Lezione n° 2: 9-10 Marzo 2009 Richiami di Algebra vettoriale: Operazioni sui vettori

1. Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 2: 9-10 Marzo 2009 Richiami di Algebra vettoriale: • Operazioni sui vettori • Combinazione lineare, combinazione conica, combinazione convessa • Indipendenza lineare tra vettori • Base di uno spazio Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

2. Vettori Un vettore è un elemento in uno spazio vettoriale. L'esempio classico di vettore è costituito da una ennupla di numeri. Esempio vettore riga di dimensione n=6 componenti del vettore vettore colonna di dimensione n=3

3. 2 2 Esempio: vettori di dimensione 2 Ogni vettore può essere rappresentato tramite un punto o da una linea che connette l’origine al punto.

4. Moltiplicazione per uno scalare

5. Addizione di vettori: regola del parallelogramma

6. Prodotto Interno

7. Combinazione LINEARE tra vettori Un vettore y è combinazione LINEARE dei vettori x1, x2, …, xn se esistono 1, 2, … ,n numeri reali tali che: y= 1 x1+ 2 x2+…+ n xn y è combinazione lineare di x1 ed x2 ? Quanto valgono 1 e 2 ?

8. Esempio 1 1 < 0 2 > 1

9. Esempio 2 1 > 0 2 > 0

10. Esempio 3 1 > 0 2 = 0

11. Esempio 4 Non è possibile trovare alcun numero reale 1 e 2 se x1=k x2

12. Combinazione CONICA tra vettori Un vettore y è combinazione CONICA dei vettori x1, x2, … , xn se esistono 1, 2, … ,n numeri reali tali che 1. 1,2,…, n  0 2. y= 1x1+ 2 x2+…+ n xn

13. Combinazione CONVESSA tra vettori Un vettore y è combinazione CONVESSA dei vettori x1, x2, … , xn se esistono 1, 2, … ,n numeri reali tali che 1. 1,2,…, n  0 2. 1+ 2+…+ n = 1 3. y= 1 x1+ 2 x2+…+ n xn

14. Lineare indipendenza tra vettori Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice LINEARMENTE INDIPENDENTI se 1 x1+ 2 x2+…+ n xn = 0 implica che 1= 0, 2 = 0, … , n = 0 Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice LINEARMENTE DIPENDENTI se esistono 1, 2, … ,nnon tutti nulli, tali che 1 x1+ 2 x2+…+ n xn = 0

15. Lineare indipendenza tra vettori ESEMPIO x1T=(1,2,3) x2T=(-1,1,-1) x3T=(0,3,2) sono linearmente dipendenti perché 1 x1+ 2 x2+3 x3 = 0 quando 1= 2 = 1 3 = -1

16. Lineare indipendenza tra vettori in particolare... Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice LINEARMENTE DIPENDENTI se uno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri x1T=(1,2,3) x2T=(-1,1,-1) x3T=(0,3,2) x1+ x2=x3

17. y, x1 ed x2 sono linearmente DIPENDENTI

18. Spazio generato Un insieme di vettori x1, x2, … , xk di dimensione ngenera l’insieme di vettori En, se ogni vettore in En può essere rappresentato come combinazione lineare dei vettori x1, x2, … , xk Esempio: n=2 k=3 x1T=( 1, 0) x2T=(-1, 3) x3T=(2, 1) I vettori x1, x2, x3 generano l’insieme di vettori di dimensione 2.

19. Base di uno spazio Def. Un insieme di vettori x1, x2, … , xk in En è una BASE di En se valgono le due seguenti condizioni: 1.x1, x2, … , xk generano En 2.Se uno solo dei vettori è rimosso, allora i rimanenti k-1 vettori non generano En

20. Base di uno spazio Proprietà 1.(no dim) Un insieme di vettori x1, x2, … , xk in En è una BASE di En se e solo se: 1.k = n 2.x1, x2, … , xk sono lin. indipendenti Def. Il numero di vettori che formano una base per En è detto dimensione dello spazio En

21. Base di uno spazio Esempio Cerchiamo una base per lo spazio E2(dei vettori di dimensione due) Dobbiamo cercare 2 vettori in E2 linearmente indipendenti

22. x1T=( 1, 0) x2T=(-1, 3) x3T=(2, 1) Dom. : x1,x2,x3 generano E2? x4T=(1,-3) Dom. : x1,x2,x3 sono una base per E2? Dom. : x1,x2 sono una base per E2? Dom. : x2,x3 sono una base per E2? Dom. : x2,x4 sono una base per E2?

23. Esercizio Dati i seguenti vettori in R3 x1T= ( 1, 3, 0) x2T=(2, 0, 1) x3T=( 0, 1, 0) • Verificare che costituiscono una base • Determinare le coordinare del vettore yT=( 2,4,1) in termini della base.