Tomasz Niedzielski

1. Dopasowanie modelu autoregresji i predykcja stanów wody w Odrze (posterunek wodowskazowy Trestno) Tomasz Niedzielski

2. Cel badań • Dopasowanie modelu ARMA do danych opisujących stany wody w Odrze na posterunku Trestno (SW Polska) • Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o dopasowany model ARMA • Ocena trafności predykcji • Zastosowanie metody bootstrap dla badanego szeregu czasowego

3. Publikacje • Niedzielski T., 2004, Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o analizę szeregów czasowych, [w:] Badania geograficzne w poznawaniu środowiska, Wydawnictwo UMCS, Lublin, 321-326. • Niedzielski T., Dopasowanie modelu ARMA i zastosowanie metody bootstrap do danych opisujących stany wody (aktualnie recenzowana).

4. Prezentacja • Wiadomości wstępne i przygotowanie danych • Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów • Prognozowanie • Ocena trafności predykcji • Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów • Wnioski

5. 1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych • lokalizacja wodowskazu Trestno • 242.1 km biegu rzeki • bliskość Wrocławia • Wejściowy szereg czasowy • dzienne stany wody w Odrze na posterunku Trestno • listopad 1979 – październik 1982 • 1096 danych • Przekształcony szereg czasowy • szereg średnich dekadowych • 108 danych • od tego miejsca analizowany jest ten zbiór danych

6. 1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych(ciąg dalszy) • Własności badanego szeregu czasowego • brak trendu (ryc. 1) • sezonowość – okres 36 (ryc. 1) • Przygotowanie szeregu residuów • usunięcie składowej sezonowej • odjęcie średniej procesu • Stacjonarność szeregu czasowego residuów (ryc. 2)

7. 2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów • Wybór p i q dla procesu ARMA(p,q) • analiza funkcji autokorelacji próbkowej (ryc. 3) • analiza funkcji autokorelacji cząstkowej (ryc. 4) • Wstępne założenie, że modelem dla residuów jest AR(1)

8. 2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) • Zastosowanie kryterium FPE i AICC • FPE • AICC

9. 2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) • Wniosek: proces AR(1) opisuje residua • Definicja: Xtjest procesem AR(1) jeżeli Xtjest stacjonarny i dla każdego t gdzie Ztjest białym szumem o średniej 0 i wariancji 2, |φ| < 1, Zt jest nieskorelowana z Xsdla wszystkich s < t, φ jest stałą.

10. 2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) • Estymacja współczynnika φ(estymator Yule - Walkera) prowadzi do otrzymania następującego modelu probabilistycznego dla residuów • Powyższy model jest podstawą do wygenerowania długoterminowej prognozy

11. 3. Prognozowanie • Długość prognozy • długoterminowa • 1 rok (1983), co równoważne jest 36 dekadom • Procedura • prognoza szeregu residuów AR(1) • dodanie składowej sezonowej • dodanie średniej przekształconego szeregu czasowego

12. 3. Prognozowanie (ciąg dalszy) • Długoterminowa prognoza na rok 1983 z odjętym/dodanym średniokwadratowym błędem prognozy (ryc. 5)

13. 4. Ocena trafności predykcji • Porównanie wartości prognozowanych z obserwowanymi (ryc. 6) • Dla większości przypadków prognoza jest zbliżona do wartości obserwowanych

14. 5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów • Cel: znalezienie nowego modelu AR(1) dla residuów [inny współczynnik φ] i sprawdzenie czy zastosowanie nowego modelu poprawi trafność prognozy • Bootstrap – metoda statystyczna polegająca na repróbkowaniu (losowaniu ze zwracaniem z istniejącej próbki nowych B próbek) • Bootstrap dla danych niezależnych nie może być stosowany dla danych zależnych • Zastosowano klasyczny bootstrap dla szeregu „prawie niezależnego” szumu losowego

15. 5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów (ciąg dalszy) • Repróbkowano 2000 razy • Obliczono nową wartość estymatora Yule – Walkera, która wynosi 0.612 • Nowy model probabilistyczny dla residuów był podstawą skonstruowania prognozy • Nie zaobserwowano poprawy trafności predykcji

16. 6. Wnioski • Zaproponowany model jest podstawą dość trafnych prognoz • Zastosowanie metody bootstrap nie poprawiło trafności prognozy • Interesujące wydaje się być • znalezienie modelu ARMA dla dłuższych szeregów czasowych (czy też będą AR(1)?) • zbadanie wpływu wartości ekstremalnych (np. powódź z 1997 roku) na strukturę modelu

17. Dziękuję za uwagę