Proposición

1. Proposición • Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa • Es una sentencia declarativa. • Representa un hecho de la realidad. • Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. • Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

2. Ejemplos • 1 + 4 = 5 (Verdad) • La Pampa es una nación. (Falso) • 8 + 23 (no es proposición) • María (ídem anterior) Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

3. Proposición Atómica • Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa. • Ejemplos: • La casa es grande. (es atómica) • La casa no es grande. ( no es atómica) • Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

4. Proposición Molecular • Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

5. Proposiciones Moleculares • Ejemplos • Vamos en bicicleta o vamos a pie. • No es cierto que Juan llegó temprano • Juan no llegó temprano • Luis es arquitecto y Martín es médico. • La medalla no es de plata y el diploma parece falso. • Matías aprobó pero Lucas no.

6. Simbolización • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. • Ejemplo: • El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr.Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p.

7. Simbolización • Para simbolizar un proposición • Identificar las proposiciones simples o atómicas • Simbolizar las proposiciones simples o atómicas encontradas. • Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

8. Simbolización • Ejemplos • Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q • No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : p

9. Simbolización • Ejemplo • La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q

10. Simbolización • Ejemplo • Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^  s

11. La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” • La temperatura estásobre los 17°C pero llueve. • Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. • No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. • Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. • Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. • O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

12. Tabla de Verdad • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

13. 

14. Negación • Indique el valor de verdad de: • El número 9 no es divisible por 3. • No es cierto que los perros vuelan.  p

15. Conjunción • Indique el valor de verdad de : • 6 es un número par y divisible por 3. • ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

16. Disyunción • Indique el valor de verdad de : • 2 es primo o es impar. • (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

17. Construcción de tablas de verdad • ¿Cuántas filas tiene la tabla? • 1 proposición  2 valores (V o F) • 2 proposiciones  4 valores de verdad • 3 proposiciones  8 valores de verdad • ......... • n proposiciones  2n valores de verdad.

18. Ejemplos • Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)    

19. Ejercicio • Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^  (r v  s ) v ( q ^  r )

20. Ejercicio • Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 

21. Ejercicio • Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen   

22. Proposiciones moleculares • Según su valor de verdad pueden ser • Tautología • Contradicción • Contingencia

23. Tautología • Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p v p 

24. Contradicción • Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p ^ p 

25. Contingencia • Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos. • Ejemplo: p ^ q

26. Ejercicios • Formaliza las siguientes proposiciones: • No es cierto que no me guste bailar • Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. • Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. • Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. • Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. • Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. • Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar. • ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? • ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

27. Equivalencia Lógica • Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) • Ejemplo:  (p  q)  p   q

28. Ejemplo:  (p  q)  p   q

29. Leyes de De Morgan • La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.  (p  q)  p   q • La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.  (p  q)  p   q

30. Proposición condicional • Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

31. Proposición condicional • Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos entonces aprenderemos matemática p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos " q = "aprenderemos matemática" Simbolizando: p  q

32. Proposición condicional • Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p   q

33. Tabla de verdad del condicional La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

34. Proposición Condicional • Existen distintas formas de leer un condicional: • “Sip entoncesq”. • “q es una condición necesaria parap” • “p es una condición suficiente para q”.

35. Distintas formas de indicar una proposición condicional • Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par • Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par • Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par • Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

36. Proposición condicional • La contra positiva de la proposición condicional p  q es la proposición  q   p • Muestre la equivalencia lógica: p  q   q  p

37. Proposición bicondicional • Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

38. p q  (pq) ^ (q  p)

39. 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes quep  q es falsa. a) p  q b) q  p c) p p d) p  q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p  q )  r  ( s  t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p   q )  q b) ( p  q )  ( p  q ) c) q  (pq)