REALNA ZAPOREDJA

1. REALNA ZAPOREDJA Zaporedje je preslikava množice naravnih števil ( N ) v množico realnih števil ( R ) f N R ali

2. Lahko tudi zapišemo Elemente zaporedja imenujemo člene zaporedja Kadar poznamo predpis f po katerem N preslikavamo v R, zaporedje zapišemo s splošnim členom

3. Aritmetično zaporedje

4. Geometrično zaporedje

5. Mejezaporedja je navzgor omejeno zaporedje, če lahko najdemo tako realno število G, da velja Gzgornja meja zaporedja Velja :Zaporedje,ki je navzgor omejeno ima poljubno mnogo zgornjih mej !

6. Definicija Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja ( M ) M = inf(G) je navzdol omejenozaporedje,če lahko najdemo tako realno število g, da velja

7. Velja Zaporedje, ki je navzdol omejeno, ima poljubno mnogo spodnjih mej Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m). m = sup (g) Zaporedje, ki je na obe strani omejeno,pravimo da je omejeno

8. Za poljuno realno število A in okolico števila A imenujemo odprti interval Geometrično je to daljica na realni osi A Oznaka ali

9. Stekališčezaporedja je tako realno število s, da se v vsaki njegovi okolici nahaja neskončno mnogo členov zaporedja Weirstrass-ov izrek Vsako neskončno in omejeno zaporedje ima vsajeno stekališče Konvergentno zaporedje imenujemo zaporedje, ki ima natanko eno stekališče

10. Zaporedje, ki ni konvergentno je divergentno Edino stekališče konvergentnega zaporedja imenujemo LIMITA zaporedja Simbolično zapišemo limito

11. Pri konvergentnem zaporedju z limito A,vedno moremo najti dovolj pozen člen ,da za vsak n > k pri poljubnemvelja Posledica Izven (A limita konvergentnega zaporedja)leži vedno končno mnogo členov zaporedja.

12. Dve vprašanji -kdaj je neko zaporedje konvergentno -kako konvergentnemu zaporedju izračunati limito Cauchy-jev izrek Potreben in zadosten pogoj zato, da je zaporedje konvergentno je,da velja

13. Monotona zaporedja monotono naraščajoče zaporedje strogo naraščajoče zaporedje monotono padajoče zaporedje strogo padajoče zaporedje

14. Izrek Vsako monotono naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, prvi člen zaporedja je enak natančni spodnji meji Izrek Vsako monotono padajoče zaporedje je navzgor omejeno, prvi člen je enak natančni zgornji meji

15. Izrek Monotono naraščajoče in navzgor omejeno zaporedje je konvergentno in velja Izrek Monotono padajoče in navzdol omejeno zaporedje je konvergentno in velja

16. LASTNOSTI konvergentnih zaporedij Izrek Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo poljubno končno število členov, je zaporedje še vedno konvergentno z isto limito Dani naj bosta konvergentni zaporedji z limito A in z limito B

17. Vpeljemo zaporedja Zaporedje vsote Zaporedje razlike Produktnozaporedje Kvocientnozaporedje Izrek Zaporedje vsote dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka vsoti limit

18. Izrek Zaporedje razlike dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka razliki limit Izrek Produktno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka produktu limit

19. Izrek Kvocientno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka kvocientu limit predpostavljamo Konstantno zaporedje je zaporedje,ki ima vse člene enake.

20. Izrek Če vsi členi zaporedja vsebujejo konstantni faktor k, ga lahko izpostavimo in velja

21. VRSTE s konstantnimi členi Vsoto členov neskončnega zaporedja imenujemo vrsta Definicija Vrsta je konvergentna,če je njena vsota končno realno število,sicer je vrsta divergentna

22. Vrsti priredimo zaporedje delnih vsot

23. Izrek Vrsta je konvergentna natanko tedaj, kadar je konvergentno zaporedje delnih vsot vrste Cauchy-jev kriterij je konvergentna vrsta tedaj in le tedaj,če k vsakemu lahko najdemo tak,da je za vsak veljavno ali

24. Dani sta vrsti Vrsta je majoranta za vrsto , kadar za vsak velja Izrek Če je konvergentna majoranta vrste, potem je tudi vrsta konvergentna.

25. D´Alambert-ov kriterij Vrsta za konvergira,če velja : in

26. Naravno število e