Logikbasierte Agenten

1. Logikbasierte Agenten

2. Überblick • Wissensbasierte Agenten • Bsp.: Wumpus-Welt • Logik im Allgemeinen, Modelle und Logische Konsequenz • Aussagenlogik • Inferenzregelen und Theorembeweise • Resolution • Vorwärtsverkettung, Rückwärtsverkettung

3. Wissensbasen • Wissensbasis = Menge von Sätzen in einer formalen Sprache (Wissensrepräsentationsprache) • Deklarativer Ansatz für den Bau eines Agenten: • Teile der Wissensbasis (WB) des Agenten das erforderliche Wissen mit (Tell) • Dann kann der Agent alle Fragen durch Anfrage bei der WB beantworten (Ask) • Zwei mögliche Ebenen zur Beschreibung von Agenten: • Wissensebene, d.h. Wissen des Agenten unabhängig von der Implementation • Implementationsebene, d.h. Datenstrukturen in WB + Algorithmen zu deren Verarbeitung

4. Ein einfacher wissensbasierter Agent Fähigkeiten des Agenten: • Repräsentation von Zuständen, Aktionen, etc. • Verarbeitung neuer Perzepte • Interne Repräsentation der Welt aktualisieren • Versteckte Eigenschaften der Welt logisch erschließen • Sinnvolle Aktionen erschließen

5. Peas-Beschreibung (Percepts, Environment, Actions, Sensors): Aktuatoren: Linksdrehung, Rechtsdrehung, Vorwärts, Greifen, Loslassen, Schießen Wahrnehmungen: Gesank, Luftzug, Glitzern, Bumms, Schrei Leistungsmaß: Gold: +1000, Tod: (durch Wumpus oder Falltür) -1000 -1 pro Schritt, -10 für Gebrauch des Pfeils Umgebung Raster von Quadraten Gestank in Quadraten neben Wumpus Luftzug in Quadraten neben Falltür Glitzern falls Gold im selben Quadrat Schießen in richtiger Richtung tötet Wumpus Nur ein Pfeil verfügbar Greifen sackt Gold ein (im aktuellen Quadrat) Loslassen läßt Gold im aktuellen Quadrat fallen Wumpus-Welt

6. Charakterisierung der Wumpus-Welt • Vollständig beobachtbar: Nein – nur lokale Perzeption • Deterministisch: Ja – Ergebnis von Aktionen exakt spezifiziert • Episodisch: Nein – sequenziell auf Ebene der Aktionen • Statisch Ja – Wumpus und Falltüren bewegen sich nicht • Diskret Ja • Single-Agent? Ja – Wumpus wird hier nicht als Gegenspieler definiert

7. Explorieren der Wumpus-Welt

8. Explorieren der Wumpus-Welt

9. Explorieren der Wumpus-Welt

10. Explorieren der Wumpus-Welt

11. Explorieren der Wumpus-Welt

12. Explorieren der Wumpus-Welt

13. Explorieren der Wumpus-Welt

14. Explorieren der Wumpus-Welt

15. Agent für Wumpus-Welt • Zwei Vorgehensweisen: • Programmiere spezielle Lösung für Wumpus-Welt • Führt wahrscheinlich schnell zum Ziel • Aber nicht verallgemeinerbar • Entwickle System, das • Notwendiges Wissen repräsentieren • Schlüsse ziehen und danach handeln kann • Weg 2 verspricht langfristig mehr Erfolg!

