Patricio José Felix da Silva (1) Fábio Leal de Melo Dahia (1) Apoio Financeiro: Capes

1. Sistemas de Coordenadas Adaptados a Observadores Uniformemente Acelerados Patricio José Felix da Silva(1) Fábio Leal de Melo Dahia(1) Apoio Financeiro: Capes Palavra Chave: Relatividade Especial, observadores acelerados, linhas de simultaneidade. (1)Departamento de Física/CCT/Universidade Federal de Campina Grande, C. Grande-PB, Brasil. Contato: patricio@df.ufcg.edu.br

2. Resumo • Sistema de Coordenadas de Minkowski. • Linha de Universo de um Observador Uniformemente Acelerado. • Sistema de Coordenadas de Rindler. • Formulação Geral de Sistemas de Coordenadas Adaptados a Observadores Uniformemente Acelerados.

3. Linhas de universo t Linhas de simultaneidade x Fig. 1 - Representação geométrica da família de observadores de Minkowski. As retas vermelhas representam as linhas de universo dos observadores de Minkowski. As retas azuis representam linhas de tempo próprio constante. Forma Métrica: Sistema de Coordenadas de Minkowski E

4. Linha de Universo de ObservadoresUniformemente Acelerados Considere um observador que experimenta a ação de uma aceleração própria uniforme “g” na direção x. Sendo: com e Deste modo: Resolvendo as equações acima, descobrimos que as coordenadas temporais e espaciais deste observador variam com relação a um sistema inercial K, através das equações: e onde

5. Linha De Universo De Um Observador Uniformemente Acelerado que partiu da posição ρ=1/g. Fig.2 – Representação Gráfica da linha de universo de um observador de Rindler. Sendo , logo:

6. Família de Observadores de Rindler Considere um conjunto de observadores uniformemente acelerados, distribuídos continuamente sobre todo eixo espacial, os quais possuem acelerações próprias que caem com o inverso de suas distâncias iniciais (t=0) a origem. Note que individualmente, cada observador executa um movimento uniformemente acelerado, tendo suas linhas de universo descrevendo hipérboles com diferentes concavidades. Fig.3

7. x' t' t K’ K x Sistema de Coordenadas de Rindler e o Princípio da Localidade Fig. 4 – O Sistema de coordenadas de Rindler está baseado no princípio da localidade, segundo qual, um observador acelerado e um observador inercial comóvel são instantaneamente equivalentes, inclusive quanto a determinação de simultaneidade. Relacionando as coordenadas dos referenciais K e K’ através da transformação de Poincaré, obtemos como linha de simultaneidade para aquele instante a reta:

8. Sistema de Coordenadas de Rindler Fig.5 – Todos os observadores de Rindler concordam quanto ao que é simultâneo. No entanto suas medidas são realizadas a partir do observador que no instante t=0, encontrava-se na posição ρ = 1/g. Seja τR o tempo próprio medido por este observador e ξ = ρ-(1/g), as equações que definem a lei de transformação entre as coordenadas de Rindler é o sistema inercial são: Já a métrica bidimensional pode ser escrita como:

9. Formulação Geral de Sistema de Coordenadas Adaptados a Observadores Uniformemente Acelerados Considere um conjunto de observadores uniformemente acelerados, distribuídos continuamente sobre todo eixo espacial, os quais possuem acelerações próprias que varia arbitrariamente com sua distância inicial (t=0) a origem. As equações que descrevem a linha de universo destes observadores serão: Note que:

10. Construção dos Sistemas de Coordenadas Dado um evento E, nossos sistemas de coordenadas registrarão este evento da seguinte maneira: • A coordenada espacial será igual a posição inicial (t = 0) do observador acelerado que cruza o evento E. • A coordenada temporal será atribuída utilizando o princípio físico da localidade. Este método é semelhante ao método utilizado para construir o sistema de coordenadas de Rindler.

11. Linha de Simultaneidade Fig.6 -A linha de simultaneidade definida para o observador que parte ρ0 intercepta a linha de universo do observador que parte de ρ1, num instante em que V1≠V2 (exceto para observadores de Rindler). Fazendo a “ligação” no limite do contínuo, construímos nossa linha de simultaneidade que denotaremos pela função t = Q(x).

12. Determinação da linha de Simultaneidade Considere um observador acelerado que partiu da posição ρ. Seja V a sua velocidade no instante τρ e t = Q(x) a linha de simultaneidade correspondente aquele instante. Assim temos: Como o observador inercial encontra-se instantaneamente na mesma velocidade do observador acelerado, temos:

13. Sistema de Coordenadas de Observadores com a Mesma Aceleração (a=g=const.) Fig. 7 - Para este caso as equações relacionam as medidas realizadas pelo referencial inercial K e as medidas realizadas pelo novo referencial são: onde: A forma métrica bidimensional é dada por:

14. Sistema de Coordenadas de Observadores com a Aceleração a =1/ρ (Rindler) Nossa generalização reproduz o sistema de coordenadas de Rindler quando a(ρ) =1/ρ . No entanto para outras dependências particulares, como aceleração caindo com inverso do quadrado da distância ou em proporções maiores, não é trivial a identificação da linha de simultaneidade.

15. (Casos Particulares) • Quando a=g=const. Temos: • Quando a=(1/ρ). Temos: No entanto • Quando a=(1/ρ2). Neste caso temos: Porém

16. Conclusões e Perspectivas • Nossa Generalização permite que o sistema de coordenadas de Rindler aparece naturalmente como uma particularidade. • Para alguns valores de acelerações, as secções espaciais podem apresentar curvatura, por esta razão, os referências adaptados a estes observadores podem ser usados para ilustrar a conexão entre geometria não-Euclidiana e aceleração, como sugerido inicialmente por Einstein. • Nossa perspectiva é encontrar a linha de simultaneidade para qualquer aceleração, e desenvolver a forma métrica generalizada tanto bidimensional (1+1), quanto tridimensional (1+2).

17. Referências Bibliográficas • MISNER, C., THORNE, K. and WHEELER, J.A., Gravitation (W.H. Freeman d Company, New York, 1973), pp. 163-176. • MARZLIN, K. What is the reference frame of an accelerated observer?, Phys. Lett. A, p.215, 1-6 (1996). • RINDLER, W. kruskal space and the uniformly accelerated frame, Am. J. Phys. 34, p.1174-1178 (1975) • CARMO, M. Do, Differencial Geometry of Curves and Surfaces (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976), pp. 246-265. • MASHOONN, B., The hypothesis of locality and its limitation, gr-qc/0303029, (2001) • PAURI. M. and VALLINERI. M., Marzke-Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity, Found Phys. Lett. 13, 401 (2000) • HUANG, C and GUO, H., A new kind of uniformly accelerated reference frames, gr-qc/0604008-2006