Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı

1. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

2. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları BÖLÜM IV ÖZEL DURUMLAR Özel Mesnetler Simetrik Sistemler Mesnet Çökmeleri Elastik Zemine Oturan Çubuklar Yayılı Kütleli Çubuklar II. Mertebe Teorisi

3. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Özel Mesnetler Birinci Yaklaşım (i) mesneti kaldırılarak yerine bir sanal çubuk ilave edilir. Sanal çubuğun diğer ucu ankastre mesnet olarak alınır. Sanal çubuğun [k]ixix rijitlik matrisinin elemanları, elastik mesnetin redörlerine bağlı olarak belirlenir. Üç doğrultuda da elastik olan bir mesnette ; Sanal Eleman i-i’

4. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

5. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İkinci Yaklaşım Özel mesnetler, bağlı olan çubuğun birim yerdeğiştirme (rijitlik) ve yükleme matrisleri hesaplanırken dikkate alınır. Bir ucun mafsallı oluşu ya da bir ucun dönmeye karşı elastik mesnetli oluşu gibi.

6. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

7. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İki ucu ankastre çubuğa ait rijitlik matrisinden, bir ucu mafsallı çubuğa ait rijitlik matrisine geçiş k22 = k22 - k12 x k12 / k22

8. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üçüncü Yaklaşım Özel mesnetler de düğüm noktalarına katılır. [S] matrisinde bu düğüm noktalarının sıfır olan yerdeğiştirmelerine karşı gelen satır ve kolonlar silinir. Bu işlem sırasında silinecek satır ve kolonun bütün elemanları yerine sıfır yazılır. Köşegen üzerine 1 yazılır. [P] yük vektörü de sıfırlanır.

9. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Simetri Ekseni Üzerinde Düğüm Noktası Olduğu Durum : Simetrik Yükleme Sistemin simetri ekseni üzerindeki düğüm noktaları ve çubuklar da dahil olmak üzere yarısı alınır. [S] Matrisinde simetri ekseni üzerindeki düğüm noktalarının sıfır olan yerdeğiştirmelerine ait satır ve kolonlar silinir. Yani terimler sıfırlanır ve köşegen üzerine (1) konur. Simetri ekseniyle çakışan çubuklarda eleman rijitlik matrisinin yarısı alınır.

10. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

11. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Simetri Ekseni Üzerinde Düğüm Noktası Olduğu Durum : Antimetrik Yükleme Sistemin simetri ekseni üzerindeki düğüm noktaları ve çubuklar da dahil olmak üzere yarısı alınır. [S] Matrisinde simetri ekseni üzerindeki düğüm noktalarının sıfır olan yerdeğiştirmelerine ait satır ve kolonlar silinir. Yani terimler sıfırlanır ve köşegen üzerine (1) konur. Simetri ekseniyle çakışan çubuklarda birim deplasman matrisinin yarısı alınır.

12. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

13. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Simetri Ekseni Üzerinde Çubuk Olması Durumu : Simetrik Yükleme Sistemin yarısına ait düğüm noktalarına (i’) de katılır. [S] matrisinde (i) kolon ve satırlarına (i’) kolon ve satırlarından aynı işaretli olanlar eklenir, ters işaretli olanlar çıkarılır. (i’) düğüm noktasına ait satır ve kolonlar silinir, yani elemanları sıfırlanır ve köşegen üzerine 1 konur.

14. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları - - + - - +

15. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Simetri Ekseni Üzerinde Çubuk Olması Durumu : Antimetrik Yükleme Sistemin yarısına ait düğüm noktalarına (i’) de katılır. [S] matrisinde (i) kolon ve satırlarına (i’) kolon ve satırlarından aynı işaretli olanlar eklenir, ters işaretli olanlar çıkarılır. (i’) düğüm noktasına ait satır ve kolonlar silinir, yani elemanları sıfırlanır ve köşegen üzerine 1 konur.

16. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

17. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Diğer yol ise Sistemin yarısına ait düğüm noktaları alınır. Simetri ekseni üzerindeki elemanın rijitlik matrisi simetrik veya antimetrik şekildeğiştirme gözönünde tutularak hesaplanır. Sistemin yarısı ile hesap yapılır. İşlemden sonra kii kullanılır.

18. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Mesnet Çökmeleri Mesnet çökmesi olan mesnetler de düğüm noktalarına katılır. [S] matrisinde D1m,D2m ve D3m mesnet çökmeleri ilgili kolonlarla çarpılıp bulunan sabit kolonlar toplanıp, [Po] matrisine eklenir. (m) düğüm noktasına ait kolon ve satırlar sıfırlanıp, köşegen üzerine 1 konur.

19. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Bilinmeyen Yerdeğiştirmeler Bilinen Yerdeğiştirmeler

20. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

21. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İkinci yaklaşım; Uç yerdeğiştirmeleri sıfırken mesnet çökmelerinden meydana gelen uç kuvvetleri [Po] matrisinde dikkate alınır. [Po] = [k][d] [d] = Verilen mesnet çökmeleri [Po] matrisi kullanılarak dış yük durumu gibi hesap yapılır.

22. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düzgün Sıcaklık Değişimi Etkisi (Doğru eksenli prizmatik çubuk) d3= etl P5 P3 P3 = -k33x d3 P5 = P3

23. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Farklı Sıcaklık Değişimi Etkisi (Doğru Eksenli Prizmatik Çubuk) L, EI, d, e, Dt P20 P10 Simetrik şekildeğiştirme durumu: yön kabulüne göre d1i (-) , d2i (+) olmaktadır. d2i d1i

24. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Farklı Sıcaklık Değişimi Etkisi (Doğru Eksenli Prizmatik Çubuk) c=M/EI=dj/ds=eDt/d c Virtüel İş Teoremi kullanılarak M 1×d1i = ∫M1 c ds=(1/2) × L × 1 × eDt/d P10 = k11d10 - k12d20 P20 = - P10

25. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

26. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Kayma Şekildeğiştirmelerinin Etkisinin Dikkate Alındığı Çubuklar

27. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

28. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Kayma şekildeğiştirmeleri terkedilecekse F’ ye büyük değer verilir. Böylece b sıfıra yaklaşır.

29. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İkinci Mertebe Teorisi, Elastik Zemine Oturan Çubuklar, Atalet Kuvvetlerinin Gözönüne Alınması Durumu Kabuller Çubuklar doğru eksenli ve sabit kesitlidir. Normal kuvvet, zemin yatak katsayısı ve kütleler çubuk boyunca sabittir. Çubuk doğru eksenli küçük parçalara ayrılarak bu koşulların yaklaşık olarak sağlatılmasına çalışılır.

30. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Elastik Zemine Oturan Temel Kirişi Elastik Zemin Doğru eksenli sabit kesitli çubuklar EI,EF,m Bu özel hallerde, elemanların özellikleri rijitlik ve yükleme matrislerinin hesabında dikkate alınır.

31. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Normal kuvvetin ikinci mertebe etkisi Atalet kuvvetlerinin dikkate alındığı çubuk Elastik zemine oturan çubuk • N : Sabit eksenel kuvvet l : çubuk boyu • m : sabit yayılı kütle EI : Eğilme rijitliği • : açısal frekans • c : zemin yatak katsayısı

32. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Bir çubukta ara noktalardaki yerdeğiştirme ve kesit zorlarının hesabı: Bilinen uç kuvvetleri Bilinen uç kuvvetleri Ara Noktalar • Çubuk denge denklemleri • Ara noktalar da düğüm noktası olarak alınır.

33. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Ara Mafsal Durumunda Mafsala birleşen çubuk bir ucu mafsallı çubuk olarak alınır. Denklem takımına mafsalın olduğu noktada M=0 denklemi eklenir.