Déterminisme et équations différentielles

1. Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiquesEmmanuel Risler, INSA de Lyon1 - Equations différentielles sur la droite

2. Déterminisme et équations différentielles • Système S dont l’état peut évoluer dans le temps • On peut considérer l’ensemble E de tous les états possibles du système • Cet ensemble est appelé l’espace des états, ou espace des phases • Si l’état du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors l’espace des états est Rn ou un sous-ensemble de Rn • On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné détermine tous ses états futurs • Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses futures, et en particulier sa vitesse à ce même instant x3 x3 ? ? ? X(t) x2 x2 dx x1 x1 (t) = V(x(t)) dt

3. Déterminisme et équations différentielles (suite) • A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur l’espace des phases, c’est le champ des vitesses instantanées d’évolution du système • L’évolution du système vérifie naturellement l’équation différentielle associée à ce champ de vecteur • Réciproquement, tout système dont l’évolution vérifie une telle équation différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ? • Oui, c’est le théorème d’existence et d’unicité des solutions • Le caractère déterministe de l’évolution du fait de l’équation différentielle peut être illustré par la méthode d’Euler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt • Le système est dit autonome si le second membre de l’équation différentielle ne dépend pas du temps (dans le cas contraire il est dit non autonome) x2 dx (t) = V(x(t)) dt x dx (t) = V(x(t),t) dt V(x) x1

4. Remarque complémentaire Lorsqu’une équation fait intervenir plusieurs variables (espace des phases de dimension supérieure ou égale à deux), on parle de système d’équations différentielles (par opposition à : équation différentielle scalaire). De nombreuses lois physiques (notamment en mécanique) s’écrivent naturellement comme des équations différentielles (ou des systèmes) d’ordre deux (ou plus). Mais on peut toujours se ramener à un système d’ordre un, dont les composantes comprennent toutes les dérivées d’ordre inférieur à l’ordre de l’équation ou du système initial. Exemple : dx = y d2x dt = f(x) dt2 dy = f(x) dt

5. Objet de la théorie des systèmes dynamiques • Etudier le comportement dans le temps des systèmes déterministes, notamment le comportement asympotiquelorsque t -> l’infini • à temps discret : x(n+1)=f(x(n)) • à temps continu : dx/dt(t) = f(x(t)) • En ce qui concerne les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations différentielles (et autonomes), la complexité du comportement dynamique que l’on peut rencontrer est fortement contrainte par la dimension de l’espace des phases : • dimension 1 : équilibres (et bifurcations d’équilibres) • dimension 2 : oscillations (solutions périodiques) • dimension 3 et plus : comportements « complexes » (« chaotiques ») • Question : si on a un système dynamique avec « retard » de la forme : dx/dt = f(x(t-T)), quel niveau de complexité peut-on rencontrer, si x est scalaire (dimension un) ? • Réponse : dans ce cas l’espace des phases est de dimension infinie, donc on peut avoir tous les types de comportements.

6. Equations différentielles en dimension un

7. Linéaire dx/dt = f(x) = ax, a>0 f(x) x

8. Croissance exponentielle Accroissement linéaire : X(t) X(t+1) - X(t) = a . X(t) dX/dt = a . X(t) => croissance exponentielle Temps de doublement • Exemples • Placement rémunéré à taux constant • Population en environnement (ressources) illimité • Croissance = 2% par an • temps de doublement : 35 ans • 3% par an • temps de doublement : 24 ans

9. Population mondiale depuis 10 000 ans Source : Musée de l’Homme

10. Croissance économique depuis un siècle PIB mondial de 1900 à 2000 (reconstitution, car le PIB date de l’après-guerre), en dollars de 1990 x 20 environ Source : Maddison, 1995

11. Linéaire = 1 + ressources limitées dx/dt = f(x) Equilibre stable f(x) x

12. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee dx/dt = f(x) f(x) Equilibre instable x Equilibre stable

13. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

14. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x

15. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

16. Bifurcation de disparition d’équilibres, phénomène de seuil Seuil, irréversibilité, hystérèse Comportement contre-intuitif !

17. Signatures de la bifurcation de disparition d’équilibres x’ = f(x, m) f : R->R x0 m < m0 m > m0 m = m0 f( x0 , m0 ) = 0 dx f( x0 , m0 ) = 0 d2x f ( x0 , m0 ) = a >0 dm f ( x0 , m0 ) = b >0 f( x , m) = a (x- x0)2 + b (m- m0) + … 1 T (m) ~ V |m- m0| V |m- m0| ~

18. Bifurcation de disparition d’équilibres vue dans un potentiel

19. Propriétés des équations différentielles en dimension un • dx/dt = f(x), f: R -> R • Toute solution est monotone • Toute solution converge soit vers un équilibre, soit vers + ou – l’infini • Les équilibres instables jouent le rôle de frontières, « séparateurs » entre les bassins d’attraction des équilibres stables • Il y a une seule bifurcation de codimension un : la disparition d’une paire d’équilibres de stabilités opposées (également appelée « bifurcation nœud-col ») • En présence de symétries ou de contraintes supplémentaires, on va rencontrer d’autres bifurcations

20. Bifurcation « fourche » Bifurcation fourche supercritique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsp.html Bifurcation fourche sous-critique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsb.html Bifurcation fourche avec brisure de symétrie http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dspim.html

21. Bifurcation « fourche » Super-critique Sous-critique

22. Bifurcation « fourche » supercritique