16. Logik (allgemein) • Logiken sind formale Sprachen zur Repräsentation von Information, die das Ziehen von Schlüssen erlauben. • Syntax definiert die Sätze der Sprache. • Semantik definiert die “Bedeutung" der Sätze: • D.h. definiert die Wahrheit eines Satz mit Bezug auf die Welt • Bsp.: Sprache der Arithmetik: • x+2 ≥ y ist ein Satz; x2+y > {} ist kein Satz • x+2 ≥ y ist wahr, wenn die Zahl x+2 nicht kleiner ist als y • x+2 ≥ y ist wahr in einer Welt wo x = 7, y = 1 • x+2 ≥ y ist falsch in einer Welt wo x = 0, y = 6

17. Logische Konsequenz (Entailment) • Logische Konsequenz heißt dass ein Satz b logisch aus einem Satz α folgt: α╞ b • α╞ b gilt genau dann, wenn in jedem Modell, in dem α wahr ist, auch b wahr ist. • Bsp.: x+y = 4 folgt aus 4 = x+y • D.h. falls α wahr ist, ist auch b wahr. • WB╞α bedeutet: Satz α folgt aus Wissensbasis WB dann und nur dann, wenn α in allen Welten wahr ist, in denen WB wahr ist. • Bsp.: Aus der WB, die die Sätze “Schalke hat gewonnen” und “HSV hat gewonnen” enthält, folgt: “Schalke hat gewonnen oder HSV hat gewonnen”. • Logische Konsequenz ist eine Beziehung zwischen Sätzen, die auf Semantik basiert.

18. Sprache als Beschreibung der Welt • Sätze der formalen Sprache sollten Aspekten der Welt entsprechen und sollten so beschaffen sein dass … • … auch gefolgerte neue Sätze Aspekten der Welt entsprechen ! • Problem: Was heißt hier „Welt“ ? • Wie kann Beziehung zwischen Welt und Sprache formalisiert werden? • Antwort: „Modell“ statt „Welt“

19. Modelle • Bisher: Semantik wurde über Wahrheit eines Satzes in einer Welt definiert. Problem: Begriff „Welt“ ist unpräzise. • Besser: „Modell“ statt „Welt“. • Modelle sind formale „Welten“, in denen die Wahrheit von Sätzen eindeutig festgestellt werden kann. • Z.B. wird die Frage, ob Wumpus medizinisch tot ist oder nur unschädlich, in die Abstraktion von der Welt zum Modell „verlagert“. • Damit ist die lebendig/tot auf Ebene der Modelle eindeutig geklärt. • m ist ein Modell von Satz α, wenn α in m wahr ist. • M(α) ist die Menge aller Modelle von α. • D.h. WB ╞ α falls M(WB)  M(α) • Z.B. WB = Schalke hat gewonnen und HSV hat gewonnenα = HSV hat gewonnen

20. Logische Konsequenz in der Wumpus-Welt • Vereinfachte Wumpus-Welt: Nur Falltüren • Situation nach folgender Perzeptions-Aktions Folge: • Keine Wahrnehmung in [1,1] • Gehe rechts • Luftzug in [2,1] • Betrachte mögliche Modelle für WB : 3 Boolesche Entscheidungen  8 mögliche Modelle

21. Wumpus Modelle

22. Wumpus Modelle • WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen

23. Wumpus Modelle • WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen • Aussage α1 = "[1,2] ist sicher“ • WB ╞ α1, Beweis durch Model-Checking

24. Wumpus Modelle • WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen

25. Wumpus Modelle • WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen • Aussage α2 = "[2,2] ist sicher" • WB ╞ α2 (d.h. α2 folgt nicht aus WB) • Beachte: Aus WB folgt aber auch nicht α2 ! (d.h. “Falltür in [2,2]" !

26. Inferenz • WB ├i α bedeutet “Satz α kann aus WB mittels des Inferenz-Algorithmus i abgeleitet werden”. • Korrektheit: i ist korrekt, wenn aus der Wahrheit von WB ├i α folgt dass auch WB╞ α wahr ist. • Vollständigkeit: i ist vollständig, wenn aus der Wahrheit von WB╞ α folgt dass auch WB ├i α wahr ist. • Vorschau: Wir werden eine Logik definieren (Logik 1. Ordnung), in der eine Vielzahl relevanter Fakten repräsentiert werden kann und für die korrekte und vollständige Inferenzregeln bekannt sind. • D.h. der Inferenz-Algorithmus kann jede Frage beantworten, deren Antwort aus den in der WB bekannten Fakten folgt.

