STATISIK

1. STATISIK LV Nr.: 0028 SS 2005 30. Mai 2005

2. Konfidenzintervall • Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

3. Konfidenzintervall • Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

4. Konfidenzintervall

5. Konfidenzintervall • Bsp. Körpergröße: • Mittelwert = 173,42 • Standardabweichung = 9,54 • N = 73 • 2-seitiges KI zum Niveau α=0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile der t-Vt: t = 1,99, Quantile der N(0,1)-Vt: z = 1,96 KI: [171,19≤ µ ≤175,65] t-Vt. KI: [171,23≤ µ ≤175,61] N(0,1)-Vt.

6. Statistische Tests • Fragen: • Besteht ein Zusammenhang zw. dem Geschlecht und dem Rauchverhalten? • Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%? • Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich? • Soll ein neues Medikament zugelassen werden? • Stammen Daten aus einer N-Vt Grundgesamtheit? • …

7. Statistische Tests • Deskriptive Analyse der Daten • Lage- und Streuungsmassen • Kontingenztafeln • Korrelationsmaße • Verteilungsdiagramme • … • Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

8. Statistische Tests Einführung: • Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) • Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. • Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

9. Statistische Tests Einführung: • Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. • Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. • Daher: Entscheidungen nicht immer richtig • Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

10. Statistische Tests: Hypothesen Hypothesen: • Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit • 2 Arten von Hypothesen: • Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests • Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

11. Statistische Tests: Hypothesen Formulierung von Hypothesen: • Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese) • Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

12. Statistische Tests: Hypothesen Bsp. • Anteile: • H0: Ausschussanteil = 10% • H1: Ausschussanteil > 10% • Mittelwerte: • H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm • H1: Mittlere Länge eines Werkstücks  5cm • Gruppenvergleich: • H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich • H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

13. Statistische Tests • Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn • Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht. • Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

14. Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen: • Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt ist wird H0 abgelehnt • Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch ist wird H0 nicht abgelehnt.

15. Statistische Tests • Fehlentscheidungen

16. Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen: • Falsche Entscheidung • Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

17. Statistische Tests • Signifikanzniveau eines Testsα: • Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

18. Statistische Tests • Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt). • Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

19. Statistische Tests

20. Statistische Tests • D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H1 abgesichert. • Bei Entscheidung für H1: • H1 ist richtig, • H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit ≤ α. • Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

21. Statistische Tests • Bsp. Medikamententest H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. • Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt • Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

22. Statistische Tests • Arten von Hypothesen: • Einseitige Hypothesen • H0: θ≤θ0 gegen H1: θ > θ0 • H0: θ≥θ0 gegen H1: θ < θ0 • Zweiseitige Hypothesen • H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 • Verteilungshypothesen: • H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

23. Statistische Tests • Arten von Testproblemen: • Einseitige Testprobleme • Tests für einseitige Hypothesen • Zweiseitige Testprobleme • Tests für zweiseitige Hypothesen • Anpassungstests • Test für Verteilungshypothesen

24. Statistische Tests • Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. • Test zum Niveau α: • g(θ) ≤ α für alle θ H0 • g(θ) ≥ α für alle θ H1 • Ist θH1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. • Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

25. Statistische Tests

26. Statistische Tests

27. Statistische Tests • Trennschärfe eines Tests: • Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) • Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

28. Statistische Tests

29. Statistische Tests • Vorgehensweise bei statistischen Tests (I): • Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus • Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. • Bestimmung des kritischen Bereichs • Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) • Entscheidung und Interpretation

30. Statistische Tests • Vorgehensweise bei statistischen Tests (II): • Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus • Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. • Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) • Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik • Entscheidung und Interpretation

31. Statistische Tests • p-Wert • Anstatt den kritischen Bereich bzw. die kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“. • p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte. • Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α. • Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α

32. Statistische Tests • Einseitige Tests (I) • H0: θ≤θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) • T > c, lehne H0 ab • T ≤ c, lehne H0 nicht ab

33. Statistische Tests

34. Statistische Tests • Einseitige Tests (II) • H0: θ≤θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des p-Wertes • p < α, lehne H0 ab • p ≥ α, lehne H0 nicht ab

35. Statistische Tests

36. Statistische Tests • Einseitige Tests (I) • H0: θ≥θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) • T < c, lehne H0 ab • T ≥ c, lehne H0 nicht ab

37. Statistische Tests

38. Statistische Tests • Einseitige Tests (II) • H0: θ≥θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des p-Wertes • p < α, lehne H0 ab • p ≥ α, lehne H0 nicht ab

39. Statistische Tests

40. Statistische Tests • Zweiseitige Tests (I) • H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der kritischen Werte (cu und co) • T < cu oder T > co, lehne H0 ab • cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab

41. Statistische Tests

42. Statistische Tests • Zweiseitige Tests (II) • H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 • Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0bestimmen. • Bestimmung des p-Wertes • p < α, lehne H0 ab • p ≥ α, lehne H0 nicht ab

43. Statistische Tests

44. Statistische Tests • Kritischer Wert: Wert auf der Achse • p-Wert: Fläche unter der Dichte • Entscheidung: • Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich • Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

45. χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest • Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind. • Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

46. χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest • H0: die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig. • H1: die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig • Festlegen des Signifikanzniveaus α.

47. χ² Unabhängigkeitstest • Kontingenztafel: • Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

48. χ² Unabhängigkeitstest • Bsp. 4-Felder Tafel: • Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

49. χ² Unabhängigkeitstest Prüfgröße und Testverteilung: • Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho). • Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten? • Berechung der unter H0erwarteten absoluten Häufigkeiten.

50. χ² Unabhängigkeitstest • Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten • Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten • Dann: unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten