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1. 1 2014/11/13

2. 0 0 0 0 0 0 ●基础知识 一、逻辑联结词 1．逻辑联结词有 或、且、非 ． 2．不含逻辑联结词 的命题叫做简单命题,由 简单命题和 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题． 3．复合命题的构成形式有 p或q 、p且q 、非p . 4．判断下表中复合命题的真假：①④⑥⑨⑪⑫为假，其余为真. 2 2014/11/13

3. 3 2014/11/13

4. 二、四种命题 1．四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┑p和┑q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式为： 原命题： 若p则q ； 逆命题： 若q则p ； 否命题： 若┑p则┑q ； 逆否命题： 若┑q则┑p . 4 2014/11/13

5. 2．四种命题的关系： 5 2014/11/13

6. 3．原命题为真，它的逆命题 不一定为真 ； 原命题为真，它的否命题 不一定为真 ； 原命题为真，它的逆否命题 一定为真 ． 4．反证法 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出 矛盾 ，从而“非q”为假，即原命题为 真 ，这样的方法称为反证法． 6 2014/11/13

7. 三、充分必要条件 1．若p⇒q，则p叫做q的 充分 条件；若q⇒p，则p叫做q的 必要 条件；如果p⇔q，则p叫做q的 充要 条件． 2．判断充要条件的方法： (1)定义法；(2)逆否法；(3)集合法． 逆否法： 若┑A⇒┑B,则A是B的 必要条件 ，B是A的 充分条件 ; 若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A则A是B的 必要非充分条件 ； 若┑A⇔┑B，则A与B互为 充要条件 ； 若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A，则A既不是B的 充分条件 也不是B的 必要条件 ． 7 2014/11/13

8. 集合法： 从集合观点看，建立命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： 若A⊆B，则p是q的 充分条件 ；若AB，则p是q的充分非必要条件 ； 若B⊆A，则p是q的 必要条件 ；若BA，则p是q的必要非充分条件 ； 若A＝B，则p是q的 充要条件 ；若A B且B A，则p既不是q的 充分条件 ，也不是 必要条件 ． 8 2014/11/13

9. 示意图为下图． 9 2014/11/13

10. ●易错知识 一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆 1．命题：方程x2－4＝0的解为x＝±2，使用的逻辑联结词为________． 答案：“或” 10 2014/11/13

11. 二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表．二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表． 2．下面写法对吗？它们与真值表相符吗？ (1)p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或x＝2； (2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形． 你知道应该怎样写吗？ 答案：不对，与真值表不相符． p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝2. p且q：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形． 11 2014/11/13

12. 三、命题的否定与否命题的混淆 3．存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0的否定是________________________________；否命题是________________________________________________． 答案：命题的否定是：“不存在实数x使得x2＋x＋1≤0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1>0”　否命题是：“不存在实数x，使得x2＋x＋1>0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1≤0” 12 2014/11/13

13. 13 2014/11/13

14. 四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误．四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误． 5．若p：α＝β，q：tanα＝tanβ，则p是q的____________________条件． 答案：既不充分也不必要 五、用反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举出来． 6．用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，则应假设____________________________． 答案：a、b、c都不是偶数 14 2014/11/13

15. ●回归教材 1．命题“2010≥2009” () A．使用了逻辑联结词“或” B．使用了逻辑联结词“且” C．使用了逻辑联结词“非” D．是假命题 解析：“2010≥2009”是指“2010＞2009或2010＝2009”，故选A. 答案：A 15 2014/11/13

16. 16 2014/11/13

17. 3．用反证法证明“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”时的假设应为 ()3．用反证法证明“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”时的假设应为 () A．x＝1或x＝2 B．x2－3x＋2＝0 C．x2－3x＋2≤0 D．x2－3x＋2＞0 解析：用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定为“x2－3x＋2＝0”，故选B. 答案：B 17 2014/11/13

18. 4．(教材改编题)设集合P＝{x|－1≤x≤1}，Q＝{x|－2≤x≤1}．则“x∈P”是“x∈Q”的 ()4．(教材改编题)设集合P＝{x|－1≤x≤1}，Q＝{x|－2≤x≤1}．则“x∈P”是“x∈Q”的 () A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵P Q，∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件． 答案：A 18 2014/11/13

19. 5．(课本P42,11题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．5．(课本P42,11题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数． 命题P的否命题为__________________________． 答案：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数 19 2014/11/13

20. 【例1】　指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：【例1】　指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假： (1)10≤10； (2)方程x2－6x＋1＝0没有实数根； (3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形． [解析](1)是“p或q”形式的复合命题， 其中p：10＝10；q：10＜10，为真命题； 也可认为是“非p”形式的复合命题，其中p：10＞10. (2)是“非p”形式的复合命题， 其中p：方程x2－6x＋1＝0有实根，为假命题． 2014/11/13

21. (3)是“p且q”形式的复合命题， 其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形； q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题． [反思归纳]　学习逻辑知识，要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，并会运用简单命题去构造新的命题． 21 2014/11/13

