DANE INFORMACYJNE.

2. DANE INFORMACYJNE. • Nazwa szkoły: • II Liceum Ogólnokształcące im. ks. prof.J. Tischnera w Wałczu • ID grupy: 97/49_MF_G1 • Opiekun: Beata Łojewska • Kompetencja: matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: Elementy geometrii trójkąta • Semestr/rok szkolny: semestr V 2011/2012

3. SPIS TREŚCI. • Cele projektu. • Trójkąt i jego rodzaje. • Charakterystyczne odcinki trójkąta i ich własności. • Wysokości w trójkącie. • Środkowe w trójkącie. • Symetralne boków trójkąta. • Okrąg opisany na trójkącie • Tw. Lemoine. • Dwusieczne kątów w trójkącie. • Tw. o dwusiecznej. • Okrąg wpisany w trójkąt. • Okrąg dopisany do trójkąta • Wzory związane z polem trójkąta • Tw. Sinusów; dowód, historia, zadania • Tw. Cosinusów; dowód, historia. • Szczególne proste związane z trójkątem. • Prosta Simsona • Prosta Eulera • Prosta Cevy. • Symediana. • Tw. Menelaosa. • Szczególne punkty związane z trójkątem. • Punkt Fermata. • Punkt Gergonne’a • Okrąg dziewięciu punktów. • ( tw. Feuerbacha, tw. Hamiltona) • Cechy podobieństwa i przystawania trójkątów • Zadania. • Literatura.

4. OKREŚLENIE CELÓW PROJEKTU. *Celem projektu przedstawionego w tej prezentacji jest : • rozwijanie intuicji geometrycznej, • utrwalenie i doskonalenie sprawności w posługiwaniu się pojęciami geometrycznymi. *Przy realizacji projektu interesowało nas: • Kto , kiedy , w jakich okolicznościach formułował i udowadniał własności trójkątów. • Jakie są zastosowania poznanych własności trójkątów.

5. TRÓJKĄT: Figura geometryczna mająca 3 boki, przy czym suma długości dwóch boków musi być większa od długości boku trzeciego ( warunek trójkąta ). Suma miar kątów w trójkącie wynosi 1800. * trójkąt różnoboczny - ma każdy bok innej długości * trójkąt równoboczny - ma wszystkie boki tej samej długości * trójkąt równoramienny - ma dwa boki tej samej długości * trójkąt prostokątny - jeden z jego kątów wewnętrznych jest prosty ( 90o ) * trójkąt ostrokątny - wszystkie kąty wewnętrzny w tym trójkącie są ostre ( < 90o ) * trójkąt rozwartokątny - jeden z jego kątów wewnętrznych jest rozwarty ( > 90o )

6. CHARAKTERYSTYCZNE ODCINKI TRÓJKĄTA. * wysokość - odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem pod kątem prostym Każdy trójkąt ma 3 wysokości ( po jednej z każdego wierzchołka ). Wysokości przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum.

7. środkowa - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma 3 środkowe ( po jednej z każdego wierzchołka ). Środkowe przecinają się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka) w punkcie zwanym środkiem ciężkości.

8. *symetralna - prosta prostopadła do boku przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma 3 symetralne ( po jednej z każdego boku ). Symetralne przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

9. OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE. Opis konstrukcji. Utworzony z GeoGebra

10. TWIERDZENIE LEMOINE. Kolejne twierdzenie związane z okręgiem opisanym na trójkącie nosi nazwę zaczerpnięte od nazwiska francuskiego matematyka Emile’a Michel’a Hyacinthe’a Lemoine (1840-1912) . W roku 1860 ukończył on Politechnikę w Paryżu i rozpoczął pracę jako inżynier, ale nadal jako hobby zajmował się geometrią. Co ciekawe, nie tylko matematyka, ale również muzyka była jego pasją- był on założycielem i członkiem muzycznego zespołu "La Trompette" (Trabki) . Jednakże wbrew pozorom twierdzenie to nie zostało odkryte po raz pierwszy przez Lemoine, a tylko nazwane w 1884 r. przez J. Neuberga na jego cześć. Jednak i on nie by pierwszym odkrywca, gdyż twierdzenie to pojawiło się wcześniej w pracach L.Huilier’a w 1809 oraz Grebego w 1847. Ta niespotykana ilość "odkrywców" jak na jedno twierdzenie spowodowała, ze po dziś dzień spotykane jest ono oraz punkt, którego dotyczy pod różnymi nazwami - we Francji jako punkt Lemoine, w Niemczech jako punkt Grabego, oraz jako punkt L.Huilier’a-Lemoine’-Grebego.

