Cauchy und der Cours d´Analyse nach J. Lützen

1. Cauchy und der Cours d´Analyse nach J. Lützen Referentin: Julia Klapper Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag)

2. Biographie • Augustin Louis Cauchy (1789-1857) • Studium zum Ingenieur • École Polytechnique • École des Ponts et Chaussés (Paris) • lehrt 1815 an der École Polytechnique Analysis • Mitglied der Akademie der Wissenschaft • 1830 nach Turin und Prag ins Exil • unterrichtete den Sohn von Karl X. • 1838: Rückkehr nach Paris • 1848 Lehrstuhl an der Faculté des Sciences

3. Biographie • ist nach Euler der produktivste Mathematiker • Beiträge zu den Grundlagen der Analysis ergeben sich aus seiner 15jährigen Lehrtätigkeit an der École Polytechnique • 1821 Veröffentlichung von • Cours d´Analyse de l´École Royale Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique • 1822 durch Lehrplanänderungen gestrichen

4. Zu Cauchy • es wird kritsiert, dass er zu lange die grundlegenden Details behandele • Cauchys Analysis unterscheidet sich in ihrem gesamten Aufbau als in den Einzelelementen von ihren Vorläufern

5. Jesper Lützen´s Vorgehen • Erörtert zuerst die zentralen Begriffe • Will feststellen wie • neu sie waren • wo ihr Ursprung liegt • Wie sie in die Gesamtstruktur seiner Analysis passen

6. Variablen • „Man nennt eine Zahlengröße, von der man voraussetzt, dass ihr nacheinander mehrere von einander verschiedene Werte beigelegt werden dürfen, eine veränderliche Zahlgröße…“ • „Im Gegensatz hierzu versteht man unter einer constanten Zahlgröße … jede Zahlgröße, welcher nur ein gegebener bestimmter Wert beigelegt wird.“ Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.195

7. Variablen • Bei Euler: • Ist eine Variable „eine unbestimmte oder eine allgemeine Zahlgröße, welche alle bestimmten Werte ohne Ausnahme begreift“ • Element einer Menge • Bei Cauchy: • Können Variablen verschiedene Werte annehmen, aber nicht unbedingt alle • dynamisch oder • Heute für

8. Grenzwert • „Wenn die einer Veränderlichen nach und nach beigelegten Werte sich einem gegebenen Werte immer mehr und mehr nähern, so dass in jener Reihe schließlich Werte existieren, die von jenem gegebenen Werte so wenig, wie man will, verschieden sind, so nennt man den gegebenen Wert die Grenze jener übrigen Werte… “ Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.196

9. Grenzwert • Cauchy präzisierte die früheren Ideen von d´Alembert und Newton und veränderte sie • Unterschied zu heute:Er gestattet bisweilen einer Variablen (oder Folge) mehr als einen Grenzwert zu haben

10. Unendlich kleine Zahlgrößen • „Wenn die ein und derselben Veränderlichen nach und nach beigelegten numerischen Werte beliebig so abnehmen, dass sie kleiner als jede gegebene Zahl werden, so sagt man, diese Veränderliche wird unendlich klein oder: sie wird eine unendlich kleine Zahlgröße. Eine derartige Veränderliche hat die Grenze Null.“ Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.196

11. Unendlich kleine Zahlgrößen • Eine gegen 0 gehende Variable ist eine unendlich kleine Größe • Grenzwertbegriff ist zentral • Unendlich kleine Größen sind eine Abkürzung für Variablen mit dem Grenzwert 0

12. Unendlich kleine Zahlgrößen • Übliche Standardleseart bei Cauchy • Non-Standardleseart bei • Laugwitz und Robinson 1967 • Non-Standard-Analysis neuere Theorie der Infinitesimalen. Hier sind unendlich kleine Größen die grundlegenden Begriffe • Mathematikhistoriker haben die modernen Ideen nach Weierstraß unbewusst in Cauchys Arbeit hineingelesen

13. Ableitung • Cauchy entschied sich für Lagranges Begriff und seiner Schreibweise f´, verwirft aber seine auf Potenzreihen beruhende Definition • Orientiert sich an Lacroix und definiert die Ableitung als den Grenzwert des Differenzenquotienten • die Bedeutung des Differentials entlehnte er mit einer leichten Abweichung von Lacroix: • Er bewies dann, dass ist • Annahme f ist stetig

14. Integral • Stetige Funktion zwischen den Grenzen x= und x=X und mit werden neue Werte von x bezeichnet, die zwischen diesen Grenzen liegen • Anschließend wird die Differenz in die Elemente unterteilt • Nun kann jedes Element mit dem Wert von multipliziert werden ist die Summe der so erhaltenen Produkte

15. Integral • „[…] wenn man die Zahlenwerte dieser Elemente unbeschränkt klein macht, indem man deren Anzahl erhöht, wird der Wert von S schließlich merklich konstant, oder, in anderen Worten, gleich einem gewissen Grenzwert, der allein von der Form der Funktion und von den der Variablen x zugeschriebenen Endwerte und X abhängt. Diese Grenze ist das, was man als bestimmtes Integral bezeichnet.“ Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.198

16. Integral • Bei Leibnitz: Summe von Infinitesimalen • Seit Bernoulli: Umkehrung des Differenzierens • Fourier konzentriert sich auf das bestimmte Integral und beschreibt es als die Fläche zwischen der Kurve und der Achse • Cauchy greift Fouriers Idee auf, aber definiert ein bestimmtes Integral als den Grenzwert einer Links-Summe • Dies gestatte ihm zu beweisen, dass das Integral für jede stetige Funktion existiert