22. 分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假． (1)p：3是9的约数，q：3是18的约数； (2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}； (3)p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅. 解析：(1)p或q：3是9的约数或18的约数，为真命题． p且q：3是9的约数且是18的约数，为真命题． 非p：3不是9的约数，为假命题． 22 2014/11/13

23. (2)p或q：a∈{a，b，c}或{a}{a，b，c}，为真命题.(2)p或q：a∈{a，b，c}或{a}{a，b，c}，为真命题. p且q：a∈{a，b，c}且{a}{a，b，c}，为真命题． 非p：a∉{a，b，c}为假命题． (3)p或q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R或x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题． p且q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R且x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题． 非p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集不是R，为真命题． 23 2014/11/13

24. 【例2】　判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．【例2】　判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假． [命题意图]本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力． [分析]先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决． [解答]　解法1：写出逆否命题，再判断其真假. 原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根， 逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0， 24 2014/11/13

25. 判断如下： ∵x2＋x－a＝0无实根， ∴△＝1＋4a<0，∴a<－ <0， ∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题. 解法2：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明. ∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0， ∴方程x2＋x－a＝0的判别式△＝4a＋1>0， ∴方程x2＋x－a＝0有实根， 故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价， 所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真. 25 2014/11/13

26. 26 2014/11/13

27. 27 2014/11/13

28. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假： (1)若a＝b，则a2＝b2； (2)若x2＋y2＋2x＋1＝0(x、y∈R)，则x＝－1且y＝0； (3)若△ABC≌△PQR，则S△ABC＝S△PQR. 解析：(1)逆命题为：若a2＝b2，则a＝b,此命题为假； 否命题为：若a≠b，则a2≠b2，此命题为假； 逆否命题为：若a2≠b2，则a≠b，此命题为真． 28 2014/11/13

29. (2)逆命题为：若x＝－1且y＝0，则x2＋y2＋2x＋1＝0，此命题为真；(2)逆命题为：若x＝－1且y＝0，则x2＋y2＋2x＋1＝0，此命题为真； 否命题为：x2＋y2＋2x＋1≠0，则x≠－1或y≠0，此命题为真； 逆否命题为：若x≠－1或y≠0(x、y∈R)，则x2＋y2＋2x＋1≠0，此命题为真． (3)逆命题为：若S△ABC＝S△PQR，则△ABC≌△PQR，此命题为假；否命题为：若△ABC与△PQR不全等，则S△ABC≠S△PQR,此命题为假；逆否命题为：若S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△PQR不全等，此命题为真. 29 2014/11/13

30. 【例3】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．【例3】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； (2)对于实数x、y、p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0. [解析](1)在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC， ∴p是q的充要条件． 30 2014/11/13

31. (2)∵逆否命题：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8， ∴p是q的充分不必要条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/ q， 又取A＝30°，B＝120°，q⇒/ p， ∴p是q的既不充分又不必要条件． (4)∵p：x＝1且y＝2，q：x＝1或y＝2， ∴p是q的充分不必要条件． [反思归纳](1)分析p是q的什么条件时，一定要结合命题p与q所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断． (2)分析判断时，为了得出命题p与q的准确关系，有时需对命题p与q进行化简，然后再分析． 31 2014/11/13

32. (2009·陕西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ()(2009·陕西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 () A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 32 2014/11/13

33. (2007·高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是()(2007·高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是() ①p：m＜－2或m＞6； q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点． ②p： ＝1；　　　　q：y＝f(x)是偶函数． ③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ. ④p：A∩B＝A; q：∁UB⊆∁UA. A．①②B．②③ C．③④ D．①④ 答案：D 解析：①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：△＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p； 33 2014/11/13

34. 【例4】　已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．【例4】　已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”． (1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论． (2)写出其逆否命题，并证明你的结论． [分析] 34 2014/11/13

35. [解答](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的．可用反证法证明它．[解答](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的．可用反证法证明它． 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾． ∴逆命题为真． (2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.此命题为真命题．可证明原命题为真来证明它． ∵a＋b≥0. ①若a＋b>0，则a>－b，b>－a，由f(x)在(－∞，＋∞)上递增， ∴f(a)>f(－b)，且f(b)>f(－a)，因此f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)． 35 2014/11/13

36. ②若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a， 由函数的定义知f(a)＝f(－b)，且f(b)＝f(－a)， 因此f(a)＋f(b)＝f(－a)＋f(－b)． 综上所述，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． [总结评述]在本题(2)的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义． 36 2014/11/13

37. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c均为常数)至多有两个不等实数根．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c均为常数)至多有两个不等实数根． 分析：含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题，常用反证法． 证明：假设方程ax2＋bx＋c＝0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得 37 2014/11/13

38. 38 2014/11/13

39. 1．否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词．1．否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词． 2．原命题⇔它的逆否命题，(原命题的否命题⇔原命题的逆命题)因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题． 3．若p⇒q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p⇔q，则p与q互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用．对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明．但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键． 39 2014/11/13