BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA

1. BAB 6PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA PEMBEZAAN BERANGKA TERBITAN PERTAMA TERBITAN KEDUA PENGAMIRAN BERANGKA PETUA TRAPEZIUM PETUA SIMPSON KAMIRAN ROMBERG KUADRATUR GAUSS

2. PEMBEZAAN BERANGKA • Tujuan Penggunaan: • mendptkan terbitan: • bg fungsi f(x) yg agak sukar • fungsi f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data) • Jenis Pembezaan: • Terbitan Pertama • Terbitan Kedua • Jenis Kaedah yg digunakan: • Terbitan Pertama • Rumus Beza Depan,Beza Belakang (n=2,n=3,n=5) • Rumus Beza Tengah (n=3,n=5) • Terbitan Kedua • Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)

3. TERBITAN PERTAMA • n=2 • Rumus Beza Depan • Rumus Beza Belakang

4. contoh i 0 1 2 3 x 0.5 1.0 1.5 2.0 f 0.25 1.0 2.25 4.0 Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 2 titik dan beza belakang 2 titik. Penyelesaian : Rumus beza depan 2 titik f’(x) = f(x+h) – f(x)f’(1.0) = f(1.5) – f(1.0) h 0.5

5. f’(1.0) = 2.25 – 1.0 0.5 = 2.5 Rumus beza belakang 2 titik f’(x) = f(x) – f(x-h)f’(1.0) = f(1.0) – f(0.5) h 0.5 f’(1.0) = 1.0 – 0.25 0.5 = 1.5

6. TERBITAN PERTAMA • n=3 • Rumus Beza Depan • Rumus Beza Belakang • Rumus Beza Tengah

7. contoh i 0 1 2 3 4 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 f 0 0.25 1.0 2.25 4.0 Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 3 titik dan beza belakang 3 titik. Penyelesaian : Rumus beza depan 3 titik f’(x) = 1 [-3f(x)+4f(x+h)- f(x+2h) 2h

8. f’(1.0) = 1 (-3(1.0) +4(2.25) – 4.0 2(0.5) = 2.0 Rumus beza belakang 2 titik f’(x) = 1 [3f(x)- 4f(x-h)+ f(x-2h) 2h f’(1.0) = 1 (3(1.0) -4(0.25) + 0.0) 2(0.5) = 2.0

9. TERBITAN PERTAMA • n=5 • Rumus Beza Tengah • Rumus Beza Depan

10. TERBITAN KEDUA • n=3 • Rumus Beza Tengah • n=5 • Rumus Beza Tengah

11. contoh Diberi f(x) = x3, dapatkan f’(2.0) dengan h = 0.1 menggunakan rumus beza depan 2 titik & 3 titik Penyelesaian: Buat jadual sendiri utk nilai x yg berkaitan. I 0 1 2 X 2.0 2.1 2.2 F

12. PENGAMIRAN BERANGKA (KUADRATUR) • Pengamiran tentu f(x) berbentuk • Tujuan: • mendptkan kamiran: • bg fungsi kamiran f(x) yg agak sukar • fungsi kamiran f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data)

13. Jika f(x) adalah fungsi selanjar pd selang [a,b] maka kamiran tentu mewakili luas di bawah graf y=f(x) yg dibatasi oleh paksi x, garis x=a dan garis x=b y=f(x) a b

14. Kaedah yg akan dibincangkan merupakan kaedah utk menganggarkan luas tersebut sbg penghampiran kpd • kaedah yg selalu digunakan ialah: • Kaedah Newton-Cotes. Terdiri drpd: • Petua Trapezium • Petua Simpson • Kamiran Romberg • Kuadratur Gaussan

15. Jika dlm kaedah interpolasi, f(x) dpt dihampiri dgn polinomial penghampiran Pn(x), maka dgn pengamiran tentu: dpt dihampiri olh utk sebarang sub selang di dlm selang [a,b] • Penghampiran ini menjadi hampir tepat jika ralat e=[f(x)-pn(x)] di dlm selang (xk,xk+1) cukup kecil

16. y=f(x) a b PETUA TRAPEZIUM • Rumus Petua Trapezium

17. PETUA TRAPEZIUM y=f(x) • Menggunakan penghampiran polinomial interpolasi linear p1(x) atau garis lurus terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan • Rumus Petua Trapezium gubahan dgn n sub selang a b

18. contoh 2 Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua trapezium 1 Penyelesaian: N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/4 h = 0.25 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x 1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

19. Gunakan rumus trapezium bg n sub-selang h[f0 +f4 + 2(f1+f2+f3)] 2 = 0.25 [2+ 9 + 2(2.9531+ 4.375 +6.3594) 2 = 4.7969

20. PETUA SIMPSON • Ia menggunakan penghampiran interpolasi kuadratik P2(x) (atau parabola) terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan • Rumus Petua Simpson • Rumus Petua Gubahan Simpson • Ada 2 jenis: • Gubahan satu-pertiga • Gubahan tiga-perlapan

21. Rumus Petua Gubahan Simpson satu-pertiga • Rumus Petua Gubahan Simpson tiga-perlapan N/3 (N/3)-1

22. contoh 2 Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua SIMPSON 1/3 1 Penyelesaian: N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/4 h = 0.25 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x 1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