11. TWIERDZENIE LEMOINE. Iloczyn odległości dowolnego punktu okręgu opisanego na trójkącie od wierzchołka trójkąta wpisanego i od boku przeciwległego do tego wierzchołka jest dla dowolnego punktu wielkością stałą

12. * dwusieczna - prosta dzieląca kąt na 2 równe części. Każdy trójkąt ma 3 dwusieczne ( po jednej z każdego kąta ). Dwusieczne przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

13. OKRĄG WPISANY W TRÓJKĄT. Opis konstrukcji. Utworzony z GeoGebra

14. OKRĄG DOPISANY DO TRÓJKĄTA. – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem. Na pomarańczowo zaznaczone są trzy okręgi dopisane do trójkąta ΔABC

15. TWIERDZENIE O DWUSIECZNEJ. 450 450 3 4 x 5 – x PRZYKŁAD. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 3 i 4 z wierzchołka kata prostego poprowadzona dwusieczną. Wyznacz długości odcinków na jakie ta dwusieczna podzieliła przeciwprostokątną. Dwusieczna kąta dzieli podstawę trójkąta proporcjonalnie do długości jego boków ODP: Przeciwprostokątna podzielona została na odcinki o długości

16. WZORY NA POLE TRÓJKĄTA P = ( a*h ) / 2 gdzie: a - podstawa trójkąta, h - wysokość trójkąta opuszczona na podstawę a P = ( a*b*sink ) / 2 gdzie: a - jeden bok trójkąta b - drugi bok trójkąta k - kąt pomiędzy tymi dwoma bokami P = ( a*b*c ) / 4R gdzie: a,b,c - boki trójkąta R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie gdzie: a,b,c - boki trójkąta p - połowa obwodu ( a + b + c ) / 2 wzór na długość promienia okręgu opisanego wzór na długość promienia okręgu wpisanego R = ( a + b + c ) / 4P gdzie: a,b,c - boki trójkąta na którym opisany jest okrąg P - pole trójkąta na którym opisany jest okrąg r = ( 2P ) / ( a + b + c ) gdzie: a,b,c - boki trójkąta w który wpisany jest okrąg P - pole trójkąta w który wpisany jest okrąg

17. TWIERDZENIE SINUSÓW • W dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego bok jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie. R - promień okręgu opisanego na trójkącie

18. TWIERDZENIE SINUSÓW – DOWÓD. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, mamy 1/2absinγ = 1/2acsinβ = 1/2bcsinα. Mnożąc przez 2 i dzieląc przez abc otrzymamy sinγ/c = sinβ/b = sinα/a. Wystarczy teraz wziąć odwrotności tych liczb. Trzeba jeszcze udowodnić, że a/sinα = 2R. Wynika to z poniższych rysunków.      

19. TWIERDZENIE SINUSÓW – HISTORIA. Na początku XVII w. holenderski matematyk WillebrordSnell(zwany też Snelliusem) stosował to twierdzenie do obliczania odległości między punktami na kuli ziemskiej metodą triangulacji. Wyniki te wykorzystał potem do wyliczenia promienia Ziemi.

20. Zadanie 1. W trójkącie ABC dane są kąt ACB=120,  AC=6 i BC=3. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. • Oblicz długość odcinka CD. • Jaki jest związek miedzy długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie ADC  i okręgu opisanego na trójkącie DBC? • Odpowiedź uzasadnij.

21. Zadanie 2. W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = sqrt3 i kąt IACB| = 90 stopni. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem AC kąt 60stopni i przecięła bok AB w punkcie D tak, że |AD| : |DB| = 1 : 3. a) Wykonaj rysunek.b) Oblicz długość boków AB i BC.

