Bloc 2 : Modèles d’optimisation par la programmation linéaire

1. Bloc 2 : Modèles d’optimisation par la programmation linéaire Mohamed Ali Aloulou aloulou@lamsade.dauphine.fr

2. Plan du bloc 2 • Présentation générale et exemples • Forme générale d’un PL • Résolution géométrique (2 variables) • Les différents résultats d’un PL • Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel • Programmation linéaire en nombres entiers

3. Présentation générale et exemples • Exemple 1 : Une usine fabrique 2 produits finis P1 et P2 à l’aide de 3 matières premières M1,M2 et M3 selon le procédé suivant Question Comment organiser la production de manière à atteindre le CA le plus élevé ?

4. Présentation générale et exemples • Modélisation de l’exemple 1 • Définition des variables de décision : ce sur quoi porte la décision • x1 : nombre d’unités de P1 à produire • x2 : nombre d’unités de P2 à produire • Spécification des contraintes du problème • Contraintes liées à la disponibilité des MP • Contraintes de non négativité • Spécification de la fonction objectif • Maximiser CA = 2x1+3x2 • Écriture du modèle (récap)

5. Présentation générale et exemples • Exemple 2 : Une raffinerie produit du super SP98 (P1) et du super SP95 (P2) à partir de 3 constituants C1,C2 et C3. Question Chercher la structure de production journalière qui maximise la marge d’exploitation de la raffinerie.

6. Présentation générale et exemples • Modélisation de l’exemple 2 • Définition des variables de décision • Ui : Quantité journalière du constituant Ci utilisée (en baril), i=1,2,3 • Vj : Quantité journalière du carburants Pj produite (en baril), j=1,2 • Xij : Quantité journalière du constituant Ci intervenant dans le carburant Pj (en baril), i=1,2,3 et j=1,2 • Lien entre les variables de décision

7. Présentation générale et exemples • Modélisation de l’exemple 2 • Spécification des contraintes du problème • Contraintes liées à la disponibilité des constituants • Contraintes liées au respect des proportions • Contraintes de non négativité • Spécification de la fonction objectif 22V1+18V2 – (12U1+24U2+20U3) CA Coût

8. Forme générale d’un PL • Un PL peut s’écrire Max ou Min jcj xj jaij xj ≤ bi pour i =1,…,m1 jaij xj ≥ bi pour i =m1+1,…,m1+m2 jaij xj = bi pour i =m1+m2+1,…,m1+m2+m3 xj ≥ 0 pour j =1,…, n1 xj ≤ 0 pour j =n1+1,…, n1+n2 xj s.r.s. pour j =n1+n2+1,…, n1+n2+n3

9. Résolution géométrique • Illustration avec l’exemple 1 : Max 2x1 + 3x2 x1 + 6x2 ≤ 30 2x1 + 2x2 ≤ 15 4x1 + x2 ≤ 24 x1,x2 ≥0

10. Résolution géométrique • Représentation géométrique de l’ensemble des solutions réalisables • Chaque solution est un couple de valeurs (x1,x2). Elle est représentée par un point de IR² • Chaque contrainte élimine un demi-plan de IR² délimité par la droite associée à la contrainte • L’ensemble des solutions réalisables est un sous-ensemble de points EIR², appelé polyèdre des solutions réalisables

11. Résolution géométrique • Représentation géométrique de l’ensemble des solutions réalisables

12. Résolution géométrique • Résolution géométrique • Tous les points de la droite 2x1 + 3x2 = M (D) donnent la même valeur M à la fonction objectif • On remarque qu’en déplaçant la droite (D) vers le Nord-Est on obtient 2x1 + 3x2 = M’ (D) avec M’>M • On continue jusqu’à ce qu’on trouve le dernier point admissible : ici c’est le point B.

13. Résolution géométrique • Résolution géométrique • D’une façon générale, la direction déterminée par le gradient de la fonction objectif est une direction d’augmentation de cette fonction • Vecteur gradient f(x1,x2) = (f/x1, f/x2) • Si f(x1,x2)= 2x1+3x2 alors f(x1,x2) =(2,3)

14. Résolution géométrique • Introduction graphique à l’analyse de sensibilité • Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant l’optimum ? • Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en matière première M3 sans changer de solution optimale • Question 3 : On a la possibilité de disposer d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?

15. Résolution géométrique • Introduction graphique à l’analyse de sensibilité • Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant l’optimum ? • (D) : c1x1+c2x2 • Il faut que la pente de (D) soit comprise entre celle de (D1) et celle de (D2)  -1 ≤ -c1/c2 ≤ -1/6

16. Résolution géométrique • Introduction graphique à l’analyse de sensibilité • Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en M3 sans changer de solution optimale • La contrainte associée à M3 4x1+x2 ≤ d =24 n’est pas active. • Si on diminue d, on déplace parallèlement la droite vers l’ouest • La valeur limite est obtenue quand la droite passe par B

17. Résolution géométrique • Introduction graphique à l’analyse de sensibilité • Question 3 : On a la possibilité de disposer d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?

18. Les différents résultats d’un PL • Cas usuel • Le PL a une solution optimale unique • Cette solution correspond à un somment du polyèdre : ceci reste vrai même si n>2 • Résultat général : Si un PL admet une ou plusieurs solutions optimales alors une au moins de ces solutions est un sommet du polyèdre des solutions réalisable

19. Les différents résultats d’un PL • Plusieurs solutions optimales Max x1 + x2 x1 + x2 ≤ 2 x1 ≤ 1 x1,x2 ≥0 • L’ensemble des solutions optimales se situe sur le segment [A,B] : ensemble infini

20. Les différents résultats d’un PL • Aucune solution optimale c.1 E=vide Max 2x1 + x2 x1 + x2 ≤ 2 x1 ≥ 3 x1,x2 ≥0 c.2 E non borné Max 2x1 + x2 x1 + x2 ≥ 2 x1 ≤ 1 x1,x2 ≥0 Attention : E peut être non borné et admettre une solution optimale

21. Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel

22. Programmation linéaire en nombres entiers