Vettori

1. Vettori Dott. Daniele Gregori Corso di Fisica LA Facoltà di Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Università di Forlì

2. Le grandezze fisiche Lo scopo della fisica è quello di ricavare le leggi che legano le varie grandezze fisiche. Le grandezze fisiche sono le quantità che si possono misurare. Durante il corso incontreremo due diversi tipi di grandezze fisiche: quelle scalari definite univocamente da un solo numero con unità di misura e quelle vettoriali definite da direzione, verso e modulo con la sua unità di misura. Grandezze scalari sono la massa, l’energia, l’entropia,… Grandezze vettoriali sono la forza, il momento angolare, l’impulso,…

3. V Vettori nel piano y Coordinate cartesiane P ≡ (ρ,θ) ≡ (xP,yP) yP ρ Coordinate polari θ O xP x i e j sono i versori ovvero i vettori unitari diretti lungo gli assi x e y Rappresenta il modulo del vettore e si indica anche con la lettera del vettore senza la freccia: V Unità immaginaria

4. Vettori nello spazio z Coordinate cartesiane P≡(ρ,θ,φ)≡(xP,yP,zP) zP ρ Coordinate polari θ yP y O φ xP Con: 0<φ<2π 0<θ<π x versore modulo

5. V θ W O Somma di vettori nel piano Abbiamo 2 vettori V e W di cui sono noti i moduli (o ampiezze) e l’angolo θ che formano. Calcolare il vettore somma (modulo e angolo che forma con uno i due vettori). π-θ V S φ W O

6. a b c Somma di vettori nel piano Per rispondere ai due quesiti precedenti si usano il teorema di Carnot e il teorema dei seni: Teorema di Carnot: Teorema dei seni:

7. Nota: Somma di vettori nel piano Tornando al nostro problema: π-θ NOTA: non usiamo più la freccia perchè stiamo considerando i moduli dei vettori V S φ W O

8. S V1 D V2 -V2 Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane Consideriamo due vettori nel piano di cui sono note le componenti cartesiane. y Esempio: x

9. Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane Consideriamo due vettori nello spazio di cui sono note le componenti cartesiane Ricaviamo la somma e la differenza come: Esercizio: ricavare la somma e la differenza tra

10. V1 θ V2 O Nota: è facile verificare che Prodotto scalare Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale Notiamo che il prodotto scalare vale zero se i due vettori sono ortogonali ovvero se cos θ =0 . Se sono date le componenti cartesiane si calcola come Esercizio: Stabilire quali dei seguenti vettori sono ortogonali fra loro:

11. Vale la proprietà antisimmetrica: Nota:il prodotto esterno vale zero quando i due vettori sono allineati (θ=0°, θ=180°) Prodotto vettore Dati due vettori complanari, si può definire il prodotto vettore (o prodotto esterno) come il vettore Versore ortogonale al piano e il cui verso è pari al verso di avanzamento di una vite per portare il primo vettore sul secondo descrivendo l’angolo minore possibile (angolo θ). y θ Vettori paralleli x Vettori antiparalleli

12. Nota: è facile verificare che Il prodotto vettore in componenti cartesiane Date le componenti cartesiane dei vettori: Il prodotto esterno si calcola come: Esercizio: calcolare il prodotto dei due vettori e verificare che risulta ortogonale ai due vettori e determinarne il versore

13. Svolgimento Dati i due vettori: Il prodotto vettore risulta: Verifichiamo che è ortogonale ai primi due vettori:

14. Svolgimento del vettore Ricaviamo il versore Per prima cosa determiniamo il modulo Quindi il versore risulta essere

15. Derivata di vettori Dato un vettore consideriamo le sue componenti, in un sistema di riferimento dato, dipendenti da un parametro. Possiamo definire la derivata delle componenti rispetto a quel parametro: Esempio, sia dato il vettore Calcolare le derivate prima e seconda

16. Svolgimento Possiamo calcolare la derivata rispetto al parametro t: E allo stesso modo procedere per calcolare la derivata seconda: Altro esempio, consideriamo il seguente vettore spostamento (deve avere le dimensioni di una lunghezza): con :

17. Svolgimento 1) Quanto vale il modulo della velocità per t=2s ? 2) Quanto vale il modulo dell’accelerazione per t=2s ? 3) Scrivere i versori 4) Che angolo formano velocità e accelerazione ? Per prima cosa ricaviamo le componenti di velocità e accelerazione: Ora sostituendo a t il valore 2 s e alle costanti b,c i loro valori otteniamo

18. Svolgimento Il modulo quadro della velocità al tempo t=2s vale: Il modulo quadro dell’accelerazione a t=2s vale: I versori sono: Abbiamo ambiguità sul segno giusto Tuttavia l’angolo è trovato. Per ricavare l’angolo fra accelerazione e velocità al tempo t=2s possiamo considerare il prodotto scalare e il prodotto vettore fra i due versori che ci forniscono rispettivamente cos θ e sin θ.

19. Svolgimento Anche se l’angolo è stato trovato, ricaviamo il seno dal prodotto vettore: Verificare se calcolavo avrei ottenuto la prima soluzione col segno cambiato. In questo caso possiamo dare l’angolo che formano i due vettori in modulo, per tanto è:

20. Integrali Come nel caso precedente possiamo definire l’integrale delle componenti di un vettore Costante adittiva che possiamo ricavare dalle condizioni iniziali

21. Esercizio * • Un punto si muove su una traiettoria rettilinea, con accelerazione costante • a=2m/s2, partendo da fermo. Calcolare: • Qual è la velocità del punto dopo 5s • Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo da 0s a 5s Il punto parte da fermo quindi v(0)=0 NOTA: Il moto è unidimensionale e in questo caso non è necessario mettere la freccia sopra ai vettori. Nel nostro caso a(t) è una costante e l’espressione precedente diventa: Per calcolare la velocità media ricordo che il valore medio di una funzione in un intervallo (a,b) è dato da: * L’esercizio è tratto da: C. Mencuccini, V. Silvestrini “Fisica I”

22. Svolgimento Il calcolo del valore medio è: Domanda: sapendo inoltre che il punto partiva nella posizione s(0)=0m a che Distanza dall’origine si trova per t=4s? Domanda: se il punto fosse partito con velocità iniziale pari a 1m/s quale sarebbe il valore medio della velocità nell’intervallo tra 2s e 5s ?