1 / 22

Parallelle Algoritmen

Parallelle Algoritmen. String matching. Beter algoritme patroonanalyse. Bottleneck in eenvoudig algoritme: WITNESS(j) (j = kandidaat in eerste i-blok) berekenen m.b.v. brute force algoritme Kijkt voor elke k in 1..m-i+1 of dat een geldige WITNESS(j) kan zijn -> O(m) operaties

blaise
Download Presentation

Parallelle Algoritmen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Parallelle Algoritmen String matching

  2. Beter algoritme patroonanalyse • Bottleneck in eenvoudig algoritme: WITNESS(j) (j = kandidaat in eerste i-blok) berekenen m.b.v. brute force algoritme • Kijkt voor elke k in 1..m-i+1 of dat een geldige WITNESS(j) kan zijn -> O(m) operaties • Proberen werk te verminderen

  3. Beter algoritme patroonanalyse (2) • Input: een patroon P(1:m) met m = 2s • Output: de WITNESS(1:r) array met r = min(p,2s-1) en p de periode van P

  4. Beter algoritme patroonanalyse (3) • for 1 ≤ i ≤ m/2 pardo WITNESS(i) := 0 • for i = 1 to s - 1 do • j := kandidaat in eerste i-blok, bereken WITNESS(j) via brute force met prefix P(1:2i+1). Als WITNESS(j) != 0, ga verder zoals in vorig algoritme voor deze iteratie, anders is p := j-1 de periode van van P(1:2i+1) • zoek grootste a ≥ i + 1 zodat p een periode is van P(1:2a). Als a = log(m), p is de periode van het hele patroon -> klaar • gebruik lemma (zie verder) om alle WITNESS(l) met p ≤ l ≤ 2a-1 te bepalen en gebruik duels voor een aantal eliminaties bij de rest

  5. Beter algoritme patroonanalyse (4) • Lemma Als: • p periode van P(1:2a) maar niet van P(1:2a+1) • waarden WITNESS(t) voor 2 ≤ t ≤ p beschikbaar en WITNESS(t) ≤ r < 2a Dan: Voor elke k met p < k ≤ 2a geldt: • als k ≠ 1 mod p en k ≤ 2a - r, dan geldt WITNESS(k) = WITNESS(k mod p) • als k = 1 mod p, stel dan w = kleinste index waarvoor P(w) ≠ P(p+w), dan geldt WITNESS(k) = p + w - k + 1

  6. Beter algoritme patroonanalyse (5) Complexiteit: • WITNESS array initializeren: • tijd: O(1) • werk: O(m/2) = O(m) • WITNESS waarden berekenen: • WITNESS(kand. eerste i-blok) berekenen: • tijd: O(1) • werk: O(2i)

  7. Beter algoritme patroonanalyse (6) Complexiteit (vervolg) • WITNESS waarden berekenen: • Als P(1:2i+1) niet periodiek, duels uitvoeren: • tijd: O(1) • werk: O(m/2i) • Als P(1:2i+1) wel periodiek met periode p: • kijken tot waar periode zich uitstrekt (stel tot P(1:2a)): • tijd: (a-i) * O(1) = O(a-i) • werk: = O(2a)

  8. Beter algoritme patroonanalyse (7) Complexiteit (vervolg) • WITNESS waarden berekenen: • WITNESS(j) met 2 ≤ j ≤ 2a-1 bepalen (lemma): • tijd: O(1) • werk: 2a-1 * O(1) = O(2a-1) • duels uitvoeren onder overige elementen: • tijd: (a-i) * O(1) = O(a-i) • werk: (2a-i) * O(m/2a) = O(m/2i)

  9. Beter algoritme patroonanalyse (8) Complexiteit (vervolg) Totaal om van iteratie Totaal: naar iteratie a te gaan: • tijd: O(a-i) O(log m) • werk: O(m/2i + 2a) O(m) PRAM model: CRCW PRAM

  10. Suffix bomen • een digitale zoekboom T is een gewortelde boom met m bladen zodat • elke tak is gelabeld met een element van ∑ en is gericht weg van de wortel • geen twee takken hebben hetzelfde label • elk pad van de wortel naar een blad identificeert een Yi

  11. Suffix bomen • een suffix boom TX is een suffix boom geassocieerd met een string X: analoog als zoekboom, maar elke tak is gelabeld met een substring van X i.p.v. een enkel teken -> compacte versie van een zoekboom

