GRAF (lanjutan 2)

1. GRAF (lanjutan 2)

2. 17. Graf Planar dan Graf Bidang Graf yang dapatdigambartanpaterjadinyaperpotonganantarsisidisebutgraf planar. Graf planar yang digambarkantanpaadaperpotonganantarsisidisebutgrafbidang. Graf bidangpastimerupakangraf planar. Graf planar belumtentugrafbidang.

3. Contoh Graf K4adalah Graf Planar q q p p s s r r

4. Contoh Graf K6bukan Graf Planar    

5. Contoh Graf K3,3bukan Graf Planar

6. 18. Rumus Euler Sisipadagrafbidangmembagibidangdatarmenjadibeberapawilayah (regionatauface) Jumlahwilayahpadabidangdatartermasukwilayahluar. Jumlahwilayahpadagraf planar sederhanadapatdihituyngdenganrumus, n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 n = jumlahsimpul e = jumlahsisi

7. Contoh 12.14 Tentukanjumlahwilayahpadagraf planar berikut  R3 R5 R2 R6 R1 R4  f = e – n + 2 = 11 – 7 + 2 = 6 Jadijumlahwilayah = 6

8. 19. Ketidaksamaan Euler Padagrafsederhanaterhubungdengan f wilayah, n buahsimpul, dan e buahsisi (dengan e > 2) berlakuketidaksamaan: 2e  3f atau 2e/3  f Dari rumus Euler, f = e – n + 2 Sehingga: 2e/3  e – n + 2 2e/3 – e  – n + 2  – 1/3 e  – n + 2 1/3 e  n – 2  e  3n – 6 (ketidaksamaan Euler) Suatugrafdikatakan planar jikamemenuhiketidaksamaan Euler. Jikatidakmemenuhimakagrafdikatakantidak planar.

9. Contoh 12.15 Padagraf K4berikut, n = 4, e = 6. Tentukanapakahgraf tersebutmemenuhiketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(4) – 6 = 6 Karena e = 6, makagraf K4dikatakanmemenuhi Ketyidaksamaan Euler e  3n – 6.

10. Contoh 12.16 Padagraf K5berikut, n = 5, e = 10. Tentukanapakah graftersebutmemenuhiKetidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(5) – 6 = 9 Karena e = 10 > 9, makagraf K4dikatakantidak memenuhiketidaksamaan Euler e  3n – 6. Artinyagraf K5 tidak planar

11. Perludiketahuibahwaketidaksaman Euler merupakansyaratperlu; bukansyaratcukup. Artinyajikasuatugrafmemenuhiketidaksamaan Euler, belumtentugraftersebut planar. Perhatikancontohberikut!

12. Contoh 12.17 Padagrafbipartit K3,3berikut, n = 6, e = 9. Tentukan apakahgraftersebutmemenuhiketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(6) – 6 = 12 Didapat e = 9 < 12. Walaupunmemenuhi ketidaksamaan Euler, kitatelahmengetahuibahwa graf K3,3dbukangraf planar.

13. 20. Graf Homeomorfik Duagraf G1dan G2dikatakanhomeomorfikjikasalahsatudarikeduagraftersebutdapatdiperolehdarigraf yang lain dengancaramenyisipkandan/ataumembuangsecaraberulang-ulangsimpul yang berderajad 2. v y x KetigagrafdiatasadalahHomeomorfiksatusama lain. Graf G2didapatdenganmenghilangkansimpul v pada G1 . Sedangkan G3didapatdari G2dengan Menambahkansimpul x dan y. G1 G3 G2

14. 21. TeoremaKuratowski MenurutKuratowskiterdapat 2 jenisgraftidak planar, yaitu: Graf Kuratowskipertama, yaitugraflengkap yang mempunyai 5 buahsimpul (K5) adalahgraftidak planar. 2. Graf Kuratowskikedua, yaitugrafterhubungteraturdengan 6 buahsimpuldan 9 buahsisi (K3,3) adalahgraftidak planar.

15. SifatgrafKuratowski: KeduajenisgrafKuratowskiadalahgrafteratur KeduagrafKuratowskiadalahgraftidak planar PenghapusansisiatausimpuldarigrafKuratowskimenyebabkanmenjadigraf planar Graf Kuratowskipertamaadalahgraftidak planar denganjumlahsimpul minimum. SedangkangrafKuratowskikeduaadalahgraftidak planar denganjumlahsisi minimum. Keduanyaadalahgraftidak planar paling sederhana.

16. TeoremaKuratowski: Graf G adalahtidak planar jikadanhanyajikamengandungupagraf yang isomorfikdengan K5atau K3,3atauhomeomorfikdengansalahsatudarikeduanya.

17. Perhatikangrafberikut. Graf G mengandungupagraf G1 yang isomorfikdengangraf K3,3. Jadi G tidak planar a b c a b c f e d f e d G1 G

18. Graf G tidak planar karenaupagrafnya G1isomorfikdengan K3,3. c a b b d b c d d a a g g e f g f c f K3,3 G G1

19. 22. Graf Dual (Dual Graph) Misalterdapatgrafbidang G. Kita dapatmembuat dualdarigraf G atau G* dengancara: 1. Padasetiapwilayahataumuka f di G, buat sebuahsimpulv* yang merupakansimpul untuk G*. 2. Untuksetiapsisi e di G, tariksisi e* yang menjadi sisiuntuk G* danmemotongsisi e tersebut. Sisi e* menghubungkanduabuahsimpulv1* danv2* (simpul-simpuldi G*) yang beradapadamuka f1dan f2 yang dipisahkanolehsisi e di G. Untuksisi e yang salahsatusimpulnyamerupakan simpul yang mempunyaiderajad 1, makasisi e* merupakansisigelang.

