REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Por Aida

2. Pasos a seguir • Dominio • Simetrías • Periodicidad • Puntos de corte con los ejes • Asíntotas y ramas infinitas • Crecimiento y decrecimiento • Extremos relativos (máximos y mínimos) • Curvatura • Puntos de inflexión

3. Estudio del dominio • Las funciones polinómicas están definidas para todos los valores de x. • Las funciones racionales no están definidas en los puntos que anulan el denominador. • Las funciones radicales de índice par no están definidas en los valores que hacen negativo el radicando. • Las funciones exponenciales están definidas para todos los valores de x. • Las funciones logarítmicas no están definidas para los valores menores o iguales que cero. • Las funciones trigonométricas (seno y coseno) están definidas en todo R.

4. CON EL EJE X: Hacemos y = 0 Despejamos x: (a,0) CON EL EJE Y: Hacemos x = 0 Despejamos y: (0,a) Puntos de corte con los ejes

5. Estudio de las asíntotas VERTICALES

6. Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: Asíntotas oblícuas:

7. Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x) > 0 Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Igualamos la primera derivada a cero (obteniendo los valores donde puede cambiar de signo), y partimos el dominio con los puntos que salen para estudiar el signo de la derivada.

8. Crecimiento y decrecimiento • Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x)>0 • Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0 • En los máximos y mínimos relativos, la recta tangente a la curva es horizontal y, por tanto, de pendiente nula. Por tanto: Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable en esos puntos, entonces su derivada se anula en estos puntos

9. Curvatura • Una curva es cóncava (o cóncava hacia arriba) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por encima de la recta tangente. • Una curva es convexa (o cóncava hacia abajo) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por debajo de la recta tangente.

10. Puntos de inflexión • Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En los puntos de inflexión la tangente atraviesa la curva. • Si f tiene un punto de inflexión en x = a, entonces f'' (a)=0.

11. Ejemplo 1º: D(f)=R, por ser una función polinómica. Puntos de corte con los ejes: ; Ramas infinitas:

12. Crecimiento: f crece f decrece f crece Extremos relativos: máximo en (0,4) Representación: mínimo en (2,0) Curvatura: convexa cóncava

13. Ejemplo 2º: D(f)=R, por ser una función polinómica. Puntos de corte con los ejes: Ramas infinitas:

14. Crecimiento: f decrece f crece f decrece f crece Extremos relativos: mínimo en (-3,-89) máximo en (0,100) mínimo en (2,36)

15. Ejemplo 3º: D(f)=R, por ser una función polinómica. Puntos de corte con los ejes: Ramas infinitas:

16. Crecimiento: f crece f crece f decrece Extremos relativos: no hay extremo relativo en (0,0) máximo en (1,1)

17. Ejemplo 4º: (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: no hay A.H. Asíntota oblícua: y = x - 3

18. Crecimiento: f crece f decrece f decrece f crece Extremos relativos: máximo en (1,-3) mínimo en (3,1)

19. Ejemplo 5º: (el denominador no se anula nunca) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: A.V. no hay porque no hay puntos fuera del dominio. no hay A.H. Asíntota oblícua: y = x

20. Crecimiento: f crece f crece Curvatura: Representación: P. I. en (0,0) f convexa f cóncava

21. Ejemplo 6º: (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: Asíntota oblícua: no hay.

22. Crecimiento: f decrece f crece f crece f decrece f decrece Extremos relativos: máximo en (1,-3) mínimo en (3,1)

23. Ejemplo 7º: Dominio: D(f)=R, por ser una función polinómica. Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: no hay. Ramas infinitas: Crecimiento: f crece f decrece f crece

24. Extremos relativos: máximo en (1,4) mínimo en (3,0) Curvatura: f convexa f cóncava Puntos de inflexión:

25. Ejemplo 8º: Dominio: (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: no hay A.H. Asíntota oblícua: y = x + 9

26. Crecimiento: f crece f decrece f decrece f crece Extremos relativos: máximo en (-2,4) mínimo en (4,16) Curvatura: f convexa f cóncava

27. Ejemplo 9º: Dominio: (excluimos del dominio los valores de x que hacen negativo el radicando) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio. no hay A.H. Asíntotas oblícuas: ; y = x – 5 en ; ; y = - x + 5 en ;

28. Crecimiento: f decrece f crece Extremos relativos: no hay. Curvatura: f convexa f convexa

29. Ejemplo 10º: Dominio: (porque el exponente es una función polinómica) Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio. A.H.: y = 0 Asíntotas oblícuas: no hay.

30. Crecimiento: f crece f decrece máximo en (0,1) Extremos relativos: Puntos de inflexión: P.I.: Curvatura: f cóncava f convexa f cóncava

31. Ejemplo 11º: Dominio: Puntos de corte con los ejes: Asíntotas: A.H.: no hay Asíntotas oblícuas no hay:

32. Crecimiento: f decrece f crece Extremos relativos: no hay. Curvatura: f convexa f convexa