27. Aussagenlogik: Syntax • Aussagenlogik … • ist eine sehr einfache Logik, • zeigt Ideen der Logik. • Syntax definiert erlaubte Sätze • Aussagensymbole (Großbuchstaben) P1, P2 etc. sind Sätze • Besondere Symbole: wahr, falsch • Komplexe Sätze: • Wenn S ein Satz ist, ist auch S ein Satz (Negation) • Wenn S1 und S2 Sätze sind, • ist auch S1 S2 ein Satz (Konjunktion) • ist auch S1 S2 ein Satz (Disjunktion) • ist auch S1 S2 ein Satz (Implikation) • ist auch S1 S2 ein Satz (Bikonditional)

28. Syntax der Aussagenlogik: Formale Grammtik Satz  AtomarerSatz | KomplexerSatz AtomarerSatz  True | False | Symbol Symbol  P | Q | R . . . KomplexerSatz   Satz | (Satz  Satz) | (Satz  Satz) | (Satz  Satz) | (Satz  Satz)

29. Aussagenlogik: Semantik • Semantik definiert, wie Wahrheit eines Satzes in Bezug auf ein Modell bestimmt wird. • Jedes Modell legt die Wahrheitswerte wahr/falsch für jedes Aussagesymbol fest: Z.B. P1,2 P2,2 P3,1 falsch wahr falsch • Für aus den drei Symbolen P1,2, P2,2, P3,1 gebildete Sätze sind 8 Modelle möglich. • Folgende Regeln definieren, wie Wahrheitswert für Komplexe Sätze bezüglich eines Modells m ermittelt werden: S ist wahr wenn S falsch ist S1 S2 ist wahr wenn S1 wahr ist und S2 wahr ist S1 S2 ist wahr wenn S1 wahr ist oder S2 wahr ist S1 S2 ist wahr wenn S1 falsch ist oder S2 wahr ist d.h. ist falsch wenn S1 wahr ist und S2 falsch ist S1 S2 ist wahr wenn S1S2 wahr ist und S2S1 wahr ist • Einfacher rekursiver Prozess zum Auswerten beliebiger Sätze, z.B. P1,2  (P2,2 P3,1) = wahr (wahr  falsch) = wahr wahr = wahr

30. Semantik: Wahrheitstabelle der Verknüpfungen • Beachte: Implikation bedeutet nicht kausalen Zusammenhang zwischen P und Q.

31. Gültigkeit und Erfüllbarkeit Ein Satz ist gültig, wenn er für alle Modelle wahr ist. Z.B. A A, A  A, (A  (A  B))  B Satz A (wobei A Literal) ist also nicht gültig (obwohl er wahr sein kann) Gültigkeit und Inferenz hängen zusammen über das Deduktionstheorem: WB ╞ α dann und nur dann, wenn (WB α) gültig ist. Ein Satz ist erfüllbar, wenn er in mindestens einem Modell wahr ist. Z.B. A B, C Ein Satz ist unerfüllbar, wenn er in keinem Modell wahr ist. Z.B. AA Erfüllbarkeit und Konsequenz hängen folgendermaßen zusammen: WB ╞ α dann und nur dann, wenn (WBα) unerfüllbar ist.