23. Gunakan rumus SIMPSON 1/3 bg 4 sub-selang h[f0 +f3 + 4(f1)+2(f2)] 3 = 0.25 [2+ 9 + 4(2.9531+ 6.3594)+2(4.375)] 3 = 4.75

24. contoh Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=3. Gunakan petua SIMPSON 3/8 Penyelesaian: N=3, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N h = (2-1)/3= 0.333 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 x 1 1.3333 1.6667 2 f(x) 2 3.3702 5.6299 9

25. Gunakan rumus SIMPSON 3/8 bg 3 sub-selang 3h[f0 +f4 + 3(f1+f2)+] 8 = 3(0.3333) [2+ 9 + 3(3.3702+ 5.6299)+ )] 8 = 4.7496

26. KAMIRAN ROMBERG • Berdasarkan kaedah ekstrapolasi Richardson dan penggunaan Petua Trapezium sbg penghampiran awal • Penyelesaian adalah dgn mendapatkan nilai bagi Ri,1 dan seterusnya Ri,j • Susunan nilai yg dikira digambarkan seperti rajah berikut. • Kiraan ditamatkan apabila bagi suatu nilai  yang ditetapkan dan ambil sebagai penghampiran terbaik

27. Rumus Romberg bg mendptkan Ri,1: • Rumus Romberg bg mendptkan Ri,j: • Penggunaan Kamiran Romberg tidak melibatkan kiraan yg rumit tetapi hanya menggunakan nilai sebelum utk mendapatkan nilai yg baru

28. R i,1 h R i,2 R i,3 i R 1,1 1 h1 h2 2 y=f(x) a b R 2,1 R 2,2 h3 R 3,1 R3,2 R 3,3 3

29. KUADRATUR GAUSSAN • Rumus Newton-Cotes dan Kamiran Romberg diperolehi berdasarkan beza antara x yang seragam. • Tetapi penghampiran pengamiran menjadi lebih tepat jika titik sampling (x) yg bersesuaian dipilih. (beza selang mungkin tidak seragam) • Justeru itu kaedah kaudaratur gaussan memenuhi penyelesaian ini.

30. f(x2) f(x1) x2 a x1 b ilustrasi f(b) f(a) a b petua trapezium Petua gauss

31. 1 n å ò » f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 1 2 å ò » = 1f(x1) + 2f(x2) f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 Nilai  dan x bergantung kepada nilai n • Bentuk am rumus kuadratur gauss: Ketepatan nilai hampiran bergantung kpd polinomial berdarjah paling tinggi 2n-1 Jika n = 2 ( 2 titik), rumus tersebut adalah Polinomial paling tinggi berdarjah 3 dpt digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3 kita perolehi

32. f(t) = 1 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = ò 1.dt = 2 1 1 -1 -1 f(t) = t 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = ò t.dt = 0 1 1 -1 -1 f(t) = t2 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = òt2.dt = 2/3 1 1 -1 -1 f(t) = t3 1f(x1) + 2f(x2) = ò f(t).dt = òt3.dt = 0 1 1 -1 -1  1+ 2 = 2  1 x1 + 2 x2 = 0  1 x12+ 2 x22 = 2/3  1 x13+ 2 x23 = 0

33. Diperolehi 1= 2 = 1 X1 = -1/3 = -0.5774 X2 = 1/3 = 0.5774 Maka rumus kuadratur Gauss 2 titik ialah 1 ò » f ( t ) dt f ( -0.5774) + f(0.5774) ) - 1 f(1/3) f(-1/3) -1/3 -1/3 -1 0 1

34. Perhatikan, batas dalam rumus diatas ialah [-1, 1]. Jika diberi masalah dalam sebarang batas [ a, b]. Penukaran batas perlu dilakukan dari [a, b] - ][-1, 1] seperti berikut:-

35. Contoh Nilaikan ex .dx dengan menggunakan kamiran gauss 2 titik 0.3 ò 0.1 Penyelesaian: • tukarkan batas • a = 0.1, b= 0.3  x = b-a t + b+a • 2 2 •  x = (0.2/2)t + (0.4/2) •  x = 0.1 t + 0.2 • dx = ((b-a)/2) dt  0.1dt • Gantikan ke dalam persamaan • f(x) .dx  0.1 f(0.1t+0.2).dt 1 0.3 ò ò -1 0.1

36. 1 1 1 ò ò 0.1 e0.1t+0.2 .dt 0.1 f(0.1t+0.2).dt » - - 1 1 1 ò » f ( t ) dt f ( -0.5774) + f(0.5774) ) -1 0.1[e0.1(-0.5774)+0.2 + e0.1(0.5774)+0.2 ] » Guna rumus gauss 2 titik » 0.2447

37. Rumus Kuadratur Gauss 3 titik Rumus diperolehi sama seperti sebelum ini Polinomial paling tinggi berdarjah 5 (2n-1) dpt digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3,t4, t5 kita perolehi 1 3 å ò » = 1f(x1) + 2f(x2) + 3f(x3) f ( t ) dt  f ( x ) i i = 1 i - 1 1= 3= 5/9 = 0.5556 , 2 = 8/9= 0.8889 -x1 = x3 = 3/5 = 0.7746 , x2 = 0