Montse Martinez Sillero Ingrid Merlo Ribalta Miriam Lozano Marin Mireia Argimon Aparicio Grup 01

1. APÈNDIX MATEMÀTIC MICROECONOMIA AVANÇADA IXAVIER GIRALThttp://pareto.uab.cat/xmg/ Montse Martinez Sillero Ingrid Merlo Ribalta Miriam Lozano Marin Mireia Argimon Aparicio Grup 01

2. INDEX 1. CONDICIONS NECESSÀRIES Y SUFICIENTS Ingrid Merlo Ribalta Mireia Argimon Aparicio 2. PROGRAMACIÓN NO LINEAL Montse Martinez Sillero 3. MATRIUS Miriam Lozano Marin

3. 1.Condicions necessàries i suficients Les nocions Diem que és necessari que hi hagi corrent elèctrica perquè s’encengui una bombeta. EXEMPLE: AB ∃ A ∃ B A = Plou B = Hi ha més accidents

4. Condicions necessàries i suficientsa) Definició Sabem que si A es verifica, aleshores B també es verifica, i per tant es una condició necessària per a A. AB Per expressar que la proposició A implica a B diem que A és una condició suficient per B Per a que B sigui vertader, és suficient que A ho sigui. B A D’altre banda, diem que una condició és necessària i suficient quan ha d’estar present i si ho està garantitza el resultat.

5. Condicions necessàries i suficientsb) Exemple Respirar és una condició necessària per a que una persona estigui viva. Respirar és una condició suficient per a que una persona estigui sana. Evidentment la proposició 1 és certa. En canvi, la 2 és falsa perquè un malalt (viu) respira.

6. A : Estudiants autònoma B: Estudiants que els hi agrada estudiar C: Estudiants que aproven.

7. CONDICIONS NECESSÀRIES I SUFICIENTS

8. PROGRAMACIÓ NO LINEALa) Teorema de Weierstrass. Definició Una de les eines que es fan servir en optimització és l'anomenat Teorema de Weierstrass. Si tenim una funció f(x) contínua definida en un conjunt factible S compacte (fitat i tancat), llavors f(x) assoleix almenys un màxim i un mínim absolut (no necessàriament únics) en S. És a dir, hi ha dos punts x1, x2 dins l’interval [a, b] on f assoleix valors extrems absoluts: Nota: Les condicions del Teorema de Weierstrass són suficients per a assegurar l’existència de màxims i mínims però no són de cap manera necessàries. És a dir, el fet que el domini no sigui compacte o que la funció no sigui contínua no vol dir que no hi hagi màxim ni mínim.

9. PROGRAMACIÓ NO LINEALa) Teorema de Weierstrass. Gràfica Al dibuixar la funció en una sola traçada a l'interval tancat, veiem que els valors que pren estan limitats tant per dalt com per a baix, on trobem el màxim i mínim.

10. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions. Introducció La definició clàssica de Lionel Robbins, afirma: "La economía es la ciencia que se encarga del estudio de la satisfacción de las necesidades humanas mediante bienes que, siendo escasos, tienen usos alternativos entre los cuales hay que optar". Per tant, es l’estudi d'utilització òptima de recursos escassos. Aquesta definició implica que es treballarà amb problemes d’optimització dels recursos, que al ser escassos estaran sotmesos a restriccions. Dintre de la optimització amb restriccions diferenciem les restriccions d’ igualtat, que es resoldran pel mètode de Lagrange, i les restriccions de desigualtats, que seran resoltes per les condicions de Kuhn-Tucker.

11. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange El Mètode dels Multiplicadors de Lagrange ens permet trobar els punts x є Rⁿ que optimitzen (produeixen màxims i/o mínims) una funció donada f (x), anomenada funció objectiu, subjecta a la restricció g(x) = 0. Necessitem comprovar, abans de resoldre mitjançant Lagrange, dues condicions: 1. Les funcions han de ser de classe 1 (C¹).2. No existeixi cap irregularitat, és a dir, que el gradient g (X, Y) no s’anul·li en algun punt del domini. Definim la funció Lagrangiana L (x, y, λ) associada al meu problema d’optimitzar f(x, y) sota g(x, y)=C com: L (x, y, λ) = f (x, y) – λ [g (x, y) – C] On la variable λ (lambda) s’anomena multiplicador de Lagrange.

12. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange Condicions suficients para la existència d’extrems. 1) Dos variables i una restricció. Les condicions necessàries de l’extrem d’una funció de Lagrange, venen donades pel següent sistema d’equacions: Els punts crítics (òptims) s’obtenen igualant les tres derivades parcials a 0 i resolent el sistema.

13. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange Un vegada trobats els candidats a resoldre el problema cal saber si realment són òptims o no. En el cas de dues variables i una restricció el mètode emprat es el que s’anomena matriu hessiana ampliada del problema restringit: |D(x, y, λ)| coincideix amb el determinant de la matriuhessiana de L (x, y, λ).

14. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange El resultat que segueix ens permet assegurar que un punt sigui màxim o mínim local del problema. Suposem que el punt (x0, y0) satisfà que L (x, y, λ) per a cert λ0. · Si D (x0, y0, λ0) > 0 llavors (x0, y0) és un màxim local. · Si D (x0, y0, λ0) < 0 llavors (x0, y0) és un mínim local. Si compleixen totes les condicions del Teorema de Weierstrass, els mínims i màxims locals són també globals.

15. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange Condiciones suficients para la existència d’extrems. 2) Cas General: Tres o més variables Suposem ara que tenim una funció I que les restriccions venen donades per un sistema de m equacions: Definim la funció lagrangiana del problema com:

16. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange Com al cas d’una única restricció, les possibles solucions són els punts que fan que: Hem de resoldre el sistema d’equacions següent:

17. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange De la mateixa manera que en el cas anterior, utilitzarem la matriu hessiana ampliada, que al punt x = (x1, ..., xn) és: I calculem els determinants Δr. Determinant d’ordre n+r que es consegueix agafant les n+r primeres files i columnes de la HA.

18. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange El criteri que permet decidir si es un extrem relatiu del problema és el següent: · Si (-1)ⁿ Δr (x0) > 0 per tot r = n+1, …, m aleshores x0 és un mínim local. · Si (-1)ⁿ Δr (x0) < 0 per tot r = n+1, …, m aleshores x0 és un màxim local. On: n = nombre de restriccions. m = nombre de variables.

19. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions d’igualtat: Lagrange Observació: La condició del Mètode Lagrange és una condició necessària però no suficient. Es a dir, el fet que el domini no sigui compacte o que la funció no sigui contínua no vol dir que no hi hagi màxim ni mínim. Per exemple, si considerem la funció :f (x, y) = x = y subjecta a xy = 1 es a dir, g(x, y) = xy −1 = 0 s’obté: λ = 1, y (x0, y0) = (±1,±1) però f no té ni màxim ni mínim.

20. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions de desigualtat Econòmicament aquest problema correspon a optimitzar una funció objectiu que està subjecta a uns recursos limitats però que no necessàriament hem d’esgotar. Kuhn i Tucker van introduir als anys 50 un mètode per solucionar-lo que es basa en el mètode de Lagrange i d'interpretació dels multiplicadors de Lagrange, mètode que ja havia descobert Karush als anys 30. S’adonen que si un recurs no s’esgota quan obtenim un òptim aleshores el seu multiplicador associat és zero. També veuen que als màxims els multiplicadors no poden ser negatius i als mínims no poden ser positius.

21. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions de desigualtat: Kuhn-Tucker El Teorema de Kuhn-Tucker s’utilitza quan Lagrange no pot dir si hi ha màxim o mínim. Un problema d’aquest tipus té la següent forma general:

22. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions de desigualtat: Kuhn-Tucker El teorema de Kuhn-Tucker diu:Sigui x0 un extrem local del problema d’optimització, suposem que és un punt regular. Llavors si definim: existeixen uns únics λ1, …, λm є tals que:

23. PROGRAMACIÓ NO LINEALb) Optimització amb restriccions de desigualtat: Kuhn-Tucker Les condicions d’òptim de Karush-Kuhn-Tucker són condicions necessàries i només garantitzarien l’optimalitat global si compleixen adicionalment altres condicions de convexitat. Suposem que f(x) es una funció convexa i diferenciable, i que g1(x), g2(x), ..., gm(x) també ho són on totes aquestes funcions satisfan les condicions de regularitat. Llavors x* = (x*1, ..., x*n) es una solució òptima si i només si es satisfan totes les condicions del teorema. Observació:El mètode Kuhn-Tucker troba, dins el conjunt de punts regulars, tots els candidats a òptim local. Si hi ha un punt que no és regular, pot ser un òptim i que el mètode no ens ho digui.

24. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple • Si la funció d’utilitat d’un consumidor es U(x, y) = xy, on x i y són les quantitas consumides dels béns A i B, i els seus prus unitaris són 2 i 3 unitats monetàries respectivament, maximitzar la utilitat del consumidor sabent que no pot destinar més de 90 unitats monetàries a l’adquisició dels béns. El plantejament del problema és el següent: Max. xy s.a. 2x + 3y ≤ 90 x, y ≥ 0La funció lagrangiana del problema es: L(x, y, λ1, λ2, λ3 ) = xy - λ1(2x + 3y - 90) - λ2x - λ3y

25. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple • Condicions necessàries de mínimLes condicions de Kuhn-Tucker són:∂L/∂x = y +2λ1 + λ2 = 0, λ1(2x + 3y – 90) = 0, ∂L/∂y = x +3λ1 + λ3 = 0, λ2x = 0,∂L/∂λ1 = 2x + 3y - 90 ≤ 0, λ3y = 0, ∂L/∂λ2 = x ≥ 0, λ1 ≤ 0, λ2, λ3 ≥ 0 ∂L/∂λ3 = y ≥ 0,

26. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple Punts crítics Anlitzant els possibles valors de λ1, λ2 y λ3 s’obté: Si λ1 = λ2 = λ3 = 0, llavors, al substituir a les dues primeres equacions, s’obté, x = y = 0. El punt (0, 0) amb λ1 = λ2 = λ3 =0 verifica les condicions de Kuhn-Tucker i per tant, es un punt crític. Si λ1 = λ2 = 0, λ3 ≠ 0, llavors de λ3y = 0, es dedueix que y = 0, i de la segona equació, x = -λ3 ≥ 0. Donat que λ3 ≥ 0, la única solució possible és y = 0, λ3 = 0, x = 0, en contra de les hipòtesis de λ3 ≠ 0. Si λ1 = λ2 ≠ 0, λ3 = 0, llavors de λ2x = 0, es dedueix que x = 0, i de la primera equació, x = -λ2 ≥ 0. Donat que λ2 ≥ 0, la única solució possible és x = 0, λ2 = 0, y = 0, en contra de les hipòtesis de λ2 ≠ 0.

27. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple Si λ1 = λ2 ≠ 0, λ3 ≠ 0, llavors de λ2x = 0 y λ3y = 0, es dedueix que x = y = 0. Al substituir a les equacions, s’obté que λ2 = λ3 = 0, en contra de les hipòtesis. Si λ1 ≠ 0, λ2 = λ3 = 0, llavors, al substituir a les condicions de Kuhn-Tucker s’obté, -2λ1, x = -3λ1, 2x + 3y – 90 = 2(-3λ1) + 3 (-2λ1) – 90 = 0.Per tant, λ1 = -90/12 = -15/2 = -7,5; x = -3(-15/2) = 45/2 = 22,5; y = -2(-15/2) = 15. El punt (45/2, 15) = (22,5, 15) amb λ1 = -15/2 = -7,5, λ2 = = λ3 = 0, verifica les condiciones de Kuhn-Tucker i per tant, es un punt crític. Si λ1 ≠ 0, λ2 = 0, λ3 ≠ 0, llavors, substituint s’obté, y = 0, 2x + 3y = 90, per tant, x = 45. De la primera equació s’obté λ1 = 0, i substituint a la segona, s’obté x = -λ3 = -45, situació impossible ja que λ3 ha de ser més gran o igual a zero. No es compleixen les condicions de Kuhn-Tucker.

28. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple Si λ1 ≠ 0, λ2 ≠ 0, λ3 = 0, llavors, 2x + 3y = 90, x = 0, per tant, y = 30. Substituint x = 0 a la segona equació s’obté λ1 = 0.Substituint y = 30 a la primera equació s’obté λ2 = -30, situació impossible, ja que λ2 deu ser més gran o igual a zero. No es compleixen les condicions de Kuhn-Tucker.Si λ1 ≠ λ2 ≠ 0, λ3 ≠ 0, llavors, 2x + 3y – 90 = 0, x = 0, y = 0, que és impossible, per tant, no es verifiquen les condicions de Kuhn-Tucker.

29. PROGRAMACIÓ NO LINEALc) Exemple • Condicions suficientsAl ser una funció contínua i el conjunt factible tancat i fitat, es pot aplicar el teorema de Weierstrass que diu que tota funció continua, definida sobre un conjunt tancat i fitat, assoleix dins aquest conjunt un valor màxim i un mínim.S’han obtingut dos punts crítics de màxim, (0, 0) amb λ1 = λ2 = λ3 = 0, i (22,5, 15) amb λ1 = -15/2 = -7,5, λ2 = λ3 = 0.Substituint els dos punts a la funció f(x, y) = xy, es té que f(0, 0) = 0 < f(22,5, 15) = 337,5. Per tant, en el punt (22,5, 15) amb λ1 = -15/2 = -7,5, λ2 = λ3 = 0 s’assoleix el màxim global.

30. MATRIUSa) Definicions Definició de Matriu: S’anomena matriu d’ordre “m x n” a un conjunt de números reals ordenats en “m” files i “n” columnes. Al conjunt d’elements l’anomenem: aij “m” Files A = “n” Columnes

31. MATRIUSa) Definicions Les matrius s' utilitzen en al càlcul numèric, per resoldre equacions lineals, diferencials i per resoldre derivades parcials. Per exemple: - Sistema d'equacions lineal X + 2Y + Z = 2 1 2 1 L = X + Y - Z = 1 1 1 -1 2X - 3Y + Z = 3 2 -3 1 1 2 1 2 1 1 -1 1 2 -3 1 3 Matriu asociada al sistema L A = Matriu ampliada del sistema L A =

32. MATRIUSa) Definicions Podem trobar diversos tipus de matrius: Matriu Fila: Composada per un vector fila. El seu ordre és 1 x n: A 1x n = a11 a12......a1n A1x3 = 2 5 4 Matriu Columna: El seu ordre és m x 1: A11 A21 . am1 Matriu quadrada: Es dona quan m = n. Diem que la matriu es d’ordre n. 5 -9 3 5 6 -1 2 4 2 4 -1 0 8 7 -6 5 A 3 x 1 = A m x 1 = A 2x2 = A 3x3 =

33. MATRIUSa) Definicions Matriu Diagonal: Està formada per una matriu quadrada on els elements que la formen són nuls menys els de la diagonal principal, és a dir, 5, 2 i 8. Matriu Triangular: És una matriu quadrada on tots els elements per sobre o per sota de la diagonal principal són 0 5 -3 8 5 0 0 A 3x3 = 0 1 2 A 3x3 = 4 1 0 0 0 9 8 6 9 Matriu Nul·la: Tots el elements que la formen són 0, també s’anomena matriu zero. Es denota per: “0m x n” Triangle Superior Triangle inferior Diagonal Principal 5 0 0 0 2 0 0 0 8 A 3x3 = 0 0 0 0 0 0 A 2 x 3 =

34. MATRIUSa) Definicions Matriu simètrica: Matriu quadrada on els triangles superiors i inferiors són simètrics. aij = aij 5 4 3 4 2 1 3 1 5 A 3x3 = Matriu antisimètrica: Matriu quadrada on els seus triangles inferior i superior són antisimètrics. 2 4 -4 2 aij = -aij A2x2 = Matriu identitat: Matriu quadrada on tots els seus elements són nuls menys els de la diagonal principal que són iguals a 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I =

35. MATRIUSb) Operacions amb matrius • A + B = C. • Propietats: • Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Commutativa: A + B = B + A • Element neutre / matriu 0m x n: 0 +A = A + 0 = A • Element simètric (oposat (-A): A + (-A) = (-A) + A = 0 Suma / Resta: Per sumar / restar matrius han de tenir el mateix ordre, és a dir, han de tenir la mateixa dimensió. 2 3 5 2 3 5 2 4 A 2x2 = B 2x2 = 2 3 5 2 3 5 2 4 (2+5) (3+5) (5+2) (2+4) 7 8 7 6 A +B = + = C =

36. MATRIUSb) Operacions amb matrius Multiplicació d’un nombre real (K) per una matriu: S’ha de multiplicar K per tots els elements de la matriu, per tant, s’ha d’obtenir una nova matriu del mateix ordre: 2 5 2 (2·2) (2·5) (2·2) 4 10 4 1 0 2 (2·1) (2·0) (2·2) 2 0 4 Producte de Matrius: Dos matrius: A = m x n i B = p x q on n = p, és a dir, el número de columnes de la matriu A és igual al número de files de la matriu B. K x A = 2 x = = 2 1 3 5 1 2 2 5 2 1 2 7 2·2 + 5·3 + 2·1 2·1 + 5·5 + 2·2 1·2 + 2·3 + 7·1 1·1 + 2·5 + 7·2 A x B = x = 21 31 15 25 A x B =