32. Logische Äquivalenz • Zwei Sätze sind logisch äquivalent wenn sie für dieselben Modelle wahr sind: α ≡ ß wenn α╞ βund β╞ α

33. Überblick: Konsequenz, Äquivalenz, Implikation, Bikonditional • Logische Konsequenz: α╞ b • Begriff der Logik (nicht nur der Aussagenlogik) • Beziehung zwischen zwei Sätzen, basierend auf Semantik • Gilt, wenn in jedem Modell, in dem α wahr ist, auch b wahr ist: M(α)  M(b). • Achtung: Umgangssprachlich: „Aus α folgtb“. • Äquivalenz: α ≡ ß • Begriff der Logik • Beziehung zwischen zwei Sätzen • Gilt, wenn α und b für dieselben Modelle wahr sind: α╞ βund β╞ α • Implikation: A  B • Begriff der Aussagenlogik • A  B ist ein Satz, gebildet aus zwei anderen Sätzen • Wahrheit dieses Satzes ist definiert über Semantik (geg. durch Wahrheitstabelle). • A  B ist wahr falls A falsch oder B wahr ist. • Bikonditional: A B • Begriff der Aussagenlogik • Cf. Implikation, aber Implikation in beiden Richtungen • Achtung: Umgangssprachlich: „A äquivalent B“.

34. Wissensbasis • Wissensbasis ist Sammlung wahrer Sätze • Die Sätze können auch als ein wahrer Satz aufgefasst werden (Konjunktion aller Einzelsätze) • Sätze beziehen sich sowohl auf • Generell gültige Aussagen („Wumpus stinkt in 4er-Nachbarschaft“) • Aktuelle Perzepte („Gestank hier und jetzt“) Beispiel: • Sei Pi,j wahr wenn eine Falltür (pit) bei [i, j] ist. • Sei Bi,j wahr wenn Luftzug (breeze) bei [i, j] ist. WB: • Sätze aus Perzepten: „[1,1] ok, Breeze in [2,1]“ •  P1,1 • B1,1 • B2,1 • Generelles Weltwissen: „Falltüren verursachen Luftzug in angrenzenden Quadraten“: 4. B1,1 (P1,2 P2,1) 5. B2,1  (P1,1 P2,2  P3,1)

35. Inferenz durch Aufzählung (Model-Checking) • Aufgabe: Feststellen, ob ein Satz a Konsequenz der Wissensbasis ist: WB╞ a ? • Beispiel: IstP2,2 Konsequenz der WB? • Ansatz: „Beweis durch vollständiges Ausprobieren“ in der Wahrheitstabelle • Liste alle Modelle auf, d.h. alle möglichen Wahrheitswerte aller beteiligten atomaren Sätze • Stelle fest, für welche Modelle WB wahr ist • WB╞ a gilt, falls a wahr ist für alle Modelle, für die WB wahr ist.

36. Inferenz durch Aufzählung: Beispiel • Nur für 3 Zeilen ist WB wahr • P2,2 ist in einer dieser Zeilen nicht wahr • Also ist P2,2 nicht Konsequenz der WB (denn es könnte auch P3,1 wahr sein) • Es ist aber auch nicht  P2,2 Konsequenz aus WB (P2,2 könnte wahr sein)

37. Inferenz durch Aufzählung: Algorithmus • Depth-first Aufzählung aller Modelle ist korrekt und vollständig. • Verwendet wie Backtracking partielle (d.h. nicht vollständige) Modelle • Für n Symbole ist Zeitkomplexität O(2n), Raumkomplexität O(n) • TT -- Truth Table, PL – Propositional Logik • PL-True(a,m) gibt wahr zurück, falls Satz a für Modell m gilt. • Extend(P,w,m) gibt neues Modell m zurück, in dem P Wahrheitswert w hat.

38. Beweismethoden Beweismethoden können grob in zwei Arten eingeteilt werden: • Model-Checking • Wahrheitstabelle zählt alle Möglichkeiten auf (exponentiell in n) • Verbessertes Backtracking, z.B. Davis-Putnam-Logemann-Loveland (DPLL) • Heuristische Suche im Modell-Raum (zulässig aber unvollständig) z.B. Min-Conflicts-ähnliche Hill-Climbing Algorithmen • Anwendung von Inferenzregeln • Zulässige Generierung neuer Sätze aus bekannten. • Beweis = Folge nacheinander angewandter Inferenzregeln, die als Operatoren in Standard-Suche angesehen werden können. • Normalerweise Transformation der Sätze in Normalform nötig (als „Eingabeformat“ für den Inferenzalgorithmus).