22. . TWIERDZENIE COSINUSÓW • W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

23. TWIERDZENIE COSINUSÓW – DOWÓD. Twierdzenie kosinusów można łatwo wykazać, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. a2 = c12+ h2 = (c-c2)2+ (b2-c22) = c2+ b2- 2cc2 = c2+ b2- 2bc·c2/b == c2+ b2- 2bccosα Analogiczne rozumowanie trzeba jeszcze przeprowadzić w przypadku wysokości spadającej na przedłużenie boku. 

24. HISTORIA TW. KOSINUSÓW Szczególny przypadek twierdzenia kosinusów dla kąta prostego nazywamy twierdzeniem Pitagorasa. Jego dowód podano w starożytnej Grecji w VI w. p.n.e. Ogólne twierdzenie udowodnił w XVIII w. francuski matematyk i polityk Lazare Carnot, jeden z twórców nowoczesnej geometrii. Na przełomie XVIII i XIX w. niemiecki matematyk Karol Gauss wykazał, że twierdzenie kosinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej i nie zachodzi w geometriach nieeuklidesowych (np. na sferze).  

25. SZCZEGÓLNE PROSTE ZWIĄZANE Z TRÓJKĄTAMI. PROSTA SIMSONA Rzuty prostopadłe punktu leżącego na okręgu opisanym na trójkącie, na proste zawierające boki, są współliniowe. Prostą, przechodzącą przez rzuty prostopadłe dowolnego punktu okręgu opisanego na trójkącie na proste zawierające boki tegoż trójkąta, nazywamy prostą Simsona.

26. Rzuty prostopadłe D,E,F punktu P leżącego na okręgu opisanym na trójkącie, na proste zawierające boki, są współliniowe. Utworzony z GeoGebra

27. PROSTA EULERA. Lehonard Euler by wybitnym szwajcarskim matematykiem (1707-1783), który dokonał ważnych odkryć niemal w każdej dziedzinie matematyki, w tym również geometrii. Urodził się w Bazylei i tam też pobierał pierwsze lekcje matematyki od samego Johanna Bernoulliego. Tytuł magistra zdobył w wieku zaledwie 16 lat, a mając 20 został zaproszony do Akademii w Sankt Petersburgu, gdzie przebywa do roku 1741. Ścieżka jego naukowej kariery prowadzi dalej przez Berlin, gdzie pracował do 1766 roku. Ostatnie lata swojego życia spędził w Rosji, dokąd z Berlina sprowadzia go po latach Katarzyna Wielka. O tym, że Euler by genialnym matematykiem może świadczyć liczba wydanych przez niego prac naukowych - za jego życia opublikowano 473 z nich, a krótko po jego śmierci kolejne 200. Co więcej należy wspomnieć, że Euler tworzył swoje matematyczne dzieła mimo upośledzenia. W wieku 28 lat straci wzrok na jedno oko, a w 1766 roku oślepł zupełnie. .

28. Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

29. PROSTA CEVY (CZEWIANA). - prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przecinająca przeciwległą do tego wierzchołka prostą zawierającą bok trójkąta. Czewianami lub cevianami bywają nazywane także odpowiednie półproste i odcinki np. czewianą jest środkowa trójkąta (odcinek), lub dwusieczna kąta wewnętrzengo (półprosta). Przykładami prostych Cevy są środkowe, dwusieczne, symediany, wysokości. • TWIERDZENIE CEVY. • Jeżeli trzy proste AD, BE i CF przechodzące przez wierzchołki trójkąta przecinają się w jednym punkcie trójkąta ABC to,: • Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt O przecięcia się prostych może leżeć poza trójkątem.

30. Utworzony z GeoGebra

31. SYMEDIANA to prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie, jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy • Jeżeli czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne : • półprosta DB jest symedianą w trójkącie ACD • styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach A i C (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty B i D (niebieska) są współpękowe. • TWIERDZENIE O SYMEDIANIE. • Jeżeli w trójkącie ABC przez X oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu C z bokiem AB , to zachodzi równość:

32. TWIERDZENIE MENELAOSA Jednym z najbardziej znanych twierdzeń związanych z trójkątem jest twierdzenie Menelaosa. Zostało ono pierwotnie sformułowane przez Menelaosa z Aleksandrii (70-130r.) w trzecim 404.1 Twierdzenie Menelaosa 41 tomie jego traktatu pt.: "Sfery". Oryginalnie dotyczyo trójkąta sferycznego, jednak obecnie pod tą nazwą rozumiemy następujące twierdzenie: Twierdzenie (Menelaosa)

33. TWIERDZENIE MENELAOSA • Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D,E,F w ten sposób, że • iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli • . • . • Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

34. TWIERDZENIE MENELAOSA • TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA MENELAOSA również jest prawdziwe: • Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta ABC dane są punkty E i D • , a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że: • , • to punkty są współliniowe. • Analogicznie, gdy wszystkie punkty leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

35. SZCZEGÓLNE PUNKTY ZWIĄZANE TRÓJKATAMI Punkt Nagela - punkt ,w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi. Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt. Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty. Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

36. PUNKT FERMATA (punkt Torricellego) to punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście. W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż  1200 , punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta. Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej 1200 , łatwo zauważyć (znierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

37. PUNKT GERGONNE’A Do zbioru szczególnych punktów trójkąta należy m. in punkt Gergonne’a, którego nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Josepha Diaza Gergonne’a (1771-1859) . Pierwsze wykształcenie w dziedzinie matematyki uzyska on w Collegu w Nancy, a później od prywatnych korepetytorów, co w ówczesnych czasach było bardzo popularnym sposobem zdobywania wiedzy. Jego edukacja została przerwana przez Rewolucję Francuską, w której brał czynny udział, jako kapitan Gwardii Narodowej. Gdy we Francji nastał już pokój, Gergonne podróżował po Europie, a do Francji powróci w 1793 roku, gdzie w Nimes dostał stanowisko matematyka Politechniki École. Ponieważ Gergonne borykał się z problemem wydawania swoich prac, w roku 1810 zaczął sam wydawać magazyn matematyczny pod tytuem: "Annales de mathématiques pures et appliquées" ("Roczniki matematyki czystej i stosowanej"). Georgonne interesował się szczególnie geometrią,.

38. TWIERDZENIE - PUNKT GERGONNE’A Proste (czerwone) łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy punktem Gergonne’a. Utworzony z GeoGebra

39. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW. Początkowo odkryty i opublikowany w 1765r. w Petersburgu przez Eulera, następnie zapomniany i znów w 1822r. wyłoniony na świato dzienne przez niemieckiego Profesora Matematyki Karla Feuerbacha - okrąg zawierający dziewięć szczególnych punków. Okrąg ten spotykamy również pod nazw ą okręgu Feuerbacha. Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum. Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

40. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW. TWIERDZENIE (OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW) W dowolnym trójkącie środki jego boków, spodki wysokości i punkty Eulera leżą na jednym okręgu zwanym okręgiem dziewięciu punktów. Twierdzenie Środek okręgu dziewięciu punktów dla dowolnego trójkąta leży w połowie odcinka łączącego ortocentr oraz środek okręgu opisanego. Twierdzenie Długość promienia okręgu dziewięciu punktów jest równy połowie długości promienia okręgu opisanego na nim.

41. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW. Twierdzenie (Feuerbacha) Okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgów dopisanych do trójkąta, a także posiada dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem wpisanym. Punkt ten nosi nazwę punktu Feuerbacha. Twierdzenie (Hamiltona) Okrąg dziewięciu punktów danego trójkąta jest również okręgiem dziewięciu punktów dla trzech trójkątów, których dwa wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami danego, a trzeci jest jego ortocentrum

42. CECHY PRZYSTAWANIA I CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW.

43. Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~. I cecha podobieństwa trójkątów b1/b = a1/a = c1/c = k k - skalapodobieństwaΔABC ~ ΔA'B'C Jeżelibokijednegotrójkątasąproporcjonalne do odpowiednichbokówdrugiegotrójkąta, to trójkątysąpodobne.

44. II cecha podobieństwa trójkątów α = α'β = β'ΔABC ~ ΔA'B'C‘ Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

45. III cecha podobieństwa trójkątów α = α'b1/b = a1/a ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

46. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW. Cecha I Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) doodpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

47. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW. Cecha II Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

48. CHECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW. Cecha III Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

49. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że boki obu trójkątów mają identyczne długości więc na mocy cechy bbb trójkąty te są przystające.

50. PRZYKŁAD 2. Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Na rysunku widzimy, że kąt między bokami o tej samej długości w obu trójkątach ma tę samą miarę więc na mocy cechy bkb te trójkąty są przystające.