מתמטיקה כשיח טיול עם Jorge Luis Borges

1. מתמטיקה כשיחטיול עםJorge Luis Borges אנה ספרד אוניברסיטת חיפה &Michigan StateUniversity מטח מארח כנס 2 בסידרה במה לשיח ציבורי בחינוך מתמטי: מתמטיקה ושפה

2. הטיעון בדבר קיום של האלוהים לפיJorgeLuis Borges אני עוצם את עיני ורואה להקת ציפורים. זה נשמשך שנייה, אולי פחות; אני לא בטוח כמה ציפורים ראיתי. האם היה המספר מוגדר או בלתי מוגדר? הבעיה קשורה לקיום אלוהים. אם אלוהים קיים, אז המספר מוגדר, כי האלוהים יודע כמה ציפורים ראיתי.

3. אם אלוהים אינו קיים, כי אז המספר בלתי מוגדר, כי לא היה אף אחד שיכול היה לספור. במקרה זה ראיתי פחות מ-10 ציפורים, נגיד, ויותר מאחת, אך לא ראיתי 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, או 2 ציפורים. .... המספר לא-9, לא-8, לא-7, לא-6, לא-5 וכו' אינו מתקבל על הדעת. לכן, האלוהים קיים. Jorge Luis Borges

4. שאלתו של Borges המחכה לתשובה: שאלת משנה: למה זה חשוב לאנשי חינוך? תשובה: כי רק כך ניתן להבין את תהליכי למידה רעיון: אז נהפוך את הסדר וננסה לענותעל-ידי הסתכלות על איך ילדים לומדים היכן נמצא המספר?

5. שאלה: מהיכן ואיך לומדים ילדים על מספרים? תשובתו של ג'אן פיאז'ה: מהי, ומדוע אין היא מספקת?

6. טענתו של פיאז'ה: ילדים קטנים אינם מודעים לשימור המספרגם לאחר שהם יודעים לספור

7. משימת שימור מספר מראין: ועכישו? ילד: בזו השנייה (מצביע על השורה הארוכה ) מראין: באיזו שורה יש יותר גולות? ילד: באף אחת

8. מערערים על פיאז'ה זה לאבגלל חוסר מודעות לשימור מספר! • ראשית, מי אמר שהילדים יודעים שהשאלה דורשת השוואה מספרית דווקא? • שנית, חזרה על אותה שאלה מרמזת על ציפייה לתשובה שונה!

9. תהיות נוספות מתוך המחקר עם עירית לביא מעקב אחר התפתחות החשיבה המתמטית של ילדים

10. אוכלוסיית המחקר רוני (4:0) עינת (4:7)

11. עירית שמה על השטיח שתי קופסאות אטומותזהות • עירית: יש בתוך הקופאות גולות . אני רוצה שתגידו לי באיזה קופסה יש יותר גולות . • עינת מצביעה על הקופסה שלידה ואח"כ רוני מצביעה על אותה קופסה. • עירית: בזאת? כן? איך אתן יודעות? • רוני : כי היא הכי גדולה מזאת. היא הכי. • עינת: כי… כי היא ענקית יותר מזאתי.

12. עירית אינה בטוחה מה לעשות הלאה. לאחר כמה רגעי מבוכה היא אומרת: • עירית: אתן רוצות לפתוח ולגלות? • שתי הילדות מנסות לתפוס את הקופסה שנבחרה בתור ה"הכי ענקית". בסוף, כל אחת פותחת את הקופסה שתפסה. • רוני : אחת ..אחת..1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. • עינת: 1, 2, 3, 4, 5, 6. שש! • עירית: אז מה אתן אומרות? איפה יש יותר? • רוני: לי נראה פה. מצביעה על הקופסה של 8. • ענית: גם אני אומרת שפה.

13. הכיצד נסביר שהילדות השיבו בלי לספור? • כי לאידעו לספור? • וודאי שלא: הן שלטו בספירה ומנייה שליטה מלאה. • לא - הן חזרו על אותן פעולות בכל משימת השוואה הבאה. • משום שלאידעומה מצופה מהן?

14. משימה שנייה • עירית: אני שמה פה שתי קופסאות, ושיניתי משהו, שיניתי, אז….איפה יש יותר גולות לפי דעתכן? • עינת:מצביעה על הקופסה השמאלית בנגיעה • רוני:חוזרת על תנועתה של עינת.

15. הכיצד נסביר שהילדות השיבו בלי לספור? • אבל אז איך נסביר ש • הן מוכנות לתת "הסברים" תיקניים לבחירתן • הן מסכימות זו עם זו בבחירה ובהסבר • הן נלחמותעל הקופסה שנברה "ללא סיבה" אז אולי הן משחקות משחק ניחושים?

