Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

1. Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.ac Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

2. Capítulo 2El campo gravitacional y sus anomalías • Nomenclatura: • W = potencial de gravedad real • U = potencial de gravedad normal • V = potencial gravitacional •  = potencial centrifugo Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

3. Se cumplen la relaciones: • V es el potencial gravitacional y es armónico fuera de las masas terrestres. • Debido a la rotación terrestre, existe una aceleración centrifuga. • Se asume una rotación con una velocidad angular () constante. • La aceleración centrifuga está dirigida hacia el exterior, de forma perpendicular al eje de rotación. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

4. Aceleración centrifuga Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

5. Se define el potencial centrifugo  como el potencial cuyo gradiente es la aceleración centrifuga. • Además, se define la velocidad angular • () de la siguiente manera: • Se define la aceleración centrifuga de la • siguiente manera: • El parámetro p se como: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

6. Por lo tanto, el potencial centrifugo • es equivalente a: • Se define el potencial de gravedad • de la siguiente manera: • Expresado de otra forma: • La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la gravitación b y la aceleración centrifuga z. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

7. El campo de gravedad normal • Primera aproximación: la Tierra representada por una esfera. • Segunda aproximación: la Tierra representada por un elipsoide de revolución. • Ningún elipsoide es igual a la forma real de la Tierra. • Pero el campo de gravedad que se puede asociar es muy importante  es fácil de manejar de forma matemática. • Las diferencias entre el C.G del elipsoide y el C.G real de la Tierra son tan pequeñas, que se pueden considerar lineales. • Como consecuencia, es mas sencillo estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo de gravedad. • Este modelo nos dará las diferencias del mismo en relación con el Geoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

8. El campo de gravedad normal • Se asume entonces que la Tierra es un elipsoide de nivel, esto es, un elipsoide de revolución, cuya superficie es una superficie equipotencial del campo de gravedad asociado al elipsoide. • A este campo, asociado al elipsoide, lo llamaremos “Campo de Gravedad Normal” y al elipsoide al que se le asocia este campo “Elipsoide Normal” • Una ventaja de este elipsoide normal es que le puedo asociar un sistema de coordenadas elipsoídicas. • Al definir el elipsoide normal, lo que se logró fue encontrar una buena aproximación al geoide, que es matemáticamente simple y cuyas diferencias con el geoide son muy pequeñas. • Al campo de gravedad normal, le asociamos un “potencial de gravedad normal”, que denotamos como U. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

9. El campo de gravedad normal • Además, al elipsoide normal se le asocia una masa M y una rotación, con una velocidad angular . Geoide El elipsoide normal posee masa y rotación Elipsoide normal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

10. El campo de gravedad normal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

11. El campo de gravedad normal • Aclaración: se sabe que el potencial depende de la distribución de masas en el interior de las masas atrayentes; en el caso del elipsoide normal, nos basta con suponer que la masa total es M, sin importar si no se conoce con detalle como se comporta la densidad dentro del elipsoide. • Por tanto, este elipsoide cumple las siguientes condiciones: • Su masa coincide con la de la Tierra, por lo que el valor GM se mantiene. • La masa del elipsoide tiene una distribución homogénea (una densidad constante, no importa cual) y gira en el espacio con una velocidad angular igual a la de la Tierra. • El centro del elipsoide coincide con el centro de la Tierra. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

12. El campo de gravedad normal • Definimos el potencial de gravedad normalde la siguiente forma: • El potencial gravitacional normalVelipsoide es generado por la masa del elipsoide. • El vector de gravedad normal es el gradiente del potencial de gravedad normal: • Una característica del elipsoide normal es que las superficies equipotenciales son de forma elipsoidal, concéntricas y paralelas entre si. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

13. El campo de gravedad normal • Recordar que las superficies equipotenciales del campo de gravedad real NO son paralelas. • El valor de U en cada punto depende de las dimensiones del elipsoide que se tome como referencia. • Entonces, se impone como condición que el potencial normal en la superficie del elipsoide sea igual a Wo, esto es el potencial de gravedad real sobre la superficie del geoide. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

14. Superficies de nivel en el campo de gravedad real Prof: José Fco Valverde Calderón

15. Campo de gravedad real y normal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

16. El elipsoide normal se puede definir con cuatro parámetros: • La forma y el tamaño del elipsoide (a,b) , (a,f); • Una velocidad angular ; • La masa M. • Se puede definir una fórmula para calcular el potencial de gravedad normal de la siguiente manera: • Las únicas constantes en la anterior fórmula son kM (en algunos libros GM), a, b y . (1) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

17. Con q y qo (2) (3) Elipsoide normal  = latitud reducida Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

18. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

19. Teorema de Stokes-Poincare • “Si un cuerpo de masa total M rota con una velocidad angular () constante alrededor de un eje fijo y si Ses una superficie de nivel de su campo de gravedad, encerrando toda la masa M, entonces el potencial de gravedad en el espacio exteriordeSes determinado deforma única por medio de los parámetros masa, velocidad angular y S. • Donde S queda definida por los parámetros geométricos del elipsoide. Haciendo que u=b, q=qose tiene: (4) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

20. Fórmula de Somigliana • La fórmula de Somiglianapermite calcular el valor de la gravedad normalen la superficie del elipsoide normal, para una latitud reducida : • En términos de la latitud reducida : (5) • En términos de la latitud geodésica : (6) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

21. Considerando que: • a= gravedad normal en el ecuador • b=gravedad normal en el polo • a = semieje mayor del elipsoide • b =semieje menor del elipsoide • =latitud reducida •  = latitud geodésica • La gravedad normal para una latitud dada, es una función de los valores de la gravedad normal en el ecuador, el polo y la geometría del elipsoide de referencia. (7) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

22. Teorema de Clairaut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

23. Teorema de Clairaut (8) (9) (10) (11) Forma rigurosa de una aproximación del teorema de Clairaut (12) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

24. Teorema de Clairaut • Considerando la siguiente expresión: • Donde f es el achatamiento geométrico del elipsoide • Si se hace  = 90º, r = b,  = b • Despejando f y f*: (13) (14) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

25. Teorema de Clairaut • Luego se tiene: • Cuya fórmula equivale al teorema de Clairaut en su forma original. (15) • El teorema de Clairaut es uno de los teoremas mas notables de la geodesia física: • El achatamiento geométrico f, puede calcularse por medio de la determinación de f*ym, las cuales son cantidades netamente dinámicas obtenidas por medio de mediciones gravimétricas, es decir,el achatamiento de la Tierra se puede determinar a partir de mediciones gravimétricas. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

26. Teorema de Clairaut • Donde f es el achatamiento del elipsoide geométrico y f* es el achatamiento gravimétrico o achatamiento por gravedad. • Considerando m es igual a: • Donde: • 2a = fuerza centrifuga en el Ecuador • a = gravedad normal en el Ecuador (16) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

27. Otras expresiones: • Potencial normal: (17) • Gravedad normal en el ecuador y el polo: (18) (19) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

28. Teorema de Clairaut: (20) • La razón 2b/a se puede expresar como: • Para mas información, ver de la página 69 a la 81 del libro “Geodesia Física” de Hoffman-Wellenhof y H. Moritz (21) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

29. Gravedad normal a una altura h • Se puede calcular la gravedad normal para un punto con latitud , que se encuentra a unaaltura hde la siguiente manera: • Donde o se calcula con base a valores, que varían cada cierto periodo. Se puede calcular la o con base a la formula: (22) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

30. Gravedad normal a una altura h • Para el GRS-67, se tiene: • Para el GRS-80, se tiene: • También es valido para el GRS80: (23) (24) (25) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

31. Sistema de referencia geodésico GRS80 • A través de los años, se han adoptado diferentes sistemas geodésicos, los cuales han sido definidos a partir de los cuatro parámetros que definen el elipsoide normal. • El mas actual* es el GRS 80, definido por a, J2, KM y  • El coeficiente J2 se llama “factor de forma dinámica” Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

32. Sistema de referencia geodésico WGS84 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón