Die Schwingung

1. Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Körpers verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch wiederholen. Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, bei der die Rückstellkraft der Auslenkung proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist. Wenn man einen Massenpunkt, der eine gleichmäßige Kreisbewegung ausführt, durch paralleles Licht auf eine Ebene senkrecht zur Kreisbahn projiziert, so führt der Schatten eine harmonische Schwingung aus.

2. Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Differenzialgleichung Ein Lösungsansatz wäre: x(t) = Ao sin ( t) Bildet man die 2. Ableitung von x(t) und setzt diese in die Differenzialgleichung ein, so erhält man: x‘‘(t) = - Ao 2 sin ( t)

3. Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Differenzialgleichung Dividiert man durch Ao sin ( t), so ergibt sich Die Lösung ist: Die Amplitude Ao ergibt sich aus den Anfangsbedingungen

4. Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung

5. Die Schwingung Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung

6. Die Schwingung Aufgaben Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion ein. Die Auslenkung eines Federpendels beträgt 2 s nach dem Nulldurchgang x(t) = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Bestimmen Sie die Frequenz f und die Periodendauer T. Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die Auslenkung eines Federpendels mit der Amplitude 5 cm und f = 0,4 Hz die Werte a) x1 = 8 mm, b) x2 = 2 cm, c) x = 4 cm?

7. Die Schwingung Aufgaben Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Ge-schwindigkeits- und Beschleunigungs-funktion ein.

8. Die Schwingung Aufgaben Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Ge-schwindigkeits- und Beschleunigungs-funktion ein.

9. Die Schwingung Aufgaben Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der kleineren Federkonstanten D? Antwort: rote Kurve

10. Die Schwingung Aufgaben Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der größeren Pendelmasse? Antwort: grüne Kurve

11. Die Schwingung Aufgaben Wie kann man dieses Bild erhalten? Antwort: gleiche Masse und Federkonstante, verschiedene Amplitude

12. Die Schwingung Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel Die mechanische Gesamtenergie einer ungedämpften Schwingung bleibt konstant (Energieerhaltung). Die Energie pendelt zwischen zwei Energieformen hin und her, zwischen kinetischer und potenzieller Energie Wsp(1) + Wkin(1) = Wsp(2) + Wkin(2) = konstant

13. Die Schwingung Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel Beim Feder-Pendel gibt es zwei Energieformen: Insgesamt hat man:

14. Die Schwingung Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel

15. Die Schwingung Das Fadenpendel An einem Faden der Länge l (mit vernachlässigbarer Masse) hängt ein Körper mit der Masse m Lenkt man das Pendel um den Winkel  aus, dann kann die Gewichtskraft FG = m*g, die der Körper erfährt, in zwei Komponenten zerlegen. 1.Die Komponente FN = m*g*cos , die in Verlängerung des Fadens wirkt und von der Spannkraft des Fadens aufgehoben wird. 2.Die Komponente FR= m*g*sin , die tangential zur Kreisbahn wirkt und den Körper in Richtung auf die Gleich-gewichtslage hin beschleunigt

16. Die Schwingung Das Fadenpendel FR= m*g*sin  • ist der Winkel, den der Faden mit der Senkrechten bildet. Gibt man  in Bogenmaß an, so erhält man: s = *l Man erhält also: FR= m*g*sin (s/l). Die Rückstellkraft ist also nicht proportional zur Auslenkung s aus der Gleichgewichtslage. Die Pendelschwingung ist deshalb keine harmonische Schwingung.

17. Die Schwingung Das Fadenpendel FR= m*g*sin (s/l). Für kleine Winkel  gilt näherungsweise: sin    bzw. sin (s/l)  s/l. Damit erhält man: m*a(t) = - m*g*s(t)/l Und mit s‘‘(t) = a(t) die folgende Differenzialgleichung:

18. Die Schwingung Das Fadenpendel Als Lösung erhält man:

19. Die Schwingung Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an die Umgebung abgibt. Verringerung der Amplitude: 1.Der Quotient An+1/An zweier aufeinander folgender Amplituden ist konstant. 2.Die Zeit, in der die Amplitude jeweils auf die Hälfte ihres willkürlich gewählten Anfangswert sinkt, ist ebenfalls konstant. Man nennt sie die Halbwertszeit der Schwingung. Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung x(t) = Ao e –kt Sin ( t) beschrieben, wobei k die Dämpfungskonstante ist.

20. Die elektromagnetische Schwingung Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule. Durch Induktionsvorgänge finden ständig Lade- und Entladevorgänge statt und es entsteht eine gedämpfte Schwingung. Spannung und Stromstärke ändern sich periodisch und sind um eine Viertelperiode phasenverschoben

21. Die elektromagnetische Schwingung Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

22. Die elektromagnetische Schwingung Im elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Energie und magnetische Feldenergie periodisch ineinander um

23. Die elektromagnetische Schwingung Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

24. Die elektromagnetische Schwingung Vergleich zwischen mechanischer und elektromagnetischer Schwingung

25. Die elektromagnetische Schwingung Aufstellen der Differenzialgleichung Vorausgesetzt wird, dass die Summe der elektrischen und magnetischen Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist: Setzt man dies in (1) ein, so erhält man Um die Konstante wegzubekommen, leitet man nach t ab und erhält:

26. Die elektromagnetische Schwingung Aufstellen der Differenzialgleichung Da Q‘(t) nicht Null sein kann (dann wäre Q(t) eine Konstante – warum?), muss der Klammerausdruck Null sein. Also Diese Differenzialgleichung wird gelöst mit der Cosinus- (bzw. Sinus-) Funktion. Hierbei ist

27. Die elektromagnetische Schwingung Die Thomsonsche Schwingungsgleichung Zeitlicher Verlauf einer elektromagnetischen Schwingung Ladung: Q(t) = Qo Cos ( t) mit Spannung am Kondensator: U(t) = Uo Cos ( t) mit Uo = Qo/C Stromstärke: I(t) = - Io Sin ( t)mit

28. Die elektromagnetische Schwingung Die Thomsonsche Schwingungs-gleichung

29. Die elektromagnetische Schwingung Die Energieverteilung

30. Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

31. Die elektromagnetische Schwingung Die Dreipunktschaltung

32. Die elektromagnetische Schwingung Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Darin bedeutet der Term R Q‘(t) = UR(t) die Teilspan-nung am Widerstand R. Dieser zusätzliche Term be-schreibt die Dämpfung, denn im Widerstand R wird ein Teil der Energie dem Schwingungsvorgang entzogen.

33. Die elektromagnetische Schwingung Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Lösung der Differentialgleichung mit Die Kreisfrequenz  hängt wie bei der unge-dämpften Schwingung nur von L, C und R ab.

34. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung

35. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung

36. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – schwache Dämpfung x0 = 1;  = 4;  = 0.5

37. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall Nach einem kurzen Anstieg fällt die Amplitude mit einer durch die Dämpfung  be-stimmten Zeitkonstanten ab. x0=2; =2*; =25

38. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – der aperiodische Grenzfall Die Funktion verläuft ähnlich wie im Kriechfall, geht jedoch in der kürzestmöglichen Zeit gegen Null. x0=15; =2*; = 2*

39. Die elektromagnetische Schwingung Die aperiodische Dämpfung Feder Stoßdämpfer Aperiodische Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto

40. Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung

41. Die elektromagnetische Schwingung Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingung

42. Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied: Gleiche Amplitude und Frequenz

43. Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:0  Gleiche Amplitude und Frequenz

44. Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:beliebig Unterschiedliche Amplitude und Frequenz

45. Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen - die Schwebung Phasenunterschied:0  Gleiche Amplitude, geringer Frequenzunterschied

46. Schwingungen und Wellen Gekoppelte Schwingungssysteme Zwei schwingungsfähige Systeme, die einander beeinflussen und dabei Energie austauschen, bezeichnet man als gekop-pelte Schwingungssysteme. Simulation

47. Schwingungen und Wellen Welle Die Welle Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter schwingungsfähi-ger Systeme nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt. Der Wellenträger weist zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentaufnahme) eine räumlich periodische Vertei-lung der schwingungsfähigen Systeme aus. Jedes schwingungsfähige System führt eine zeitlich periodische Bewegung aus

48. Schwingungen und Wellen Die Transversalwelle Eine Welle, bei der die einzelnen Teilchen senkrecht zur Ausbrei-tungsrichtung der Wel-le schwingen, bezeich-net man als Quer- oder Transversalwelle.

49. Schwingungen und Wellen Die Longitudinalwelle Eine Welle, bei der die einzelnen Teil-chen in Richtung zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Längs- oder Longi-tudinalwelle.

50. Schwingungen und Wellen Wichtige Begriffe Wellenberg Als Wellenlänge, Sym-bol λ, wird der kleinste Abstand zweier Punkte gleicher Phase einer Welle bezeichnet. Dabei haben zwei Punkte die gleiche Phase, wenn sie sich in gleicher Weise begegnen, d. h. wenn sie im zeitlichen Ablauf die gleiche Auslenkung (Amplitude) und die gleiche Bewegungs-richtung haben. Wellental