Unidad 2: DETERMINANTES

1. 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013 Unidad 2: DETERMINANTES

2. ÍNDICE • Introducción • Determinantes. Definiciones. • Propiedades de los determinantes. • Matriz adjunta e inversa. • Rango de matrices por determinantes. • Matrices con parámetros.

3. Introducción • Idea fundamental • Un poco de historia

4. Introducción FUNDAMENTAL: El determinante es un número real

5. Introducción Un poco de historia: • En 1693, Leibnizt usa la noción de determinantes en sistemas de ecuaciones • En 1772, Vandermonde usa los determinantes de forma independiente a los sistemas de ecuaciones. • En 1812, Cauchy inicia el desarrollo de la teoría de determinantes que actualmente conocemos. • En 1855, Cayley hace notar que la noción de matriz es posterior a la de determinante en un siglo.

6. Determinantes. Definiciones • De orden 1 • De orden 2 • De orden 3: Sarrus y desarrollo por una línea • De orden superior a 3

7. 1.a.- Determinante de orden 1 • 1.b.- Determinante de orden 2

8. 1.c.- Determinante de orden 3 - Sarrus • “Es la suma de todos los posibles productos de tres elementos de la matriz en los que haya: • un elemento de cada fila y uno de cada columna • con signo + ó – según el tipo de permutación de los segundos subíndices (j) respecto de los primeros (i)”

9. 1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea

10. 1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea Esto es el desarrollo por la primera fila, podría hacerse por cualquier fila y por cualquier columna

11. 1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones Matriz complementaria del elemento Menor complementario del elemento Adjunto del elemento

12. 1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones Matriz complementaria del elemento Menor complementario del elemento Adjunto del elemento

13. 1.d.- Determinante de orden superior a 3 Para un determinante de orden n hay n! sumandos En la práctica no se usa esta definición, en su lugar se aplica “El determinante de una matriz es igual a la suma de todos los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos correspondientes”.

14. Propiedades de los determinantes • Relativas a operaciones • Relativas a la dependencia lineal • Relativas al cálculo • Cálculo práctico

15. 2.a.- Relativas a operaciones

16. 2.a.- Relativas a operaciones

17. 2.a.- Relativas a operaciones

18. 2.a.- Relativas a operaciones

19. 2.b.- Relativas a dependencia lineal

20. 2.c.- Relativas al cálculo

21. 2.c.- Relativas al cálculo

22. 2.d.- Cálculo práctico

23. Matriz adjunta e inversa • Definición: matriz adjunta • Propiedad: producto • Propiedad: existencia de la inversa • Calculo de la inversa por determinantes

24. Definición de matriz adjunta

25. Definición de matriz adjunta

26. Definición de matriz adjunta

27. Propiedad: producto por la adjunta traspuesta

28. Propiedad: producto por la adjunta traspuesta

29. Propiedad: Existencia de la inversa

30. Propiedad: Existencia de la inversa

31. Rango por determinantes • Definición de rango • Definición de menor de orden k • Cálculo práctico (“orlar”) • Propiedades del rango

32. Definición de rango • Rango de una matriz cualquiera es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes. • Rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas no nulas. AHORA • Rango de una matriz cualquiera es el orden del mayor menor no nulo de la matriz

33. Definición de menor de orden k • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

34. Definición de menor de orden k • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

35. Definición de menor de orden k • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

36. Cálculo práctico (“orlar”) • Nota:”Orlar” = “poner alrededor” Buscamos un menor de orden 2 no nulo, supongamos • Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,…

37. Cálculo práctico (“orlar”) • Si todos son nulos quiere decir que la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras y entonces pasaríamos a la 4ª fila • Pero si alguno es distinto de cero, por ejemplo: • Orlamos el menor anterior con la siguiente fila • Continuamos el proceso hasta: • Completar todas las filas • Encontrar un menor de orden k = min( m, n ) no nulo

38. Cálculo práctico (“orlar”) • Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,… • Por tanto, la 3ª fila es linealmente dependiente de las dos primeras. • Orlamos el menor de orden 2 anterior con la 4ª fila, y tenemos como primer menor de orden 3:

39. con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 Cálculo práctico (“orlar”) • Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 • Pasamos a orlar este menor no nulo con la fila 4ª para ver si el menor de orden 4 es nulo o no…

40. con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 Cálculo práctico (“orlar”) • Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3

41. Propiedades del rango Si el rango de A es k todos los menores de orden mayor que kson nulos Si el rango de A es k las k filas y las k columnas del menor no nulo de orden k son linealmente independientes (líneas principales) Todas las líneas no principales dependen linealmente de las líneas principales OBSERVACIÓN: las líneas principales de una misma matriz pueden ser diferentes, pero siempre serán iguales en número

42. Matrices con parámetros • Página 45, actividad resuelta número 17. • Página 51, actividad resuelta (PAU) número 6. • Página 54, actividad número 22, que resolvemos a continuación: EJEMPLO: • Halla el rango de la siguiente matriz en función de los valores del parámetro a. • Halla, si existe, la matriz inversa de A en los casos a=0 y a=1

43. Matrices con parámetros - EJEMPLO Como es una matriz cuadrada, en vez de orlar, hacemos directamente

44. Matrices con parámetros - EJEMPLO Caso 1: Caso 2: Caso 3:

45. Matrices con parámetros - EJEMPLO En cuanto a la segunda parte sólo puede existir inversa en el caso de a=0