Erros em Alg. Numéricos e Suas Consequências

1. Erros em Alg. Numéricose Suas Consequências Prof. Renata S.S. Guizzardi Dpto. de Informática (CT/DI) 2010/01

2. Agenda • Tipos de Erros • Erro de Modelagem • Erro Grosseiro • Erro de Truncamento • Erro de Arredondamento • Possíveis Consequências • Erro absoluto e Relativo • Outros Conceitos Relevantes

3. Tipos de Erros (1/6) • Erro na Modelagem • Devido à expressão matemática que não reflete perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão. • Erro Grosseiro • Devido a erro na elaboração ou implementação do algoritmo ou a erro de digitação.

4. Tipos de Erros (2/6) - Truncamento • Erro de Truncamento: • Devido à aproximação de uma fórmula. expansão da função exponencial em séries de potência Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

5. Tipos de Erros (3/6) - Arredondamento • Erro de Arredondamento: • Devido à forma de representação de números no computador. • Conversão de base (decimal→binário) • Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários). • Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110→ 0,0001001100110012= 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6). • Exercícios

6. Tipos de Erros (4/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: • 5 = 0.5 x 101 • 0,007 = 0.7 x 10-2 • 35,42 = 0,3542 x 102 • Representação no computador

7. Tipos de Erros (5/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Suponha uma mantissa de tamanho 2: • Represente 35,42 • Some 4,32 e 0,064 • Subtraia 372 e 371 • Multiplique 1234 por 0,016

8. Tipos de Erros (4/6) - ArredondamentoAritmética de Ponto Flutuante • Formato IEEE de ponto flutuante

9. Desastres Causados por Erros nas Soluções (1/3) Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

10. Desastres Causados por Erros nas Soluções (2/3) Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

11. Desastres Causados por Erros nas Soluções (3/3) Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima (23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner) Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito Rompimento de uma das Células que compunham a parede Prejuízo: U$ 700 milhões

12. Erro Absoluto e Erro Relativo • Duas formas de medir o erro. • Erro Absoluto = valor real – valor aproximado. • Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.

13. Outros Conceitos Importantes • Complexidade computacional • Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema. • Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas. • Convergência • Propriedade de gerar solução exata. • Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

14. Página do Curso http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/civil20101.htm http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/mecanica20101.htm