第六章二次型 §1 二次型的矩阵合同矩阵

第六章二次型 §1二次型的矩阵合同矩阵 f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+…+ 2a12x1x2+ …+2a1nx1xn+…+2an-1,nxn-1xn 令 aij=aji，记 2aij=aij+aji ,则令则 f=XTAX 实对称阵A叫做二次型f的矩阵，R(A)叫做二次型f的秩。

第六章二次型§1二次型的矩阵 合同矩阵（续1）形如 f=d1y12+d2y22+…+dryr2(r≤n) 的二次型称为标准形。若对n阶方阵A和B，存在可逆阵P,使 PTAP=B，则称A与B合同。定理1 合同矩阵秩相等。

第六章二次型 §2 化二次型为标准形 定理2 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换X=QY, 使f化为标准形。证明：A为实对称阵，∴存在正交阵Q,使 Q-1AQ= Λ，即QTAQ= Λ，令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YTΛY = λ1y12+ λ2y22+…+ λnyn2 为标准形。(λi为A的特征值) 推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换X=PY, 使f化为标准形:d1y12+d2y22+…+ dnyn2 (di未必是A的特征值)

第六章二次型 §3 惯性定理 定理3 设n元实二次型 f=XTAX的秩R(A)=r,，若可逆线性变换X=BY及X=CZ将f分别化为标准形： f = k1y12+…+ kpyp2- kp+1yp+12-…- kryr2 （ki>0）及 f = d1z12+…+ dqzq2- dq+1zq+12-…- drzr2 (di>0) 则p=q. p叫作正惯性指数；r-p叫作负惯性指数； p-(r-p)=2p-r叫作符号差.

第六章二次型 §3 惯性定理 (续1) f = k1y12+…+ kpyp2- kp+1yp+12-…- kryr2 （ki>0） f的标准形中，作可逆线性变换：则 f = u12+…+ up2- up+12-…- ur2 称其为f的规范形，是唯一的。

第六章二次型§3 惯性定理（续1） 定义设f=XTAX 为n元实二次型，若对任意n维非零列向量X，均有XTAX>0,则称f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。定理4 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价： ①f=XTAX正定； ② f=XTAX 的正惯性指数为n ； ③存在可逆阵P,使A=PTP; ④A的n个特征值全大于0。

第六章二次型 §3 惯性定理（续2） 定理5 实对称阵A正定的充要条件为A的各阶顺序主子式全大于0，即 a11>0 … |A|>0; 例1 判别f=3x12+6x1x3+x22-4x2x3+8x32的正定性。解： |A|>0; 3>0, ∴A正定,f=XTAX正定.

第六章二次型 §1 二次型的矩阵合同矩阵