Conditions d’interface optimales algébriques pour la vibro-élasticité.

1. Conditions d’interface optimales algébriques pour la vibro-élasticité. • François-Xavier Roux (ONERA) • Laurent Sériès (ONERA) • Yacine Boubendir (Univ. Paris XIII)

2. Sommaire • Méthode de décomposition de domaines à une ou deux variables d’interface • Conditions d’interface optimales continues et discrètes • Application pour l’élasticité statique et harmonique en temps

3. Principe des méthodes de résolution par sous-domaines • Résolution itérative globale • Accélération par résolution exacte dans les sous-structures • ⇨ solution d’un problème condensé aux interface • Méthodes mixtes directes-itératives • ⇨ robustes, coûts de factorisation réduit • Parallélisation facile par allocation d’un sous-domaine à un processus • Gestion des itérations par échanges de données aux interface • Mise en œuvre dans des codes séquentiels existants description des interfaces ⇨ frontières avec C.L. variables

4. Objectifs • Elasticité linéaire harmonique en temps • Problèmes hétérogènes de grande dimension • Eléments finis de types différents • Découpage automatique des maillages •  pas de contrôle de la position des interfaces • Mise en œuvre dans des codes existants •  exigences minimales •  matrice d’impédance locale + nœuds interface

5. Méthodes de résolution par sous-domaines en élasticité • Problème global Problème local Conditions de raccord aux interfaces

6. Méthode générale à 2 variables d’interface • Inconnues aux interfaces : • Problème local : condition de type Robin • Conditions de raccord aux interfaces : (k1+k2) inversible

7. Méthode générale à 1 variable d’interface • Inconnue aux interfaces : • Problème local : • Condition de raccord aux interfaces :

8. Conditions de raccord optimales aux interfaces • Condition de raccord dans 1 : • Problème homogène dans 2 : • Opérateur de Steklov-Poincaré S2 = k1 optimal

9. Algorithme itératif optimal aux interfaces • Condition de raccord dans 2: Si u1 solution exacte dans 1, u2 solution exacte dans 2 solution unique de : • Convergence en 1 itération • Convergence en ( nombre de sous-domaines –1 ) itérations pour l’algorithme de correction additif (Jacobi) pour un découpage en tranches

10. Méthode à 2 variables d’interface dans le cas discret Déterminer stels que les solutions des problèmes locaux : satisfassent les conditions de raccord aux interfaces

11. Analyse du problème discret Systèmes d’équations locaux : ks : rigidité de l’interface

12. Condensation locale Système d’équations local Système d’équations global Condensation du système d’équations global dans le sous-domaine 1

13. Condition d’interface optimale pour le problème discret Opérateur optimal = complément de Schur du reste de la structure + = 1 2 1 3 Représentation exacte de l’interaction avec les autres sous-domaines

14. Calcul de l’opérateur optimal aux interfaces Kii • Complément de Schur exact : • pas local • coût de calcul prohibitif • matrice dense  Approximation Premières tentatives infructueuses avec des factorisations incomplètes et même avec le complément de Schur exact filtré…

15. Approximation de l’opérateur optimal aux interfaces • Complément de Schur du sous-domaine voisin seulement Kii • coût de calcul très élevé • matrice dense • Calcul du complément de Schur pour un nombre réduit de couches Kii • coût de calcul peu élevé • matrice dense

16. Approximation creuse de l’opérateur optimal aux interfaces • Définition d’un ensemble de « patchs » • Calcul des compléments de Schur • Assemblage pondéré • coût de calcul faible • matrice creuse • ajustable • Opérateurs de Steklov-Poincaré discrets • Propriétés spectrales semblables à celles du complément de Schur complet

17. Test pour la poutre console 10 sous-domaines

18. Préconditionneur « grille grossière » global • Projection du résidu dans un espace formé des traces des mouvements de corps rigide • Mécanisme global de transfert d’efforts • Vitesse de convergence asymptotiquement indépendante du nombre de sous-domaines

19. Elasticité linéaire harmonique en temps • Problème continu • Conditions aux limites absorbantes approchées au premier ordre pour l’élasticité

20. Méthode à 2 variables d’interface pour l’élasticité linéaire harmonique en temps • Système d’équations global : • Système d’équations local : • Condition de raccord aux interfaces optimisée par analyse de Fourier pour le problème discret

21. Préconditionneur « grille grossière » global en dynamique • Définition de l’espace grossier local • Ensemble d’ondes planes de direction variable • Espace grossier plus grand qu’en statique • Construction automatique difficile avec des matériaux et des éléments hétérogènes

22. Test pour un problème modèle hétérogène tridimensionnel • Acier • Elastomère • matériau hétérogène dans chaque sous-domaine • matériau homogène dans chaque sous-domaine Solution

23. Convergence • sous-domaine hétérogène • même matériau des deux côtés de l’interface

24. Convergence • sous-domaine homogène • matériaux différents des deux côtés de l’interface • impédance de surface du sous-domaine en vis à vis

25. Conclusion • méthode à 2 variables d’interface plus rapide pour des interfaces hétérogènes • méthode à 1 variable d’interface plus rapide pour des interfaces homogènes •  méthode mixte 1-2 variables d’interface ? • optimisation algébrique basée sur les patchs aussi efficace que conditions absorbantes approchées •  combinaison des deux approches? • méthodologie générale, facile à mettre en oeuvre • fonctionne aussi pour des modèles contenant des éléments coque ou plaque