Cours du 20 septembre

1. Cours du 20 septembre Exceptionnellement, le cours prévu pour le mercredi 20 septembre se donnera Mardi le 19 septembre de 13h30 à 15h20 à la salle 1112 du Pavillon Adrien-Pouliot

2. 1. Notions de base Systèmes d’équations linéaires. • Opérations sur les lignes: • remplacement • échanges • multiplication d’une ligne par une constante

3. Des systèmes « équivalents en ligne » ont la même solution. • Système linéaire: • Est-il compatible, i.e. a-t-il au moins une solution? • Si oui, la solution est-elle unique?

4. Formes échelon et échelon réduit (p. 14) Une matrice est en forme échelon si elle a les trois propriétés suivantes: 1. Toutes les lignes non nulles sont au dessus des lignes nulles. 2. Chaque premier élément non nul d’une ligne est dans une colonne qui est à la droite du premier élément non nul de la ligne juste au dessus. 3. Tous les éléments dans une colonne sous un premier élément non nul sont nuls.

5. Formes échelon et échelon réduit (p. 14) Si une matrice en forme échelon satisfait les conditions suivantes, elle est alors dite en forme échelon réduit. 4. Le premier élément non nul de chaque ligne non nulle est 1. 5. Chaque 1 qui est le premier élément non nul d’une ligne est le seul élément non nul de sa colonne.

6. Échelon Échelon Échelon X

7. Échelon Échelon réduit réduit Échelon X

8. Échelon Échelon X Échelon

9. Échelon Échelon réduit X Échelon réduit

10. Échelon réduit Échelon X

11. X Échelon X

12. Position pivot et colonne pivot (p. 15) Une position pivot d’une matrice A est la position de l’élément dans A qui correspond à un premier élément non nul dans une forme échelon de A. Une colonne pivotest une colonne de A qui contient une position pivot.

13. Ensemble engendré par des vecteurs (p. 34) Si v1, ... , vp sont des vecteurs dans Rn, alors l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de v1, ... , vp est dénotée Span{v1, ... , vp} et est appelée le sous-ensemble de Rn engendré par v1, ... , vp. C’est-à-dire que {v1, ... , vp} est la collection de tous les vecteurs de la forme c1v1 + c2v2 + ... + cpvp avec c1, ... , cp des scalaires.

14. Ensemble de vecteurs linéairement indépendants (p. 59) Un ensemble indexé de vecteurs {v1, ... , vp} dans Rn est dit linéairement indépendant si l’équation vectorielle d1v1 + d2v2 + ... + dpvp = 0 n’admet que la solution triviale. L’ensemble {v1, ... , vp} est dit linéairement dépendant s’il existe des coefficients c1, ... , cp, non tous nuls, tels que c1v1 + c2v2 + ... + cpvp = 0

15. Transformation linéaire (p. 70) Une transformation T est linéaire si: i. T(u + v) = T(u) + T(v) pour tout u, v dans le domaine de T; ii. T(cu) = cT(u) pour tout u et tout scalaire c.

16. Exemple d’application 1 • Circuit électrique

17. Exemple d’application 2 • Transfert de chaleur

18. Exemple d’application 2 (suite) • Transfert de chaleur

19. Devoir 1 1.2.18 1.3.26 1.4.40 [M] 1.5.14 1.6.42 [M] 1.6.44 [M] 1.9.6 [M] 1.9.10 Lire les sections 2.1, 2.2 et 2.3 du livre de Lay. Problème Matlab Écrire un script Matlab pour tracer l’équation suivante.