37. MATRIUSb) Operacions amb matrius • Propietats d’un producte de matrius: • No té la propietat commutativa: A x B = B x A • Propietat associativa: (A x B) x C = A x (B x C) • Propietat Distributiva: A x (B + C) = A x B + A x C

38. MATRIUSc) Conceptes Abans de definir una matriu introduirem alguns conceptes: Menor d’un element: El menor Mij d’un element aij de A al determinant que obtindrem quan eliminem la fila “i” i la columna “j” de la nostra matriu. Tenim la següent matriu 3 x 3: a11 a12 a13 a21a22 a23 a31 a32 a33 A = El menor corresponent a l’element a32 és: a11 a12 a13 a21a22 a23 a31 a32 a33 a11 a13 a21 a23 M32 = A =

39. MATRIUSc) Conceptes Determinant d’una matriu d’ordre 1: Det de A = |a11| Determinant d’una matriu d’ordre 2: Determinant d’una matriu d’ordre 3: a11 a12 a21a22 A2x2 = |A| = a11· a22– a12 ·a21 a11 a12 a13 a21a22 a23 a31 a32 a33 (a12·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32) - (a13”a22·a31-a11·a23·a32-a12·a21·a33) A3x3 = |A| = a11 a12 a13 a21a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21a22 a31 a32 Det de |A| =

40. MATRIUSd) Propietats dels detrerminants Propietats dels determinants: 1) Si una matriu té una fila o columna de zeros el seu determinant també es 0 Suposant que hem desenvolupat la fila “i” i tota composada per 0 obtindrem: 0 · ai1 + 0 · ai2 + 0· aij = 0 2) Si una matriu té dos files iguals o proporcionals, el seu determinant es 0 3) Si canviem l’ordre d’una fila o columna, el determinant canvia de signe: 2 3 4 2 3 4 4 1 2 2 3 2 3 4 1 2·3·2 + 3·4·4 + 4·2·1 - 3·2·2 - 2·4·1 - 4·3·4 = 12 + 48 + 8 – 12 – 8 – 48 = 0 |A| = 4 5 2 3 2 3 4 5 A’ = = 2 = -2 A =

41. MATRIUSd) Propietats dels detrerminants 4) Si transposem la matriu, és a dir, canvien files per columnes, el determinant no canvia: 5) Si multipliquem tots els elements d’una fila o columna d’una matriu quadrada pel mateix número, el determinant també queda multiplicat per aquest. 6) Si els elements d’una fila o columna són 0 el seu determinant també: 2 4 3 5 2 3 4 5 Det de AT = = -2 Det de A = = -2 2 3 4 5 4 6 4 5 2 3 8 10 |A| = = - 2 |A| = = - 4 |A| = = - 4 1 2 0 0 |A| = = 0

42. MATRIUSd) Propietats dels detrerminants 7)Si a una línea d‘una matriu quadrada se li sumen els elements d’una altre línea o multipliquem per un número, el determinant de la matriu resultant no varia. Per exemple, farem: fila 3 + fila 1 = fila 2 1 2 1 3 6 5 2 4 5 1 2 1 3 1 0 2 4 5 |A’| = = 30+20+12-12-20-30= 0 |A| = = 5 + 0 + 12 -2-0-15 = 0

43. MATRIUSe) Rang El rang d’una matriu: és l’ordre del major dels menors diferents de 0. Per tant, el rang no pot ser major al número de files o de columnes. 3 0 3 0 1 3 1 3 A = |A| = = 9 = 0 Rang A = 2 -2 5 -2 5 2 -5 -2 5 |A| = A = = 0 = 0 Rang A = 1 Si la matriu no és quadrada no podem calcular el determinant, llavors comprovarem els seus menors, si el determinant del menor dona 0 hem de comprovar la resta: 3 1 9 3 2 5 3 1 9 3 9 3 2 5 A = |A| = = 0 |A| = = 39 = 0 Rang A= 2

44. MATRIUSe) Rang Notacions sobre el rang: 1) Com a mínim el rang d’una matriu sempre serà 1, menys quan la matriu sigui nul·la, llavors el seu rang serà 0. 2) Per poder calcular el rang d’una matriu necessariament no ha de ser quadrada 3) El rang d’una matriu quadrada d’ordre “n” com a màxim tindrà el valor “n” 4) Direm que A i B són equivalents quan el seu rang sigui el mateix. 5) El rang d’una matriu sempre té valor positiu 6) El rang d’una matriu és el nombre de files o columnes linealment independent que té la matriu