Határidős és opciós ügyletek

1. Határidős és opciós ügyletek segédanyag

2. IV. Opciók értéke lejárat előtt 22 • A lejárat pillanatai tehát igen egyszerűek, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. • Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk. • Miért bonyolult? • „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra. • Az opció kockázata folyamatosan változik. • Érték = Árfolyam • Hatékony árazódást tételezünk fel. • c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is. Határidős és opciós ügyletek

3. IV.1. Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell 22 • Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható. • A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk. • A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell egyszerűbb formára hoznunk • várható hozam + bolyongás Határidős és opciós ügyletek

4. P P P0 P0 t t 22 • A binomiális modell egyszerűsítése: diszkrét binomiális modell folytonos modell Határidős és opciós ügyletek

5. 23 • Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható. • Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke. • Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli értéke biztosan ismert. • Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával. • Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét. • Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz. Határidős és opciós ügyletek

6. 23 • Tekintsünk egy egyszerű példát! • jelenlegi részvényárfolyam (P) legyen 10$ • vételi opció • kötési árfolyam K=11$ • lejárat T=1év, európai típusú • a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet részvény: 12,5$opció: 1,5 $ 12,5$ részvény: 10$opció: c 10$ részvény: 8$opció: 0 8$ Határidős és opciós ügyletek

7. 23 • Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót! • Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni. • 1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva: Határidős és opciós ügyletek

8. 24 • Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 2,67$ • Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke: • Mindezek alapján c-t meghatározható. Határidős és opciós ügyletek

9. 24-25 • Binomiális értékelés több periódus esetén • Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén. 15,625 $ 4,625 $ 12,5 $ c1 2,29 $ 10 $ 10 $ 0 $ c 0 $ 8 $ 6,4 $ 0 $ Határidős és opciós ügyletek

10. 26 • A megoldás pontosításához a részidőszakok számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást. • A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló). Határidős és opciós ügyletek

11. 25 • Binomiális értékelés – eladási opciók • példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5% Kockázatmentes portfólió: x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 4,24 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ Határidős és opciós ügyletek

12. 25 • Binomiális értékelés – amerikai opciók 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 5,13 $ 12 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ Határidős és opciós ügyletek

13. IV.2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell 26 • A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást. • A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet). • A megoldáshoz vezető út szinte azonos: • kockázatmentes portfólió – részvény - opció • A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk. Határidős és opciós ügyletek

14. Fischer Black MyronScholes Robert Merton • A Black-Scholes formula sztorija • „Az elmúlt három évtized egyik legfontosabb áttörése volt a pénzügyekben.” • 1960-as évek végén egy különös háromtagú társaság • Fischer Black • Myron Scholes • Robert C. Merton Határidős és opciós ügyletek

15. c P0 27 • Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd. • A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege: c P0-KT KT Határidős és opciós ügyletek

16. A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete: 27 • P0 a részvény jelenlegi árfolyama • K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva • N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél Határidős és opciós ügyletek

17. Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P0értékű részvénnyel Valamekkora valószínűséggel fizetünk K0 –t érte • A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete: 28 •  a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával. • N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PTnagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják. Határidős és opciós ügyletek

18. 28 • Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama. • Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még. • A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik. • (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.) Határidős és opciós ügyletek

19. 28 • Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit! Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása () nő Határidős és opciós ügyletek

20. 28 • Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait! • A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét. • Belső érték • Ingadozási érték • Részletfizetési érték Időérték Határidős és opciós ügyletek

21. c c P0-KT P0 KT 29 • Belső érték • Az opció azonnali lehívása eredményezné. • Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték. Határidős és opciós ügyletek

22. c c P0-KT P P0 29 • Ingadozási érték KT E(PT) PT Határidős és opciós ügyletek

23. c c P0-KT Belső érték P PT 29 • Ingadozási érték és belső érték P0 KT E(PT) Határidős és opciós ügyletek