39. Inferenzregeln • Modus Ponens: Heißt: Sind die Sätze und a vorgegeben, so kann Satz b geschlossen werden („Satz ist vorgegeben“ heißt „die Wahrheit des Satzes ist vorgegeben“). • Und-Eliminierung: • Bikonditional-Eliminierung:

40. Begriffe: Literal, Klausel • Literal: Atomarer Satz oder dessen Negation • Klausel: Disjunktion von Literalen

41. Inferenzregeln: Resolution • Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion von Disjunktionen von Literalen z.B. (A B)  (B C D) • Resolution: Inferenzregel (für KNF): l1… lk, m1 … mn l1 … li-1 li+1  … lkm1 … ml-1 ml+1... mn wobei li und ml komplementäre Literale sind. Z.B. P1,3P2,2, P2,2 P1,3 • Resolution ist korrekt und vollständig.

42. Resolution: Korrektheit l1 … li-1 li+1  … lk ist entweder wahr oder falsch. Falls wahr: Dann ist auch l1 … li-1 li+1  … lkm1 … ml-1 ml+1... mn wahr Falls falsch: Dann istli wahr, folglich ist ml falsch und damit m1 … ml-1 ml+1...mn wahr. Dann ist auch l1 … li-1 li+1  … lkm1 … ml-1 ml+1... mn wahr.

43. Umwandlung in KNF B1,1 (P1,2 P2,1) • Eliminiere  : Ersetze α  β mit (α  β)(β  α). (B1,1 (P1,2 P2,1))  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 2. Eliminiere  : Ersetze α  β mit α β. (B1,1 P1,2 P2,1)  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 3. Ziehe  in die Klammern mittels de Morgan's Regeln und ggf. Doppel-Negation: (B1,1  P1,2 P2,1)  ((P1,2 P2,1)  B1,1) 4. Wende Distributiv-Gesetz an: (B1,1 P1,2 P2,1)  (P1,2  B1,1)  (P2,1 B1,1) KNF erreicht !

44. Resolutionsalgorithmus: Beispiel WB = (B1,1 (P1,2 P2,1))  B1,1 α = P1,2 Fehler: P2,1

45. Resolutionsalgorithmus Idee: Beweis durch Widerspruch, d.h. zeige WBα unerfüllbar

46. Vorwärts- und Rückwärtsverkettung • Praxis: WB enthält häufig nur Konjunktion von Horn-Klauseln, so dass Resolution durch einfachere Algorithmen ersetzt werden kann. • Horn-Klausel: • Symbol (atomare Aussage); oder • (Konjunktion von Symbolen)  Symbol • z.B. C  (B  A)  (C  D  B) • Modus Ponens (für Horn-Klauseln): Vollständig für Horn-WB α1, … ,αn, α1 …  αnβ β • Ermöglicht Verwendung einfacher Inferenzalgorithmen wie Vorwärtsverkettung und Rückwärtsverkettung. • Diese Algorithmen sind intuitiv verständlich und linear in der Zeit.

47. Vorwärtsverkettung • Idee: • Eliminiere jede Regel, deren Prämissen in der WB erfüllt sind, • füge ihre Konsequenz der WB hinzu, • bis die Anfrage gefunden wurde. • Vorwärtsverkettung ist korrekt und vollständig für Horn-WB.

48. Vorwärtsverkettung: Algorithmus • Count: Für jede Implikation die Zahl noch unbekannter Prämissen • Agenda: Als wahr bekannte, noch nicht verarbeitete Symbole

49. Vorwärtsverkettung: Beispiel

50. Vorwärtsverkettung: Beispiel