16. אז מה עם ההסברים הקודמים לעובדה שהילדות היודעות מנייה "הישוו" בלי למנות? • הן הסתמכו על הבדל אחר בין הקופסאות? • לא! לא היה כל הבדל מוחשי בין הקופסאות. • לא – הן ענו כך בפעם הראשונה! • זו היתה תגובתן לחזרתה של אמא על אותהשאלה?

17. החידות מחייבות עיון מחדש ביחסי גומלין בין מספר ושיח הראייה המסורתית, הדואלית: שיח מספרי – מאפשר תיאור והבנה של מספר מספר– ישות עצמאית בעולם  שיח מספריזה כל יש; לא מפרדים בין שיח לבין האובייקט שלו (המספר) הראייה המאוחדת:

18. מתמטיקה היא סוג של שיח?ואכן, מתקבל על הדעת • יוצרים פסוק כגון "3+2 = 5" • מה אתם עושים כשאתם מבצעים "פעולה במספרים"? • לסתות ועיפרון על נייר (מקשי המקלדת) • מה אתם מזיזים כשאתם "עושים מתמטיקה"? • אין להפריד בין המספר לבין הדיבור עליו! • אז כיצד תענו לבורהס השואל היכן המספרים כשאף אחד אינו מדבר עליהם?

19. Borgesעצמו מצא תשובה דומה בעיר Tlön שתושביה מאמינים כי "לשמות-עצם [מתמטיות] יש ערך מטפורי בלבד"

20. התנגדות נמרצת: רק דיבור? והיכן התוכן והמחשבה?! הם לא נעלמו – הם רק אינם מופרדים עוד מהמלים Wittgenstein: "מחשבה [ותוכנה, כגון מספר] אינה תהליך חסר-גוף המעניק חיים ומשמעות לדיבור – היא אינה תהליך שניתן להפרידו מהדיבור."

21. מתמטיקה כשיח

22. כיצד נמשיג חשיבה ולמידה? חשיבהתקשורת שיח כל מעשה תקשורת למידה שינוי שיח

23. תשובה 1: שאלה: מליםודרך השימוש בהן מהעושה את השיח למתמטי?

24. למשל, במקרה של שיח מספרי: • מספר, כמות • מלות מספר:אחת, שתים, שלוש... • מלות השוואה:יותר, פחות, אותו דבר אותן מלים יכולות להיות מתמטיות או לא – זה תלוי בשימוש למשל: שיפוע, גבול, משולש

25. תשובה 2: שאלה: רוטינות, כלומר דפוסים קבועים לעשיית דברים מהעושה את השיח למתמטי?

26. מה יוצא דופן? 2, 3, 4, 6

27. והנה מה כתב לנו ילד אחד: טים הלך לחנות כדי לקנות חטיפי שוקולד. התברר, שאם הוא יצליח לחשב בעל פה את התוצאה של 7·(3+5) אז הוא יקבל מספר חטיפים השווה לתוצאה זו. מה היא התשובה? בניסוי שנערך במונטראל, קנדה, ביקשנו ממסיימי כיתה ו’ לבצע משימה: כתובו בעיה במלים שתוביל אל חישוב הבא: 7·(3+5) סיפורו של טים

28. חזרה לרוני ולעינת(ולאנשי Tlön)

29. מה השוני בין השיח המספרישלהילדים לבין זה שלהמבוגרים? 1. שימוש במלים

30. אני רוצה שבשתי התמונות תהיה אותה חיה. שיח מספרי של המבוגרים הוא מעוצם(objectified) מספר בעל חיים • החיה הזאת והחיה הזאת – זה אותו דבר? • "2 ו 4 – זה אותו דבר?" • יש חיה יותר גדולה מלויתן? • "יש מספר יותר גדול מ 10?" • "אני רוצה... שיהיה בשתי הקופסאות אותו מספר של גולות"

31. אין סימני עיצום בשיח מספרי של רוני ועינת • אי-שימוש במלות מספר כשמות עצם; הילדות אומרות: • "10 זה יותר מ 8" • ולא • "10 יותר גדול משמונה" • אי-יכולתן של הילדות להשתמש בלים "אותו דבר" בהקשר זה

32. כשיש 2 גולות בכל קופסה 38.אמא: שתיים ושתיים, אז איפה יש יותר גולות? 39. רוני:באף אחת. ......... 42. אבא: למה, למה באף אחת אין יותר גולות? 43. רוני: כי באחת יש שתיים ובאחת עוד שתיים. 44. אבא: אז בגלל זה באף אחת אין יותר? בשתיהן יש מה? 45. רוני: שתיים 46. אבא: וזה…יותר או פחות? 47. רוני:פחות 48. אבא:פחות ממה?

