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Erros

Erros. Aritmética de ponto flutuante Erros. 1.3 - Aritmética de ponto flutuante. Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número é representado na forma: onde b é a base; t é o número de dígitos na mantissa

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Presentation Transcript

  1. Erros Aritmética de ponto flutuante Erros

  2. 1.3 - Aritmética de ponto flutuante • Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número é representado na forma: onde b é a base; t é o número de dígitos na mantissa e é o chamado expoente no intervalo [l,u].

  3. Exemplo: Numa máquina que opera no sistema • os números são representados na forma • Nesta máquina, em módulo, o menor número, em módulo: maior número, em módulo:

  4. Considere um número real tal que • Então temos que: i) o número nesta máquina (que opera com três dígitos) será representado por , se for usado o truncamento e , se for usado o arredondamento. ii) (underflow). Exemplo: iii) (overflow). Exemplo:

  5. Comentário: Precisão Dupla • Note que em algumas linguagens de programação é possível declarar uma variável em dupla precisão. • Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética da máquina, aproximadamente, com o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.

  6. Exemplos: • Considere

  7. Erros • Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado : • Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor aproximado Normalmente não temos o valor de x !!!!

  8. Exemplos • Sabendo-se que , então uma estimativa do erro absoluto é: • Seja um número representado por tal que ,isto é, e seja um número representado por tal que , isto é,

  9. Note que os erros absolutos são iguais. • Os erros relativos nos dois caso são: • Portanto, o número x é representado com maior precisão. Portanto, apesar dos erros absolutos serem iguais, a precisão das medidas não o são!!!

  10. 1.4 - Erros de arredondamento e Truncamento • Sabemos que a representação de um número depende da máquina utilizada, pois seu sistema definirá a base numérica adotada, o total de dígitos na mantissa etc... Vimos também que algumas linguagens de programação permitem dupla precisão.

  11. Aritmética de ponto flutuante • Considere uma aritmética de ponto flutuante com t dígitos, na base 10. Seja o número x representado na forma: • Por exemplo, se t=4 e x=234.57, então

  12. Note que não pode ser incorporado à mantissa!!!!!!!!! • Existem dois procedimentos: • Truncamento • Arredondamento

  13. Truncamento: é desprezado e • Erro Absoluto: • Erro Relativo: Menor valor que fx pode assumir

  14. Arredondamento: é modificado para levar em consideração parte de . • Arredondamento simétrico: Se somamos 1 no último dígito de Se desprezamos • Erro Absoluto: • Erro Relativo:

  15. Propagação de Erros • Dada uma seqüência de operações como dá-se a propagação de erros? O erro total é composto pelo erro dos fatores e pelo erro no resultado da operação.

  16. Bibliografia: • Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lúcia da Rocha Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais 2 ed., São Paulo: Makron Books, 1996.

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