Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları BÖLÜM V MATRİS KUVVET YÖNTEMİ

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yöntemin Esası Önce sadece denge koşullarını sağlayan uç kuvvetleri belirlenir. Bu uç kuvvetleri arasından bünye ve geometrik uygunluk koşullarını sağlayan uç kuvvet durumu seçilir. Daha sonra bu uç kuvvetlerine bağlı olarak tüm iç kuvvetler, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirmeler hesaplanır.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Hesabın başlangıcında, elemanlardaki tüm iç kuvvetler yerine bağımsız uç kuvvetleribelirlenir. Çünkü diğer uç kuvvetleri bunlara bağlı olarak hesaplanabilmektedir. Eleman : Dış kuvvetlerden oluşan iç kuvvetlerin bulunabildiği çubuk, çubuklar sistemi veya sürekli ortam parçası Düğüm Noktası : Elemanların birleştiği noktalar Uç Kuvvetleri : Elemanların düğüm noktalarındaki iç kuvvetleri Uç Yerdeğiştirmeleri : Uç kuvvetler doğrultusundaki yerdeğiştirmeler

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Mesnetlenmiş Eleman: İzostatik olarak mesnetlenen elemandır. Taşıyıcı olan elemanların ayrıca mesnetlenmesine gerek yoktur. Bağımsız Uç Kuvvetleri: Mesnetlenmiş elemanda mesnet tepkileri dışında kalan uç kuvvetleridir. Diğer uç kuvvetleri denge denklemleri ile bulunurlar veya bilinmektedirler. Bağımsız Uç Yerdeğiştirmeleri : Bağımsız uç kuvvetleri doğrultularındaki uç yerdeğiştirmeleridir.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İzostatik ve taşıyıcı olarak mesnetlendirilirler.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları (k) nolu elemanda bağımsız uç kuvvetleri ile bağımsız uç yerdeğiştirmeleri (196) Sistemin bağımsız uç kuvvetleri ve bağımsız uç yerdeğiştirmeleri matrisleri r : eleman sayısı

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Homojen Çözümler ve Özel Çözüm Homojen Çözüm Dış etkisiz sistemde sadece denge koşullarını sağlayan birbirinden lineer olarak bağımsız olan, bağımsız uç kuvvetleri durumlarıdır. Homojen çözümlerin sayısı n dir. Satır Sayısı : Bağımsız uç kuvvetlerinin sayısı Kolon Sayısı : Homojen çözümlerin sayısı (n)

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Homojen Çözümler ve Özel Çözüm Özel Çözümler Dış etkili sistemde denge koşullarını sağlayan herhangi bir bağımsız uç kuvvetleri durumudur.Terim sayısı elemanlardaki uç kuvvetlerinin toplam sayısına eşittir.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Genel Çözüm ............................................(1) [Px] ve [Pq] uç kuvvetleri denge koşullarını sağladıklarından, Xi sabitleri hangi değerleri alırlarsa alsınlar (1) ile bulunan [P] uç kuvvetleri de denge koşullarını sağlar. Bu uç kuvvetlerin çözüm olabilmesi için, Xi ler o şekilde seçilmelidir ki bünye ve geometrik süreklilik koşulları da sağlansın.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Homojen ve Özel Çözümlerin Bulunması Homojen Çözümlerin Bulunması Sistem düğüm noktalarından veya tek çubuklu elemanların herhangi bir yerinden kesilerek ayrılır, yeni sistemde tüm bağımsız uç kuvvetleri sadece denge denklemleri ile bulunabilir. Yapılan kesimlerde kaldırılan iç kuvvet ve/veya mesnet tepkilerinin sayısı (n) dir ve bu kuvvetler X1, X2,..., Xnile gösterilir. Bu sisteme ESAS SİSTEM denir. Esas sistem izostatik ise izostatik esas sistemadını alır. n hiperstatiklik derecesini gösterir. X1=1 diğer Xi=0 iken bulunan bağımsız uç kuvvetleri 1.Homojen çözüm X2=1 diğer Xi=0 iken bulunan bağımsız uç kuvvetleri 2.Homojen çözüm Xn=1 diğer Xi=0 iken bulunan bağımsız uç kuvvetleri n.Homojen çözüm Homojen çözümler elde edilirken, kesimlerde kaldırılan kuvvetler teker teker alınacak yerde, bunlardan oluşan kuvvet grupları da alınabilir.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Özel Çözümün Bulunması Dış etkilerden oluşan özel çözüm, kesimlerle elde edilen herhangi bir izostatik sistemden alınabilir. Sisteme çeşitli yüklerin etkimesi halinde, her yük için, kesimlerle elde edilen ayrı bir izostatik sistem kullanılabilir. Mesnetlenmiş Elemanda Uç Deplasmanları ile Uç Kuvvetleri Arasındaki Bağıntılar Herhangi bir (k) elemanında, bağımsız uç deplasmanları ile bağımsız uç kuvvetleri arasındaki bağıntılar

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Birim kuvvet (fleksibilite) matrisi Bu bağıntı bünye denklemlerini sağlamaktadır. Sistemdeki (r) adet eleman için toplu olarak yazılırsa Örnek : Doğru Eksenli Prizmatik bir (i-j) çubuğunda

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları ..........................................(2) Sistemin Birim Kuvvet (fleksibilite) Matrisi Eleman Birim Kuvvet (fleksibilite) Matrisi

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Geometrik Süreklilik Bağıntıları Geometrik süreklilik koşullullarını ifade eden bağıntılar virtüel iş teoremi ile elde edilebilir.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları (1) bağıntısındaki [X] sabitleri o şekilde seçilmelidir ki, (2) ve (3) koşulları sağlansın. Geometrik süreklilik denklemini bilinmeyenlere bağlı olarak, yani açık formda yazmak için (3) te [v] yerine (2) deki ifadesi, bu ifade de [p] yerine (1) deki karşılığı konulursa, Katsayılar Matrisi Sabitler Matrisi Bu matris esas köşegenine göre simetriktir. Denklem sistemi çözülerek [X] belirlenir. [X]  [P]  [v]  diğer iç kuvvet ve şekildeğiştirmeler

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düğüm Noktalarının Yerdeğiştirmelerinin Hesabı Virtüel İş Teoremi uygulanarak Virtüel şekildeğiştirme durumu (Yerdeğiştirmeleri Aranan Sistem) Yükleme Durumu (Birim Yükleme) Kesimlerle elde edilmiş herhangi bir izostatik sistemde birim yüklemeden oluşan bağımsız uç kuvvetleri matrisi İç Kuvvetlerin İşi = Dış Kuvvetlerin İşi Düğüm noktalarının yerdeğiştirmeleri bulunduktan sonra, eleman üzerindeki noktaların yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir.

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Hesap Düzeni (Algoritma) Temel Bağıntılar .............................................................................. (1) .............................................................................. (2) ............................................... (3) .......................................................................................... (4)

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı