Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

1. Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

2. Inhoud • Inleiding • Overzicht • Klassiekemechanica • Galileo, Newton • Lagrange formalisme • Quantumfenomenen • Neutronensterren • Wiskunde I • Tensoren • Specialerelativiteitstheorie • Minkowski • Ruimtetijddiagrammen • Wiskunde II • Algemene coordinaten • Covariante afgeleide • Algemene relativiteitstheorie • Einsteinvergelijkingen • Newton als limiet • Kosmologie • Friedmann • Inflatie • Gravitatiestraling • Theorie • Experiment Jo van den Brand

3. Einstein 1921 Relatieve beweging Einstein 1905: Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen. De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde. Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen krachten op werken (Newton’s eerste wet). Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem.

4. Ruimtetijd van de ART Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuum Onafhankelijk van bewegingstoestand van de bron golflengte intensiteit polarisatie van EM golven ct deeltje in rust deeltje met willekeurige snelheid deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid deeltje met lichtsnelheid 45o x

5. Minkowskiruimte – dopplerfactor Waarnemers A en B hebben geijkte standaardklokken en lampjes ct t = tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A waarnemer A t’= tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B waarnemer B met dopplerfactor k 45o x

6. Minkowskiruimte – dopplerfactor Vanuit punt P bewegen waarnemers A en B ten opzichte van elkaar (constante snelheid v van B tov A) waarnemer A R Lampje van A flitst na tijd t gemeten met de klok van A (in E) B ziet de flits van A na tijd kt (in Q) waarnemer B B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat in R, op tijd Afstand van Q tot A: (vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2 Q M M is gelijktijdig met Q als E P

7. waarnemer Minkowskiruimte – inproduct O We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q Q P Definitie: Afspraak: tijden voor P negatief tijden na P positief E Dankzij het bestaan van eenmetriek (inproduct) kunnen we nu afstandenbepalen. Ruimtetijdheefteenmetriek P Q Q Q Q Q P P P P P en Q gelijktijdig als

8. Lorentzinvariantie Minkowski-metriek Dat wil zeggen is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P Definitie: Waarnemer A Met afspraak over het teken! Waarnemer B A2 Volgens A: B2 Volgens B: Er geldt Q P A1 Scalair product is Lorentzinvariant B1

9. Lorentzcoördinaten Definieer basisvector Waarnemer A (inertieel) Er geldt E is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A) E Dat is de 3-dim euclidische ruimte op t.o.v. A Et is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met t O Er geldt Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O Er geldt en En ook

10. Minkowski meetkunde Basisvectoren met We hebben gevonden dat Nieuw symbool Inverse Minkowskimetriek Het invariante lijnelement Notatie bevat metriek en coordinaten Voor cartesische coordinaten Lijnelement uitschrijven Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen Dan geldt

11. Tijddilatatie Het invariante lijnelement Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats Waarnemer W2: meet tijdverschil We vinden met lorentzfactor Snelheid tussen waarnemers Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd

12. Lorentzcontractie Het invariante lijnelement Kies x-as als bewegingsrichting Er geldt O’ beweegt t.o.v. lat O staat stil t.o.v. lat Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt en ) We vinden Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’) op verschillende tijden, gescheiden door We hebben te maken met tijddilatatie Invullen levert

13. Lorentztransformaties Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement Welke transformaties laten dit element invariant? Translaties Rotaties, bijvoorbeeld Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen) Schrijf Invullen levert We vinden Rotatie rond de z-as Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as

14. Lorentztransformaties Welke transformaties laten dit element invariant? Boost, bijvoorbeeld Dit is een boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen) Schrijf Invullen levert We vinden Boost langs de z-as Evenzo voor boosts langs de x- en y-as Wat is die hyperbolische hoek ?

15. Rapidity We hadden Neem differentiaalvorm, kies en schrijf Kwadrateren, delen door en vergelijken met tijddilatatie Dat is een kwadratische vergelijking in Maniluleer Gebruik de abc-formule Ook geldt

16. Lorentz 1902 Lorentztransformaties Transformaties laten ds2 invariant Waarnemers in S en S’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen samen op t = t’ = 0. Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event. Waarnemer in S’ kent (x’,y ’, z’, t’) toe aan hetzelfde event. Wat is het verband tussen de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?

17. Lorentztransformatie Inverse transformatie (snelheid v verandert van teken) Lorentztransformaties

18. Invullen levert Relativiteit van gelijktijdigheid Stel dat in systeem S twee events, A en B, op dezelfde tijd, tA = tB, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, xAxB. Events vinden niet simultaan plaats in systeem S’

19. Lorentzcontractie (lengtekrimp) Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust, langs de x' as. Een einde op x'= 0, het andere op x'=L'. Wat is de lengte L gemeten in S? We moeten dan de posities van de uiteinden meten op dezelfde tijd, zeg op t = 0. Het linker einde bevindt zich dan op x = 0. Het rechter einde op positie x = L' / . Langs bewegingsrichting! Een bewegend object wordt korter met een factor  in vergelijking tot zijn lengte in rust.

20. Tijddilatatie (tijdrek) Een bewegende klok loopt langzamer met een factor  in vergelijking tot toestand in rust. Deeltjes hebben `ingebouwde’ klokken (verval).

21. Een kwestie van afgeleiden nemen … Het klassieke antwoord Optellen van snelheden Een raket is in rust in inertiaalsysteem S' dat met snelheid v beweegt t.o.v. S. Iemand vuurt een kogel af in systeem S' met snelheid ux' in S'. Wat is de snelheid van de kogel in S ? Als ux'= c, dan u = c en lichtsnelheid gelijk voor alle systemen!!!

22. Viervectoren Positie-tijd viervector xm, met m = 0, 1, 2, 3 Lorentztransformaties Jo van den Brand

23. Lorentztransformaties In matrixvorm met Viervectoren algemeen geldig Jo van den Brand

24. Ruimtetijd coordinaten zijn systeem afhankelijk Invariantie voor Analoog zoeken we een uitdrukking als Met metrische tensor Lorentzinvariantie Net als r2 voor rotaties in R3 Hiervoor schrijven we de invariant I als een dubbelsom Jo van den Brand

25. Contravariante viervector Covariante viervector Invariant Co- en contravariante vectoren Dit is de uitdrukking die we zochten. De metriek is nu ingebouwd in de notatie! Deze notatie wordt ook gebruikt voor niet-cartesische systemen en gekromde ruimten (Algemene Relativiteitstheorie)

26. We associeren hiermee een covariante viervector Ook geldt Invariant Scalar product Er geldt Viervectoren Viervector am(contravariant) transformeert als xm Ruimte componenten krijgen een minteken Jo van den Brand

27. viersnelheid Er geldt Snelheid Snelheid van een deeltje t.o.v. het LAB: afstand gedeeld door tijd (beide gemeten in het LAB) Proper snelheid: afstand in LAB gedeeld door eigentijd (gemeten met klok van het deeltje) Een hybride grootheid. Er geldt Jo van den Brand

28. Impuls en energie Klassieke impuls p = mv Indien behouden in S dan niet in S' Definieer relativistische impuls als Ruimtelijke componenten Tijdachtige component Definieer relatv. energie Energie-impuls viervector

29. Rustenergie van deeltje Klassieke kinetische energie Relativistische kinetische energie Massaloze deeltjes (snelheid altijd c) Energie Taylor expansie levert Merk op dat enkel veranderingen in energie relevant zijn in de klassieke mechanica! Jo van den Brand

30. Botsingen Energie en impuls: behouden grootheden! Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn! Massa m is geen behouden grootheid! Massa is Lorentzinvariant Jo van den Brand

31. eindtoestand Energiebehoud Impulsbehoud Er geldt Voorbeeld 1 Massa’s klonteren samen tot 1 object begintoestand Na botsing is object in rust! Energiebehoud levert Na botsing hebben we een object met massa M = 5m/2. Massa is toegenomen: kinetische energie is omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.

32. begintoestand Energiebehoud Voorbeeld 2 Deeltje vervalt in 2 gelijke delen eindtoestand Heeft enkel betekenis als M > 2m (zie vorige opgave) Men noemt M = 2m de drempelenergie voor het verval. Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie negatief. Bindingsenergie maakt net als alle andere interne energieën deel uit van de rustmassa. Jo van den Brand

33. Voorbeeld 3 Verval van een negatief pion (in rust): p-  + m- Vraag: snelheid van het muon Relatie tussen energie en impuls Dit levert Massa van neutrino is verwaarloosbaar! Energiebehoud Jo van den Brand

34. Voorbeeld 3 – vervolg Gebruik Relatie tussen energie, impuls en snelheid Snelheid van het muon Invullen van de massa’s levert vm = 0.271c

35. en Voorbeeld 3 – viervectoren Energie en impulsbehoud Kwadrateren levert Merk op dat We vinden Em Evenzo Er geldt Hiermee hebben we weer Em en p gevonden en weten we de snelheid.

36. Einsteinssommatieconventie • Vector en 1-vorm geveneen scalar • Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijkkrijgen we eengetal • Problemen Vrije indices horen overeen te komen Nu tel je appels en peren op Links een 1-vorm, rechts een scalar Sommatie index maar 1x gebruiken Verschillende objecten Gradient is een 1-vorm

37. Euclidische ruimte • Vlakkeruimte met afstandtussenpuntenals invariant • Pythagoras Evenzo in 3 dimensies Stel we hebben vectorcomponenten Wat is dan de 1-vorm componenten ?

38. Minkowskiruimte • Lichtgedraagtzichonafhankelijk van de waarnemer • Golffrontenzijnbehoudenvoorbewegendewaarnemers • Beschouwbolgolvenvanuit de oorsprong We hebben nu ruimtetijd en weer een invariant (een scalar). Trouwens, elke is een scalar en dus invariant!

39. Minkowskiruimte • Metrische tensor • Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de specialerelativiteitstheorie Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx Stel we hebben vectorcomponenten Wat zijn dan de 1-vorm componenten ? Wat is de lengte van ? Kan positief, nul of negatief zijn! Metriek heeft signatuur 2: een pseudo-riemannse variëteit

40. Minkowskiruimte ct C C’ • Ruimtetijdgeometrie B’ A B Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten? A’ |AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4 x Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC? Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C Tweelingparadox Idem voor driehoek A’B’C’ |A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6 Pad is A’B’C’ met lengte 0.

41. Tweelingparadox ct Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug. Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50. Hoe oud is Jones? C=(20,0) B=(10,8) S J A=(0,0) x

42. Euclidisch versus minkowskiruimte • Afstands2tussenoorsprongO en P Euclidisch Minkowski ct y x x

43. Minkowskiruimte • Bewegendewaarnemers Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = bx. Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0. Dan volgt x=g. Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/b. Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0. Dan volgt ct=g.

44. Minkowskiruimte: causale structuur tijdachtig: ds2 negatief lichtachtig: ds2 = 0 toekomst ruimteachtig: ds2 positief P Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P. Er buiten kan geen causaal verband bestaan. verleden

45. Groeptheorie Groep G We onderscheiden Eindige (of discrete) groep Kleinste groep (triviale groep) met n = 1 heeft enkel element g = 1 G met oneindig aantal elementen gespecificeerd door N parameters: Compacte groep G: parameters zijn eindig Lie groep G: de afgeleiden naar parameters bestaan Definitie: het identiteits-element is de oorsprong van parameterruimte Definitie: de generatoren spannen vectorruimte op Vectorproduct levert element Structuurconstante(n)

46. Lorentzgroep Lorentztransformatie in matrixvorm Invariantie scalair product In matrixnotatie Er geldt Unieke inverse bestaat Achtereenvolgende transformaties leveren ook weer een element De groep is niet-Abels Elementen (de transformaties) vormen de Lorentzgroep De metriek behandelt de 3 ruimtelijke dimensies anders de 1 tijddimensie 4 x 4 reele matrices hebben 16 reele parameters Er zijn echter 10 relaties vanwege Merk op De groep wordt beschreven door 6 = 16 – 10 parameters We laten in de proper Lorentzgroep geen reflecties toe, en eisen ook

47. Generatoren Lorentzgroep • 6 parameters: • 3 Euler rotatiehoeken (orthogonale transformaties die lengte 3-vector behouden) 3 boosts (hyperbolische rotaties die lengte 4-vector behouden) Rotatie om z-as Boost langs z-as We schrijven transformatie als Generator L wordt geitereerd tot volledige transformatie; L is reele 4 x 4 matrix We staan enkel “proper” transformaties toe L is traceless en reeel. Ook geldt

48. Generatoren Lorentzgroep Inverse Neem logaritme en gebruik Dus gL spoorloos en L spoorloos en mixed symmetry Er geldt Boosts en rotaties We kiezen als basis in parameterruimte In de eerste rij herkennen we de rotatiematrices

49. Rotatie om z-as Kies parameters We hadden met Dan Verder Exponentiatie Dit levert Dit levert de bekende rotatie L om de z-as

50. Boost langs z-as Kies parameters We hadden met Dan Verder Exponentiatie Dit levert Dit levert de bekende boost L langs de z-as