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Chapitre 9

Chapitre 9. Tests d’hypothèse. Tests d’hypothèse. 1. Notion de test. Tests d’ajustement. Tests de conformité. Tests d’égalité. Tests d’indépendance. Principe des tests d’hypothèse. 2. Notion d’hypothèse. Deux types d’hypothèses:.

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Chapitre 9

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Presentation Transcript

  1. Chapitre 9 Tests d’hypothèse

  2. Tests d’hypothèse 1. Notion de test • Tests d’ajustement • Tests de conformité • Tests d’égalité • Tests d’indépendance

  3. Principe des tests d’hypothèse 2. Notion d’hypothèse Deux types d’hypothèses: • H0: hypothèse nulle. C’est l’hypothèse qu’on veut tester • Elle postule la non différence et permet de fixer les paramètres • de la distribution de la variable aléatoire étudiée • H1: hypothèse alternative C’est l’hypothèse qu’on retient si H0 est rejetée.

  4. Principe des tests d’hypothèse 3. Notion de statistique Une statistique est une variable aléatoire S dont la valeur numérique obtenue pour l’échantillon considéré, Sobs, permet de décider si H0 est vraie ou fausse

  5. Smax Smin Principe des tests d’hypothèse 4. Notion de règle de décision Pour décider d’accepter ou de rejeter H0, il faut une règle de décision On compare Sobs à deux bornes de rejet S Sobs Sobs Sobs On acceptera H0 si Sobs est supérieur à Smin et inférieur à Smax On rejetera H0 si Sobs est inférieur à Smin ou supérieur à Smax

  6. Smin Smax Principe des tests d’hypothèse 5. Notion de risque • Risque de première espèce  Distribution de S connue  P(Smin<S<Smax)=1- et donc  =P(S>Smax)+ P(S<Smin) • = P(rejeter H0/H0 vraie)

  7. distribution sous H0 vraie distribution Smax Principe des tests d’hypothèse 5. Notion de risque • Risque de deuxième espèce β β = P(accepter H0/H1 vraie) 1-β est la puissance du test β≠ 1-

  8.  X~ N(th,)  Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique Question :  = th ? Hypothèse H0 :  = th

  9. Sobs εobs ? On ne connaît pas Smin et Smax 0 Smin ? Smax ? P(|ε| ≥ ε) =  table de l’écart-réduit -ε ε 0 Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 connue

  10. Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 connue • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs |< ε, on accepte H0 et on considère  = th • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère  ≠ th

  11. εobs 2 ? On ne connaît pas 2 0 P(|ε| ≥ ε) = table de l’écart-réduit -ε ε 0 Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 inconnue, n > 30

  12. Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 inconnue, n > 30 • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs |< ε, on accepte H0 et on considère  = th • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère  ≠ th

  13. tobs 2 ? On ne connaît pas 2 0 P(|T| ≥t ) = table de t de Student -t t 0 Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 inconnue, n < 30, X~N

  14. Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 inconnue, n < 30, X~N • Règle de décision: • On compare |tobs |à t à (n-1) ddl lue dans la table de Student • Si |tobs |< t, on accepte H0 et on considère  = th • Si |tobs |> t, on rejette H0 et on considère  ≠ th

  15. Tests de conformité 1. Comparaison d’une moyenne observée et d’une moyenne théorique • 2 inconnue, n < 30, X~loi quelconque Tests non paramétriques !

  16. p • X~ B(n,pth) si n > 30  Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique Question : p = pth ? Hypothèse H0 : p = pth

  17. Sobs εobs ? On ne connaît pas Smin et Smax 0 Smin ? Smax ? P(|ε| ≥ ε) =table de l’écart-réduit -ε ε 0 Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n > 30 et np > 5

  18. Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n > 30 et np > 5 • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs| < ε, on accepte H0 et on considère p = pth • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère p ≠ pth

  19. X~ B(n,pth) si n < 30  Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n < 30 On utilise un test non paramétrique

  20. Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n < 30

  21. 2obs P(2 ≥2 à 1 ddl) =  Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n < 30 Les Ti doivent être > 5

  22. Tests de conformité 2. Comparaison d’une proportion observée et d’une proportion théorique • n < 30 • Règle de décision: • On compare 2obs à 2 à 1 ddl lu dans la table du 2 • Si 2obs < 2, on accepte H0 et on considère p = pth • Si 2obs > 2, on rejette H0 et on considère p ≠ pth

  23. Tests d’égalité 1. Comparaison de deux variances observées Question : 12= 22? Hypothèse H0 : 12 = 22

  24. Fobs F P(F ≥ F) = table Fisher-Snedecor Tests d’égalité 1. Comparaison de deux variances observées

  25. Tests d’égalité 1. Comparaison de deux variances observées • Règle de décision: • On compare Fobs à F à (n1-1) et (n2-1) ddl lu dans la table de F • ou à (n2-1) et (n1-1) ddl lu dans la table de F • Si Fobs < F, on accepte H0 et on considère 12 = 22 • Si Fobs > F, on rejette H0 et on considère 12 ≠ 22

