Boundary, Co-Boundary

1. Boundary, Co-Boundary 2000年9月14日 金子研究室 修士1年 長野 英彦 Hawk's Eye Web ページ http://www.db.is.kyushu-u.ac.jp/hawks_publications/

2. あらすじ • Point, Segment, Face, Polytopeの定義 • Boundary, CoBoundaryの定義

3. ユーザからの入力 • Point, Segment, Face, Polytopeの集合をシステムが凸胞複体に分割 • Point • 点 • Segment • 2点によって定まる線分 • Face • 多角形(複数の穴が空いていてもよい) • Polytope • 多面体(内部に複数の空洞があってもよい)

4. Face • Cycle • 幾つかのSegmentによって定められる閉路 • Face={ (c,H) | cは1つのCycle, HはCycleの集合 } • cはFaceの外周を表わす • HはFace中の穴を表わす a, b,cからFaceを 作成 Cycle b Face Cycle a Cycle c

5. Polytope • F_Cycle • 幾つかのFaceによって定められる多面体 • Polytope={(f,H) | fは1つのF_Cycle, HはF_Cycleの集合 } • fはPolytopeの外周を表わす • HはPolytope中の空洞を表わす a, bからPolytopeを 作成 Polytope F_Cycle b F_Cycle a

6. Boundary(1) • sn= 〈 x0 ,...,xn 〉 n単体の頂点による表現 • 頂点は時計回りか反時計回りの順序 • snのBoundary ∂snは ∂sn=ここで は頂点xiを除くことを意味する。 －〈 x0 ,...,xn 〉 = 〈 xn ,...,x0 〉 〈 x0 ,...,xn 〉 ｰ 〈 x0 ,...,xn 〉 = 0 • 単体複体cn(nはcn中で最も次元の高い単体の次元) のBoundary ∂cnは ∂ cn= Σ∂sn if sn∈cn

7. Boundary(2) • xはA2とB2から構成されるsimplical complex P4 P3 B2 A2 Boundary(x) P1 P2 ∂x = ∂A+∂B = 〈P1,P4〉+〈P2,P1〉－〈P3,P4〉+〈P3,P2〉

8. CoBoundary(1) • snのCoBoundary γ snはγsn=∪ sn+1if sn∈∂sn+1ここで∂sn+1はsn+1のBoundary、つまりCoBoundaryはsnをBoundaryに持つ全てのsn+1を返す • 単体複体cnのCoBoundary γcnはγcn=∪γsnif sn∈cnつまり、cnに含まれる全てのsnのCoBoundaryの和

9. CoBoundary(2) • x=〈P2,P4〉 or 〈P4,P2〉 P4 P3 B2 B2 A2 A2 CoBoundary(x) P1 P2 γx = { A2, B2 }

10. Segment, Face, Polytopeのつながり方 表中の要素とはPoint,Segment,Face,Polytopeのことを指す

11. つながり方の条件をつけた理由(1) • この条件をつけても表現できる形状に変わりがない • 上の4つの形状は下のようなFaceやSegmentをつなげることで表現

12. つながり方の条件をつけた理由(2) • つながり方の条件を満たすことによって、図のようにつながっているかを判定することが困難な状況を排除 • ユーザの意図しない形状の凸胞複体を作成しない

13. 凸胞複体のCoBoundary • Aは凸胞複体。 ckはA中のk凸胞(辺凸胞) • CoBoundary( ck ) = ∪ck+1 : ck∈Boundary( ck+1 ) • 凸胞複体A 中のk凸胞(辺凸胞) ckのCoBoundaryは、ckをBoundaryに含む凸胞複体A 中のk+1凸胞(辺凸胞)の集合 2凸胞 B 2凸胞 A CoBoundary( a ) = { A, B } 1凸胞 a

14. つながり方の条件を満たしたPoint, Segment, Face, Polytopeの集合のCoBoundary Face Fa CoBoundary( Sa ) = { Fa,Fb } Face Fb Segment Sa Segment Sd Segment Sc CoBoundary( Pa ) = { Sc, Sd } Point Pa

15. 論文のリスト • Point, Segment, Faceの定義の参考 “A Data Model and Data Structures for Moving Objects Databases” Luca Forlizzi, Ralf Hartmut Guting, Enrico Nardelli, and Markus Schneider ACM SIGMOD 2000 5/00 Dallas, TX, USA • Boundary, CoBoundaryの定義 “A Topological Data Model for Spatial Databases” Max J, Egenhofer, Andrew U. Frank, and Jeffrey P. Jackson Design and Implementation of Large Spatial Databases, First Symposium SSD ’89, Santa Barbara, California, July 1989 Proceedings, Lecture Notes in Computer Science