L’Ingénierie didactique des mathématiques

1. L’Ingénierie didactique des mathématiques

2. L’Ingénierie didactique des mathématiques Rationnels et des décimaux dans la scolarité obligatoireNadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-février 2006 Université Victor Segalen Bordeaux 2

3. Programme du cycle • Une introduction à l’ingénierie didactique • L’ingénierie du schéma général du curriculum et des processus • L’ingénierie des situations a-didactiques, en particulier les situations fondamentales • L’ingénierie des situations didactiques en particulier «intermédiaires» • L’ingénierie de la conduite des situations d’enseignement

4. I. Une introduction à l’ingénierie didactique

5. Essai de « définition » • « L’ingénierie didactique est l’étude d’un projet d’enseignement sous ses aspects didactiques, techniques, économiques, financiers et sociaux… • et qui nécessite un travail de synthèse coordonnant des travaux de diverses équipes de spécialistes ».

6. The concept of didactic engineering entered the didactics of mathematics in the early 1980s. The aim was to use this term to label a form of didactic work: we may compare the work of an engineer who, in order to carry out a particular project, draws support from scientific knowledge in the domain, accepts scientific verification, but at the same time, has to work on objects which are far more complex than the simplified objects of the science. Engineers must therefore treat in a practical way, with ail the means at their disposal, problems which science does not wish to or is not able to tackle • Michèle Artigue 1992

7. L’ingénierie didactique consiste au sens strict … • en la conceptionet en la réalisation de tout ou partie de curriculums : une suite de leçons, une leçon, un assortiment d’exercices, un manuel, un programme informatique etc. • cette conception est accompagnée de l’étude des diverses possibilités entre lesquelles il est fait un choix, et de l’explicitation des raisons de ces choix (techniques, scientifiques, et autres).

8. Et en un sens plus large… • Mais en un sens plus large, on peut y admettre la simple production d’un curriculum – sans ses justifications précises – • et, par conséquent aussi sa conduite, … dans la mesure ou tout curriculum laisse nécessairement un certain champ de décisions didactiques à l’enseignant qui l’utilise

9. Les techniques spécifiques à ce genre de travaux sont adaptées de nombreuses disciplines dont la psychologie, l’épistémologie, la sociologie, la pédagogie etc. sous le contrôle de la didactique des mathématiques • Dans le cas des mathématiques les plus importants moyens sont de nature mathématique

10. On peut y intégrer les recherches technologiques : des problèmes techniques, identifiés précisément, font l’objet d’études théoriques ou expérimentales, directement liées aux conditions de projets d’enseignement déterminés. • Certaines de ces recherches ont conduit à résoudre des questions scientifiques plus générales, par exemple l’analyse implicative des données statistiques

11. On peut distinguer • l’ingénierie de production et de développement qui vise uniquement à réaliser un enseignement … et • L’ingénierie phénoménotechnique qui a pour objet de permettre l’étude empirique de phénomènes didactiques, dans des circonstances compatibles avec l’éthique de l’enseignement Exemple : les rationnels et les décimaux tels qu’ils ont été enseignés pendant près de 20 ans à l’école Michelet de Talence n’étaient pas destinés au développement

12. L’ingénierie didactique est : • l’indispensable instrument de confrontation de la science didactique avec la contingence • L’instrument et l’objet des observations • le moyen de mise en œuvre et de diffusion de ses résultats vers les enseignants et le public Par là elle est le cœur de la didactique

13. II. L’ingénierie du schéma général du curriculum et des processus

14. Continuité et ruptures • …de la didactique actuelle avec la didactique classique • 0. Coménius et la méthodologie classique • 1. Interrogation première de la discipline • 2. Réexamen de tout apport « extérieur » • 3. La méthode : modélisation • 4. Exigences scientifiques • 5. Acceptation d’un saut de complexité et de moyens

15. Principes et méthodes de la théorie des situations didactiques • Définition des connaissances par les situations, (« les cognitrons ») • Méthodes inductives et constructives • Universalité des principes ; • le COREM, « didactotron »

16. Les étapes de l’ingénierie didactique: • Les niveaux • Étude mathématique, • situations fondamentales, • canevas du processus, • l’institutionnalisation • situations intermédiaires, • et la familiarisation. • Les réajustements des niveaux

17. Les techniques d’ordonnancement • Principes : • Décomposer, regrouper, économiser ordonner • Le labyrinthe des connaissances, • et des savoirs • de leurs formes • et de leurs dépendances logiques • et temporelles

18. Les formes de connaissances Connaissances implicites • La connaissance implicite d’un milieu. • La connaissance implicite d’une situation caractéristique d’une connaissance • La connaissance, même implicite mais régulière, d’une solution dans une situation donnée : modèle implicite d’action, théorème en acte, schème. • Exemple : la connaissance des trajets dans une grande ville.

19. Connaissances explicites • reconnaissance explicite d’une situation-solution. possibilité de formuler et de décrire tous les éléments de la connaissance de type 3 ci-dessus. algorithmes • La connaissance « raisonnée » d’une connaissance solution appuyée sur un répertoire de justifications, • Le savoir « scolaire officiel » répertoire de référence

20. Les dépendances ente éléments • Entre connaissances • Entre connaissances et situations • Entre situations • L’analyse et la combinaison de ces dépendances, a priori et a posteriori est l’instrument de l’ingénierie et de l’observation scientifique de la didactique

22. Une partie de la matrice des dépendances statistiques entre les résultats des leçons d’un curriculum pour le C.P.

24. Exemple :III. l’expérience sur les rationnels et les décimaux 65 leçons : 6 a-didactiques fondamentales, 59, mixtes intermédiaires

25. Le canevas d’ensemble • Fractions et rationnels • Trois fonctions de ces nombres • Mesures • Fonctions • Rapport • Grandes parties: • Construction mathématique, utilisations, institutionnalisation, algèbre

26. a. Commensuration • L’épaisseur des feuilles de papier, situation fondamentale des mesures • Ces choses sont-elles des nombres? • Comparaisons, Opérations • différentes grandeurs • Unités secondaires

27. b. Rationnels décimaux • Rationnels et décimaux • Localiser des nombres, 2ième situation fondamentale • La dialectique des rationnels et des décimaux • L’écriture • et la division (rationnels non décimaux)

28. c. Applications linéaires • 3ième Situation fondamentale: l’agrandissement du puzzle • La multiplication et la dénomination des fonctions • L’identification avec les décimaux

29. d. applications • formes et fonctions des R&D dans leurs applications : • pourcentages, • échelles, • taux…

30. e. Les rationnels unifiés • La composition des applications • rationnels mathématiques f. L’algébrisation des rationnels • Structure et propriétés • Proportions et équations

31. IV. Quelques observations

32. Les procédés didactiques classiques multiplient les situations d’apprentissage et remplissent tout le temps disponible avec n’importe quel programme de connaissances, aussi petit soit-il • L’ingénierie didactique a pour objet de limiter cette prolifération sans diminuer les résultats… donc • Les curriculums doivent être comparées d’après le temps qu’ils nécessitent, à taux de réussite constant.

33. Très peu d’apprentissages « naturels » suivent des voies conformes aux méthodes « basiques » traditionnelle. • C’est un argument insuffisant pour les rejeter tant qu’on n’en connaît pas de meilleures • En fait la construction d’un curriculum ressemble plus à la composition d’une fugue ou d’une sonate qu’à celle d’un logiciel d’ordinateur

34. Les mêmes principes d’ingénierie peuvent aboutir à des curriculums de structures très différentes suivant le sujet mathématiques: • Les conceptions de « R&D » (très axiomatique) et de l’enseignement des statistiques et des probabilités (très épistémologique) sont contemporaines : 1973-74

35. V. Exemple d’une situation a-didactique L’agrandissement du Puzzle

36. Une situation mathématique Proportionnalité ou agrandissement linéaire? (élèves de 9 à 11 ans)

37. S. apprenti milieu S. actant milieu Situation mathématique Connaissance Mathématique Activité Mathématique L’apprentissage est une réorganisation, consciente ou non, des moyens d’actiondu sujet

38. L’agrandissement du puzzle L’enseignant : « Vous devez découper un puzzle pour l’école maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction” Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ». Vous les assemblerez après

39. 6 5 2 7 2 6 5 7 9 7 4 2 5 A Figure 1

40. Première idée • 2  2 + 3 = 5 • 4  4 + 3 = 7 • 6  6 + 3 = 9 • Et ce qui en résulte…

41. A B C F E D Résultat Figure 2

42. Autres idées • 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21 (la proportionnalité, comme unique modèle familier, mais empirique, sans justification) • 4 --> 2 x 4 – 1 = 7 • 6 --> 2 x 6 – 1 = 11 • 2 --> 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisant Comme aussi des découpages « à l’œil »

43. a c b Figure 3a

44. A a Figure 3b

45. b B Figure 3c

46. c C Figure 3d

47. a c b Figure 3e

48. A C B Figure 3f

49. Pourquoi ? • 2  2 + 3 = 5 • + 4  4 + 3 = 7 + • 6  6 + 3 = 9 • 2 + 4 = 6 mais 5 + 7  9 !!

50. Figure 4 Modèle La somme des images doit être l’image de lasomme ! Image