33. כשיש 2 גולות בכל קופסה 49. רוני: מ..מ.. ממספרים גדולים 50. אבא: אם יש בקופסה אחת שתיים וגם בקופסה שנייה שתיים, אז מה יש בשתי הקופסאות? 51. רוני: ....ארבע! 52. אבא: ובכל קופסה יש אותו… 53. רוני: כי זה בין. 54. אבא: הבנתי, ובכל קופסה יש אותו דבר? 55. רוני: ..... 56. אבא: כמה בכל קופסה? 57. רוני:שתיים 58. אבא: טווווב...

34. Borges על אנשי Tlön "שוויון* [אצלם] הוא דבר אחד, וזהות**זה דבר אחר לגמרי" • * שוויון פירושו שיש שני דברים שתהליך המניה של שניהם מסתיים באותה מלת-מספר • ** זהות זה מצב בו יש מבחינתו רק דבר אחד ולכן משתמשים במלים "אותו דבר"

35. מה השוני בין השיח המספרישלהילדים לבין זה שלהמבוגרים? 2. רוטינות

36. התפתחה רוטינה דו-שלבית: אמא:אולי תבדקו? אמא:היכן יש יותר?  ילדות:בחירה ישירה ילדות:השוואה מתווכת ספירה 

37. אותוהליך דיסקורסיבייכול להופיע כחלק מרוטינות שונות – הבחנה לפי מטרה מעשה  שינוי בסביבה חקירה  היגדים מוסכמים ריטואל  יחסים חברתיים

38. טענה: המבוגרים מתכוונים לחקירה, אך הילדים מבצעים בחירה ישירה השוואה מתווכת ספירה   ריטואל מעשה

39. Jorge Luis Borgesעל אנשי Tlön העולם בשבילם אינו אוסף של עצמים במרחב. זוהי סדרה מגוונת ובלתי אחידה שלמעשים [וריטואלים] בלתי תלויים זה בזה. אין אצלם שמות-עצם.

40. לחשוב על מתמטיקהכעל שיח – מה זה משנה?

41. מעמשה ריטואל חקירה מה זה אומר על תהליך הלמידה? – התפתחות רוטינות

42. הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7 חודשים 1.אמא: זוכרות את זה? עכשיו אני רוצה שתגידו לי איפה יש יותר [גולות] הבנות מצביעות בו זמנית על הקופסא שליד עינת. 2. רוני: זה או זה... רגע. [מרימה את הקופסא שליד עינת ומנענת ] 3. רוני: כן, זה [מצביע על הקופסא ליד עינת, וכך עושה גם עינת]

43. הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7 חודשים 4.אמא: איך אתן יודעות? 5. רוני: אנחנו שומעות שיש פה המון. 6. אמא: ואיך את יודעת עינת? 7. עינת: כי, גם... גם אני שומעת שיש פה המון גולות 8. אמא: אתן רוצות לפתוח את הקופסאות?

44. הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7 חודשים כל אחת מהבנות פותחת את הקופסא שלידה. רוני מסתכלת לתוך הקופסא של עינת. 4. רוני:אנחנו צדקנו . 5. אמא: איך אתן יודעות? 6. רוני: 1, 2, 3, 4, 5, 6 [מונה תוך כדי נגיעה בכל גולה שסופרת.] 7. עינת: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 [מונה תוך כדי נגיעה בכל גולה שסופרת.]

45. טענה: המבוגרים מתכוונים לחקירה, והילדים מבצעים בחירה מתווכת שקילה השוואה מתווכת ספירה   חקירה? חקירה

46. אז מה זה אומר באופן מעשי? אין לזלזל בריטאולים: הם שלב הכרחי בלמידה! תנאי ליעלות הוראה הסכם תקשורתי בין כל משתתפי ההליך (תלמידים ומורים) תנאי הכרחי ללמידה קונפליקט תקשורתי (בין אדם לחברו) [ולא קוגניטיבי,( בין אדם לעולמו)

47. ובאופן פחות מעשי, הנה מסקנתו של Borges מכל התלבטויותיו: כל אחד מאתנו הוא כמו הקוסם הגדול Novalis ש"כישף את עצמו עד כדי כך שראה את יצירי דמיוננו כישויות אוטונומיות". כמוהו,"חלמנו את העולם [המספרי]. חלמנו אותו חזק, מסתורי, ניתן לראייה, נמצא בכל מקום במרחב ועומד בפני הזמן".