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Tema 13.4

Tema 13.4. AREAS DE CONOS. Cono. Área lateral Es el área de la superficie curva que genera, que es un sector circular. Al = π .r.g Siendo r el radio de la base, que es un círculo. Y g la generatriz del cono. Área de la base Es el área del círculo que la forma. Ab = π .r 2

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  1. Tema 13.4 AREAS DE CONOS Apuntes Matemáticas 2º ESO

  2. Cono • Área lateral • Es el área de la superficie curva que genera, que es un sector circular. • Al = π.r.g • Siendo r el radio de la base, que es un círculo. • Y g la generatriz del cono. • Área de la base • Es el área del círculo que la forma. Ab = π.r2 • Área total • Es la suma del área lateral y de la única base. • At = π.r.g + π.r2 Apuntes Matemáticas 2º ESO

  3. Ejemplo_1 • El diámetro de la base de un cono mide 10 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el área lateral y el total del cono. • El área de la base es: Ab = π.r2 = π.(10/2)2 = 25 π cm2 • La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio de la base y la altura del cono: • g = √ (r2 + h2 )  g = √ (52 + 122) = √ (25 + 144) = √ 169 = 13 cm • El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.13 = 65. π cm2 • El área total será: • At = Ab + Al = 25 π + 65π = 90π cm2 Apuntes Matemáticas 2º ESO

  4. Ejemplo_2 • El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. • El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 • El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g • Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 • Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: • h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 • El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. • IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. Apuntes Matemáticas 2º ESO

  5. Ejemplo_3 • El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. • Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2 72 = (h - 5)2 + h2 • Operando: 49 = h2 – 10.h + 25 + h2 2.h2 – 10.h – 24 = 0 • Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 • Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm • El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm • El área laterales: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) • Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) • Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 Apuntes Matemáticas 2º ESO

  6. TRONCO DE CONO • Área lateral • Es el área del segmento circular (parte de una corona circular) que se forma en su desarrollo. • Al = (R+r).л.g • Siendo R el radio del círculo de la base mayor. • Siendo r el radio del círculo de la base menor. • Y g la generatriz del tronco de cono. • Área de la base • Ab = л.R2 • A’b = л.r2 • Área total • Es la suma del área lateral y de las bases. • At = (R+r).л.g + л.R2 + л.r2 Apuntes Matemáticas 2º ESO

  7. Ejemplo_1 • La altura de un tronco de cono mide 12 cm y el radio de las bases miden 11 y 6 cm. Hallar el área lateral. • El área lateral es: • Al = 3,1416.(R+r).g • La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. • g = √ [122 + (11-6)2)] = √ (122 + 52) = • = √ (144 + 25) = √ 169 = 13 cm • Luego: Al = 3,1416.(11+6). 13 = • = 694,29 cm2 r=6 g h=12 R=11 Apuntes Matemáticas 2º ESO

  8. Ejemplo_2 • La altura de un tronco de cono mide 72 cm. El diámetro de la base mayor mide 52 cm y el área de la base menor es de 659 cm2 . Hallar el área lateral. • El área lateral es: • Al = 3,1416.(R+r).g • Calculamos los radios: • R=D/2 = 52/2 = 27 cm • A’b=3,1416.r2 • 659=3,1416.r2  r2 = 659 / 3,1416 = 209,77  • r= √ 209,77 = 14,48 cm • La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. • g = √ [722 + (27-14,48)2)] = √ (122 + 52) = • = √ (5184 + 156,67) = √ 5340,67 = 73,08 cm • Luego: Al = 3,1416.(27+14,48). 73,08 = • = 9523,30 cm2 A’b=659 cm2 g h=72 cm D=52 cm Apuntes Matemáticas 2º ESO

  9. r=6 g h=12 • Ejemplo_3 • Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. • El volumen será: • V = (π.R2+π. r2).h / 2 • V = (π.112+ π.62).12 / 2 • V = 942.πcm2 • Ejemplo_4 • Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. • El volumen será: • V = 885,6704.π.R2+π. r2).h / 2 • V = (π.262+ π.14,482).72 / 2 • V = 2782,4221.36 = 100167,1966 cm3 R=11 r =14,48 g h=72 d=52 Apuntes Matemáticas 2º ESO

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