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ANGULOS. TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS. ABRAHAM GARCIA ROCA. agarciar@correo.ulima.edu.pe. A. VÉRTICE. LADO. . . Medida del Angulo convexo. O. LADO. Medida del Angulo cóncavo. B.
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ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ABRAHAM GARCIA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe
A VÉRTICE LADO Medida del Angulo convexo O LADO Medida del Angulo cóncavo B ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO 0º < < 180º a.1) ÁNGULO AGUDO 0º < < 90º
a.2) ÁNGULO RECTO = 90º a.3) ÁNGULO OBTUSO 90º < < 180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS = 90º b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS + = 180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS a) ÁNGULOS ADYACENTES Puede formar más ángulos Un lado común ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes
1 2 4 3 5 6 8 7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°
x y PROPIEDADES DE LOS ANGULOS 01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. + + = x + y
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS + + + + = 180°
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES + = 180°
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 2 90° - X 180° - X 90° - X Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: X = 90° 2X = 180°
( 1 ) ( 2 ) = 70° Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y = 80° - + = 80° Dato: Dato: ( 90° - ) = 2 Resolviendo = 10° Reemplazando (1) en (2): Diferencia de las medidas ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) - = 70°-10° = 60° 90° - = 160° -2
(+) - = 10° + = 50° ( 2 ) ( 1 ) Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y Del enunciado: + = 50° + ( 90° - ) ( 90° - ) = 130° - = 10° 2 = 60° Del enunciado: - ( 180° - ) ( 180° - ) = 10° = 30° = 20° Resolviendo: (1) y (2)
B A M 20° X 60° O C Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. RESOLUCIÓN De la figura: = 60° - 20° = 40° Luego: X = 40° - 20° X = 20°
M A B X C (- X) O Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. Del enunciado: RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30° Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica ( + X) ( - X) = 30º - 2X=30º X = 15°
( + ) A M B C X N D Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado De la figura: 2 + = 90° + 2 = 90° 2 + 2 + 2 = 180° + + = 90° X = + + X = 90°
m 80° X 30° n Problema Nº 07 Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
m (2) 80° = + + X 80° X (1) + = 55° 30° n RESOLUCIÓN Por la propiedad 2 + 2 = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X Propiedad del cuadrilátero cóncavo X = 25°
65° 4 m X n 5 Problema Nº 08 Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
65° 4 m X n 5 RESOLUCIÓN 40° 65° Ángulo exterior del triángulo Por la propiedad: X = 40° + 65° 4 + 5 = 90° = 10° X = 105°
Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” x m 2 2 n Problema Nº 01
x m 2 2 n RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos Ángulos entre líneas poligonales 3 + 3 = 180° + = 60° X = 60° X = +
PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
L1 3x x 4x L2 PROBLEMA 01.- Si L1 // L2. Calcule la m x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
X n m 30° PROBLEMA 02.-Si m // n . Calcule la m x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
m 3 3 3 n PROBLEMA 03.-Si m // n . Calcule la m A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
m 95° 40° n 2x PROBLEMA 04.-Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
x 3 6 PROBLEMA 05.-Calcule la m x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
X m 4 4 n PROBLEMA 06.-Si m // n . Calcule la m x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
m 88° x n 24° PROBLEMA 07.-Si. Calcule la m x A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
X m 30° n 20° PROBLEMA 08.-Si m // n . Calcule la m x A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
m x n PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
m x x x n PROBLEMA 10.-Si m // n . Calcule la m x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
m 2 180°-2 n PROBLEMA 11.-Si m // n . Calcule la m A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
80° m x n PROBLEMA 12.-Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
x m 80° n PROBLEMA 13.-Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS • 20º 8. 50º • 30º 9. 80º • 45º 10. 30º • 10º 11. 60º • 120º 12. 40º • 36º 13. 50º • 7. 32º