CHAPITRE 9 Proportionnalité

1. CHAPITRE 9 Proportionnalité

2. Objectifs: • Utiliser des pourcentages de baisse, • d’augmentation, ou successifs. - Interpréter une grandeur composée. - Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes.

3. I. Pourcentage Prendre T % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par T/100. Augmenter un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 + T/100. Diminuer un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 – T/100. - Si une boîte de 400 g est vendue avec 15 % de produit en plus, sa nouvelle masse ( en g) est : Exemples : 400 x ( 1 + 15/100 ) = 400 x 1,15 = 460 grammes - En France, une baisse de natalité de 2% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances. Le nouvel effectif est : 750 000 x ( 1 – 2/100 ) = 750 000 x 0,98 = 735 000 naissances

4. II. Grandeurs composées 1) Grandeurs quotients On appelle grandeur quotient une grandeur formée par le quotient de deux unités de base. – vitesse moyenne :v = d/t s'exprime généralement en km/h (kilomètre par heure), ou en m/s (mètre par seconde). – débit en L /min (litre par minute), ou m3/s (mètre cube par seconde).

5. – densité de population en hab/km2 (nombre d'habitants par kilomètre carré). – consommation de carburant en L/100km . – masse volumique en g/cm3 (gramme par centimètre cube). Calculer la vitesse moyenne d'un automobiliste parcourant 130 km en 1 h 20 min. Exemple : On a 1 h 20 min = 1 h + 1/3 h = 4/3 h Donc v = d/t = 130 ÷ 4/3 = 97,5 km/h

6. 2) Grandeurs produits On appelle grandeur produit une grandeur formée par le produit de plusieurs unités de base. – L'énergie consommée E (en wattheure) s'exprime en fonction de la puissance P (en watt) et du temps t (en heure) : E = P × t. Calculer l'énergie consommée par 10 ampoules de 75W pendant une durée de 1 h 45 min. Exemple : On a 1 h 45 min = 1 h + 3/4 h = 7/4 h Donc E = P x t Soit donc 1 312,5 wattheure pour 10 ampoules = 75 x 7/4 = 131,25 wattheure

7. III. Réduction-Agrandissement 1) Définitions - La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 < k < 1. Exemple : Cube B Cube A On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½. (les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)

8. - L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre k tel que k > 1. Exemple : Cube B Cube C On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3. (les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)

9. 2) Propriétés Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0) - Les aires sont multipliées par k² - Les volumes sont multipliés par k3 Exemples : - L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm². On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ . 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm² Donc l’aire du cube B est : - Le volume du Cube B est de 1 cm3. On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3. Donc le volume du Cube C est : 1 x 33 = 1 x 27 = 27 cm3

10. O A O' A' S 3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base Le triangle SOA rectangle en O engendre un cône de révolution de hauteur 20 cm et de rayon de base 6 cm. On réalise la section de ce cône par le plan parallèle à la base passant par O', un point de [SO], tel que SO' = 2 cm. O' A' S

11. D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que A’ appartient à [SA] O’ appartient à [SO], et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a : Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient Or, le volume du grand cône est égal à : Donc le volume du petit cône est égal à :