  26. Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées Question : 1 = 2 ? Hypothèse H0 : 1 = 2= 

  27. Population 1 Population 2  X1~ N(,1)  X2~ N(,2)   Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées Sous l’hypothèse H0

  28. Sobs εobs ? On ne connaît pas Smin et Smax 0 Smin ? Smax ? P(|ε| ≥ ε) =  table de l’écart-réduit -ε ε 0 Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22connues

  29. Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22connues • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs |< ε, on accepte H0 et on considère 1 = 2 • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère 1 ≠ 2

  30. Sobs εobs ? On ne connaît pas 12 et 22 0 Smin ? Smax ? P(|ε| ≥ ε) =  table de l’écart-réduit -ε ε 0 Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22inconnues, n1 et n2 > 30

  31. Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22inconnues, n1 et n2 > 30 • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs |< ε, on accepte H0 et on considère 1 = 2 • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère 1 ≠ 2

  32. Sobs tobs ? 0 Smin ? Smax ? -t t 0 P(|T| ≥ t) =  table de Student Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22inconnues, n1 et n2 < 30, X~N On ne connaît pas 12 et 22 Si12 et 22égales

  33. Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22inconnues, n1 et n2 < 30, X~N • Règle de décision: • On compare |tobs |à t à (n1+n2-2) ddl lue dans la table de Student • Si |tobs |< t, on accepte H0 et on considère 1 = 2 • Si |tobs |> t, on rejette H0 et on considère 1 ≠ 2

  34. Tests d’égalité 2. Comparaison de deux moyennes observées • 12 et 22inconnues, n1 et/ou n2 < 30, X~loi quelconque ou12 et 22différentes Tests non paramétriques !

  35. P1 P2 Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées Question : P1 = P2 ? Hypothèse H0 : P1 = P2= P

  36. Population 1 Population 2 • X1~ B(n1,p) • X2~ B(n2,p) si n1 > 30  si n2 > 30  Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées Sous l’hypothèse H0

  37. Sobs εobs ? On ne connaît pas Smin et Smax 0 Smin ? Smax ? -ε ε P(|ε| ≥ ε) =  table de l’écart-réduit 0 Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et n2 > 30

  38. Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et n2 > 30 • Règle de décision: • On compare |εobs |à ε lue dans la table de l’écart-réduit • Si |εobs |< ε, on accepte H0 et on considère P1 = P2 • Si |εobs |> ε, on rejette H0 et on considère P1 ≠ P2

  39. Population 1 Population 2 • X1~ B(n1,p) • X2~ B(n2,p) si n1 < 30  si n2 < 30  Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et/ou n2 < 30 Sous l’hypothèse H0 On utilise un test non paramétrique

  40. Modalités Echan. Succès Echecs Total Echantillon 1 x1 n1-x1 n1 Echantillon 2 x2 n2-x2 n2 Total x n-x n Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et/ou n2 < 30 Tableau des effectifs observés

  41. Modalités Echan. Succès Echecs Total Echantillon 1 n1x/n n1(n-x)/n n1 Echantillon 2 n2x/n n2(n-x)/n n2 Total x n-x n Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et/ou n2 < 30 Tableau des effectifs théoriques

  42. 2obs P(2 ≥2 à 1 ddl) =  Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et/ou n2 < 30 Les Ti doivent être > 5

  43. Tests d’égalité 3. Comparaison de deux proportions observées • n1 et/ou n2 < 30 • Règle de décision: • On compare 2obs à 2 à 1 ddl lu dans la table du 2 • Si 2obs < 2, on accepte H0 et on considère P1 = P2 • Si 2obs > 2, on rejette H0 et on considère P1 ≠ P2

  44. Tests d’égalité 4. Extension à la comparaison de q distributions observées On considère q échantillons indépendants avec p modalités Ces échantillons sont extraits de q populations On désire savoir si les q distributions sont identiques, c’est-à-dire si les p proportions sont égales dans les q populations H0: les q distributions sont égales

  45. Tests d’égalité 4. Extension à la comparaison de q distributions observées Effectifs observés

  46. Tests d’égalité 4. Extension à la comparaison de q distributions observées Effectifs théoriques

  47. 2obs P[2 ≥2 à (p’-1)(q’-1) ddl] =  Tests d’égalité 4. Extension à la comparaison de q distributions observées q’ et p’ = nb de lignes et colonnes après regroupement car les Tij doivent être > 5

  48. Tests d’égalité 4. Extension à la comparaison de q distributions observées • Règle de décision: • On compare 2obs à 2 à (p’-1)(q’-1) ddl lu dans la table du 2 • Si 2obs < 2, on accepte H0, les q distributions sont égales • Si 2obs > 2, on rejette H0, les q distributions sont différentes

  49. Tests d’ajustement 1. Ajustement à une loi binomiale X: nombre de filles dans fratries de 5 enfants Question: X ~ B ? Hypothèse H0: X~B (5; 0,5)

  50. Tests d’ajustement 1. Ajustement à une loi binomiale X: nombre de filles dans fratries de 5 enfants X ~ B(5; 0,5)

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