  12. Suffix bomen (2) • Algoritme om suffix boom TX voor string X op te stellen (“vaag”): • input: X# := string X met lengte 2q = m en aangevuld met m-1 sentinels/terminators • output: suffix boom TX • Maak boom T0 = boom met wortel en m takken die de prefixen met lengte m beginnend op positie 1, .., m als label hebben

  13. Suffix bomen (3) • for i = q-1 downto 1 do for alle toppen v van de boom Tq-ipardo if (v heeft meerder takken met label met hetzelfde prefix van lengte 2i) then begin splits deze takken in prefix en rest merge prefixen tot 1 tak maak resten kinderen van nieuwe tak end verwijder toppen waaruit maar 1 boog vertrekt Tq-i+1 := resultaat

  14. Suffix bomen (4) • hoe snel kijken of twee prefixen gelijk zijn? • gelijke prefixen met lengte 2i zelfde ID geven (een getal) • def: Descriptor U (met U substring van X) = koppel (i,|U|), wil zeggen dat substring van X beginnend op positie i met lengte |U| gelijk is aan U • alfabet ∑ hernummeren op basis van input string (via sortering en ranking)

  15. Suffix bomen (5) • def: Array ID[1..|X|,0..log(|X|)] • rijnummer: startpositie substring • kolomnummer: log(len(substring)) • waarde op ID[i,j] = unieke identifier (getal) voor substring U beginnend op positie i met lengte 2j

  16. Suffix bomen (6) Opstellen ID array: • input: string X# met |X|= n = 2k en laatste teken X = # (# komt nergens anders voor in X), elke X(i) is getal tussen 1 en n • output: eerder beschreven ID array • gebruikt hulp-array BB[1..n,1..n+1]

  17. Suffix bomen (7) • for 1 ≤ i ≤ n pardo ID[i,0] := X(i) • for q = 1 to log(n) do for 1 ≤ i ≤ n pardo • k1 := ID[i,q-1], k2 := ID[i+2q-1,q-1] • BB[k1,k2] := i • ID[i,q] := BB[k1,k2] Opmerking: wanneer in stap 2.1 de waardei+2q-1 > n, stel dan k := n+1 • tijd: O(log(n)) werk: O(n*log(n))

  18. Suffix bomen (8) • ID[i,j] = k wil zeggen dat substring met descriptor (i,2j) dezelfde is als die met descriptor (k,2j) (door constructie) • structuur suffix boom: elke top v heeft • een array OUTv(1..n) met OUTv(j) = u voor elke top u die verbonden is met v en j het ID van het label (= een substring) horende bij de boog (v,u) • link naar ouder p(v) • descriptor van de substring horend bij link (p(v),v)

  19. Suffix bomen (9) Implementatie algoritme: • kijken welke takken (v,uk) van top v een label met hetzelfde prefix van lengte 2i-1 hebben: • input: OUTv(j) = uk, top uk bevat descriptor van label van boog (v,uk) = (sk,lk) • output: jID dat prefix van uk met lengte 2i-1 uniek aanduidt • stel jID = ID[sk,i-1] Dit moet gebeuren voor alle toppen v, dus: • tijd: O(1) • werk: O(n)

  20. Suffix bomen (10) • maak nieuwe boog die ouder zal zijn van alle bogen met zelfde prefix met lengte 2i-1 • stel OUTv(jID) := uk • if meerdere uk’s eenzelfde jID hebben en elkaar dus zouden overschrijven then maak nieuwe top v’ met p(v’) = v, descriptor (jID,2i-1) stel OUTv’(ID[sk+2i-1,i-1]) = uk stel OUTv(jID) := v’ stel descriptor uk in op (sk+2i-1,lk-2i-1) Moet weer gebeuren voor alle kinderen -> • tijd: O(1) werk: O(n)

  21. Suffix bomen (11) • verwijderen toppen waaruit maar 1 boog vertrekt • if v na de vorige stap slechts 1 kind heeft then set w := p(v) maak nieuwe top v’ met p(v’) = w, descriptor (sv,lv+2i-1) OUTw(ID[sv,i-1]) := v’ Moet gecontroleerd (en mogelijk uitgevoerd) worden voor alle v’s -> • tijd: O(1) werk: O(n)

  22. Suffix bomen (12) • Oorspronkelijk algoritme voert vorige stappen uit in lus die log(n) maal wordt uitgevoerd. Dus: • tijd: log(n) * O(1) = O(log(n)) • werk: log(n) * O(n) = O(n*log(n))

More Related