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Corso di Fisica I vettori in Fisica. Prof. Massimo Masera Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012 dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. La lezione di oggi. Scalari
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Corso di Fisica I vettori in Fisica Prof. Massimo Masera Corso di Laurea in Chimica e TecnologiaFarmaceutiche Anno Accademico 2011-2012 dallelezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia
La lezione di oggi • Scalari • Vettori • Operazionitravettori
Scalari • Cisonodellegrandezzefisichechepossonoessererappresentate con un numero, espresso in un’opportunaunità di misura. Si tratta di grandezzescalari. • Uno scalarepuòavere segno positivo o negativo • Esempi: • Il volume di un oggetto. • Volume di un dado: 3.7 cm3 • Volume del liquido in unasiringa: 10 ml • La temperatura in una stanza: T=20 oC • La potenza di unalampadina: P=20 W
Scusi, sa dov’èla biblioteca ? • Sì • Sì, a 0.5 km • Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest
Vettori • Un vettore è una grandezza matematica definita da modulo, direzione e verso • Come lo scalare, rappresenta unagrandezza fisica con la sua unità di misura • Esempi di grandezze vettoriali: • Velocità • Accelerazione • Si indica con v o • Il modulo si indica con v o
Direzione: verticale
Verso: Nord
N E W S Esercizio Indicare modulo, direzione e verso del vettore indicato in figura. La velocità del vento è pari a v = 25 km/h Soluzionemodulo: 25 km/hdirezione: orizzontaleverso: OVEST
Vertice Un vettore Origine (o punto di applicazione)
Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: verticale Verso: dal basso verso l’alto Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: orizzontale Verso: da sinistra a destra I versori
Versori coordinati z Terna destrorsa y x y Terna sinistrorsa z x
3A = A+A+A = 3 x A -3A = (-3) x A Prodotto di un vettore per uno scalare • Vettore × Scalare • = • Vettore con: • uguale direzione • verso: uguale o opposto (dipende dal segno dello scalare) • modulo pari al prodotto dei moduli
rx PROIEZIONE di rsull’asse x ry PROIEZIONE di r sull’asse y Componenti
Vettore posizione nello spazio Vettore posizione: • Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispettoall’origine di un sistema di riferimento.. • Vedremochevelocità e accelerazionepossonoessereespresse a partire dal vettoreposizione
Esempio 1 Determinare le componenti di un vettore con modulo 3.5 m e direzione 66° Dunque il vettore si può esprimere come:
Esempio 2 Determinare modulo e direzione di un vettore con componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m Il modulo del vettore sarà: L’angolo qsi ottiene da:
N E W S Esercizio Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km, come mostrato in figura (a = 30°). Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est. A Snord S a O Sest
N E W S Esercizio S = Sest + Snord |S| Soluzione = spostamento dello stormo = 30 km O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette. A Snord= Ssin a= 26 km Snord Sest= Scos a= 15 km S a O Sest
Esercizio n. 38, pag. M88 Walker Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ? Soluzione S’imposta il sistema: da cui si ricava e infine s y q
Nota sul piano inclinato… Piramide = piano inclinato Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra). Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato. Gli Egizi e le piramidi P q
Convenzioni 2o quadrante 1o quadrante Verso antiorario partendo dall’asse x 3o quadrante 4o quadrante
Somma di vettori Un vettore è definito da MODULO, DIREZIONE, VERSO indipendentemente dalla sua posizione
La somma tra vettori è indipendente dall’ordine con il quale i vettori vengono sommati
Esempio di somma di vettori Un aereo vola da Bari a Roma AB = 388 km quindi l’aereo vola da Roma a Milano BC = 472 km Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano AC = 740 km MILANO vettore risultante uguale somma vettori ma Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli delle componenti* C BARI B ROMA A (*) AB+BC=(388+472)km=860 km
a/2 a/2 Esercizio Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale. Sapendo che: a = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N Determinare la forza necessaria per trainare la barca.
a/2 a/2 Esempio di somma di vettori: Soluzione: a = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB OH = OA cos (a/2) = OB cos (a/2) = 500 N forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’ A O H O’ B
L’opposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto
Una importante convenzione Useremo sempre la convenzione • Primo indice (a): origine del vettore • Secondo indice (b): vertice del vettore
A q B Prodotto scalare • Il risultato è uno scalare • Vale la proprietà commutativa • Si chiama anche prodotto interno • Corollari:
Prodottoscalare • Se, in coordinate cartesiane, due vettorihannocomponenti: • Il prodottoscalare vale: • Quindi:
A q B Prodotto vettoriale Oppure, con altranotazione • Il risultato è un vettore con: • Modulo = A B senq • Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B • Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo) • Vale la proprietà anticommutativa • Si chiama anche prodotto esterno
Regola della mano destra • Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90o l’uno rispetto all’altro • L’indice indica il verso del vettore A • Il medio indica il verso del vettore B • Il pollice indica il verso del vettore C • Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: • Il pollice indica il verso del vettore A • L’indice indica il verso del vettore B • Il medio indica il verso del vettore C Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare l’ordine dei vettori
Prodotto vettoriale / 2 In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:
Versori coordinati z Terna destrorsa y x y Terna sinistrorsa z x In una terna destrorsa si ha sempre: