja nežinomoji funkcija. Tuomet Į homogeninę diferencialinę lygtį pertvarkoma ir sudėtingesnė lygtis g(x,y)+h(x,y)y’=0, kai yra toks skaičius a, kad su visomis galimomis t, x ir y funkcijos g(x,y) ir h(x,y) tenkina sąlygas g(tx,ty)=ta g(x,y), h(tx,ty)=ta h(x,y). Funkcijos g(x,y) ir h(x,y) vadinamos a laipsnio homogeninėmis funkcijomis.

7. Tiesinių diferencialinių lygčių integravimas. Diferencialinė lygtis a(x)y’+b(x)y=f(x), kai koeficientai a(x) ir b(x) bei nenulinis laisvasis narys f(x) yra tolydžios kurioje nors srityje funkcijos, vadinama tiesine nehomogenine diferencialine lygtimi. Lygtis a(x)y’+b(x)y=0 vadinama tiesine homogenine diferencialine lygtimi. Tai yra lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais. Padaliję lygčių abi puses iš f(x)≠0, gaunameatitinkamai tiesineslygtys y’+p(x)y=q(x) ir y’+p(x)y=0. Nesunkai gauname homogeninės lygties bendrąjį sprendinį:

8. Tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties integravimas. • Diferencialinės lygties y’+p(x)y=q(x) sprendinio ieškosime pavidalo y(x)=u(x)v(x). Tuomet y’=u’v+uv’ ir u’v+u(v’+p(x)v)=q(x). • Parinksime v taip, kad v’+p(x)v=0. • Taigi, • Gavome, kad • Tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties bendrasis sprendinys yra atitinkamos tiesinės homogeninės lygties bendrojo ir tiesinės nehomogeninės lygties atskirojo sprendinių suma.