24. c c P P PT PT P0 KT c c P P P0 KT KT P P P0 T T 30 • A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére: P0 KT Határidős és opciós ügyletek

25. c c P0-KT P PT P0 KT 30 • Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága. • Mitől függ ez? • T-től • σ-tól • egészen pontosan-től Határidős és opciós ügyletek

26. P PT=4 P1 P0 t T 0 31 Határidős és opciós ügyletek

27. 31 • Részletfizetési érték • Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún. módosított belső értékhez. • Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT. • KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük: Határidős és opciós ügyletek

28. c KT-K0 P0-KT P0-K0 c P0 32 K0 KT Határidős és opciós ügyletek

29. c c KT-K0 Részletfizetési érték P0-KT KT P0 32 • A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től függ, valamint a lehívás valószínűségétől is: N(d) 1 d Határidős és opciós ügyletek

30. c c KT-K0 Részletfizetési érték Ingadozási érték Időérték P0 32 • Összegezzük a három értékforrást! P0-KT Belső érték KT Határidős és opciós ügyletek

31. Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása () nő Határidős és opciós ügyletek

32. 33 • c értéke „ráérzésre”: Nagy T és nagy σ Kis T és nagy σ Kis T és kis σ Nagy T és kis σ Határidős és opciós ügyletek

33. IV.2.2. Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás 34 • Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le. • A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen. Határidős és opciós ügyletek

34. PT PT PT PT 34 LC LP KT KT KT KT KT Határidős és opciós ügyletek

35. KT-K0 KT K0 c p=c-P0+K0 p=c-P0 -K0 35 p K0 P0 KT -P0 Határidős és opciós ügyletek

36. p Részletfizetési érték (-) Részletfizetési érték (-) Ingadozási érték (+) Ingadozási érték (+) KT-P0 KT-P0 Belső érték Belső érték P0 KT-K0 N(d) 1 d 35-36 • Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét! KT K0 KT Határidős és opciós ügyletek

37. 36 • Mitől és hogyan függ p értéke? Ha nő a akkor p értéke Részvényárfolyam (P0) csökken Kötési árfolyam (KT) nő Kamatláb (rf) csökken Részvény volatilitása () nő Lejáratig hátralévő idő (T) nem egyértelmű Határidős és opciós ügyletek

38. IV.2.3. Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók értéke lejárat előtt 36 Határidős és opciós ügyletek

39. 37 • Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk. • Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal. • (diszkontráta: rf vagy ralt?) • A paritásos összefüggés is megváltozik: Határidős és opciós ügyletek

40. IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt 37 • Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik: • Lehívja • Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT • Nem hívja le • Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c • Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni. Határidős és opciós ügyletek

41. c KT-K0 P0-KT P0-K0 c P0 K0 KT 37 • Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül • Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen. • c amerikai = c európai Határidős és opciós ügyletek

42. c DIV(T)0 P0 DIV + DIV(T)0 –KT P0 DIV -KT P0 DIV -K0 c KT eladás lehívás 38 • Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel: P0 DIV P0 K0 • A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése. • c amerikai > vagy = c európai Határidős és opciós ügyletek

43. IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt 38 • Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e: • Lehívja • Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0 • Nem hívja le • Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p Határidős és opciós ügyletek

44. p p P0 lehívás eladás 39 • Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül: KT K0 K0 KT • Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”). • p amerikai > vagy = p európai Határidős és opciós ügyletek

45. DIV(T)0 DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 p 39 • Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: p KT K0 P0 DIV K0 KT P0 • Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. • p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai Határidős és opciós ügyletek

46. IV.2.6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal 40 • 1. lépés • volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél év • 2. lépés • KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre) • 3. lépés: táblázat: 8,2 Határidős és opciós ügyletek

47. 40 • Azonban a piaci árfolyam 6,1$. • Mit rontottunk el? • A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül. • Ez az ún. visszaszámított volatilitás. • Eladási opció: Határidős és opciós ügyletek

48. 1 „érték / ár” „kockázat” Határidős és opciós ügyletek