20. Contoh 12.18 Gambarkan dual darigrafberikut!   

21. Contoh 12.18 Gambarkan dual darigrafberikut!      

22. Contoh 12.19 Gambarkan dual darigrafberikut! e7* e7 e6  e5* e5 e4*  e6* e1 e4 e3* e3  e1* e2 e2* 

23. Contoh 12.19 Gambarkan dual darigrafberikut! e7* e7  e6  e5* e6* e5 e5* e4* e7*   e6* e4* e1 e3* e4 e3* e2* e3    e1* e1* e2 e2* 

24. Contoh 12.20 Gambarkan dual darigrafberikut! e6 e5  e5* e7 e7* e3  e4 e1 e3* e4*   e2 e2* e1* e6*

25. Contoh 12.20 Gambarkan dual darigrafberikut! e6 e5   e5* e7 e7* e3 e6*  e7* e4 e5* e1 e3*  e4*  e3* e4*  e2 e2*   e2* e1* e1* e6*

26. Khususuntukgraf yang merepresentasikanpeta, bidangluartidakdinyatakansebagaisebuahsimpul 2  1  7    3 6   8 4  5

27. 23. Lintasan Euler danSirkuit Euler Lintasan Euler adalah: Lintasan yang melaluimasing-masingsisipadasuatugraftepatsatu kali. Sirkuit Euler adalah: Lintasan yang melaluimasing-masingsisipadasuatugraftepatsatu kali dankembalikesimpulawal. Graf yang memilikisirkuit Euler dinamakangraf Euler (Eulerian Graph). Graf yang hanyamemilikilintasan Euler disebutgraf semi-Euler (semi-Eulerian Graph).

28. Contoh 12.21 2 1 Lintasan Euler : 3 – 1 – 2 – 3 – 4 – 1 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ 4 3 3 2 ▸ ▸ ▸ ▸ 5 ▸ 4 1 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ Sirkuir Euler: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 3 – 5 – 7 – 6 – 5 – 2 – 6 – 1 7 6

29. Teorema 23.1 Graf terhubungtak-berarah G adalahgraf Euler (memilikisirkuit Euler) jikadanhanyajikasetiap simpuldidalamgraftersebutberderajadgenap. Contoh 12.22 a b Sirkuit Euler: a, e, c, d, e, b, a e c d

30. Teorema 23.2 Graf terhubungtak-berarah G adalahgraf semi-Euler (memilikilintasan Euler) jikadanhanyajikadidalam graftsb. terdapattepatduasimpulberderajadganjil Contoh 12.23 a b Lintasasn Euler : a, c, d, e, b, d, a, b e c d

31. Teorema 23.3 Graf terhubungberarah G memilikisirkuit Euler jika danhanyajika G terhubungdansetiapsimpulmemilikiderajadmasukdanderajadkeluar yang sama. G memilikilintasan Euler jikadanhanyajika G terhubungdansetiapsimpulmemilikiderajadmasukdanderajadkeluar yang sama, kecualiduabuahsimpul, yaitusimpulpertamamemilikiderajad-keluarsatulebihbesardariderajadmasuk, dan yang kedua memilikiderajad-masuksatulebihbesardariderajadkeluar.

32. Contoh 12.24 a ▸ b ▸ ▸ ▸ f g  ▸ ▸ ▸ c ▸ d e Sirkuit Euler: a – g – c – b – g – e – d – f – a

33. 23. Lintasan Hamilton danSirkuit Hamilton Lintasan Hamilton adalah: Lintasan yang melaluitiapsimpulpadasuatugraftepatsatu kali. Sirkuit Hamilton adalah: Lintasan yang melaluitiapsimpulpadasuatugraftepatsatu kali; kecualisimpulawal yang dilaluidua kali. Karenalintasankembalikesimpulawal, makasimpulawalberfungsijugasebagaisimpulakhir. Graf yang memilkisirkuit Hamilton dinamakangraf Hamilton. Graf yang hanyamemilikilintasan Hamilton disebutgraf semi-Hamilton.

34. Contoh 12.25 1 1 2 2 1 2 4 3 4 3 4 3 (a) (b) (c) Graf yang memilikilintasan Hamilton : 3, 2, 1, 4 Graf yang memilikisirkuit Hamilton : 1, 2, 3, 4, 1 Graf yang tidakmemilikilintasandansirkuit Hamilton

35. Teorema 23.4 (Teorema Dirac) Jika G adalahgrafsederhanadengan n buahsimpul (n  3) sedemikiansehinggaderajattiapsimpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  2 untuksetiapsimpulvdi G), maka G adalahgraf Hamilton. Teorema 23.5 (Teorema Ore) Jika G adalahgrafsederhanadengan n buahsimpul (n  3) sedemikiansehingga d(v) + d(u)  n untuksetiappasangsimpultidakbertetanggaudanv, maka G adalahgraf Hamilton Teorema 23.6 (Teorema Ore) Setiapgraflengkapadalahgraf Hamilton

36. Teorema 23.7 Di dalamgraflengkap G dengan n buahsimpul (n  3) terdapatsebanyak (n – 1)!/2 sirkuit Hamilton. Teorema 23.8 Di dalamgraflengkap G dengan n buahsimpul (n  3 dan n ganjil) terdapat (n – 1)/2 buahsirkuit Hamilton yang salinglepas (tidakadasisi yang beririsan). Jika n genapdan n  4 makadidalamgrafterdapat (n – 2)/2 buahsirkuit Hamilton yang salinglepas.